三角形中做辅助线的技巧.docx
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三角形中做辅助线的技巧
三角形中做辅助线的技巧
口诀：
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：
a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
1从角平分线上一点向两边作垂线；
2利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，岀现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
如图1-2，AB//CD，BE平分/BCDCE平分/BCD点E在AD上，求证：
BC=AB+CD
已知：
如图1-4，在△ABC中，/C=2/B,AD平分/BAC求证：
AB-AC=CD
C的平分线也经过点P
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1.女口图2-1，已知AB>AD,/BACKFAC,CD=BC
求证：
/ADC#B=180
例2.已知如图2-3,△ABC的角平分线BMCN相交于点P。
求证：
/BA
练习:
1.如图2-4/AOP=#BOP=15,PC//OA,PD丄OA
女口果PC=4,_则PD=（）
A4B3C2D1
2.已知：
如图2-6,在正方形ABCD中,E为CD的中点，F为BC
上的点，/FAE=ZDAE求证：
AF=AD+CF
3.已知：
如图2-7，在Rt△ABC中，/ACB=90,CD丄AB,垂足为D,AE平分/CAB交CD于F,过F
作FH//AB交BC于H。
求证CF=BH
图2-7
（三）：
作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）
（AB-AC）
1
例1.已知：
如图3-1，/BAD艺DACAB>AC,CDLAD于D,H是BC中点。
求证：
DH=_
2
分析：
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
例2.已知：
如图3-2，AB=AC/BAC=90，AD为/ABC的平分线，CE±BE.求证：
BD=2CE
分析：
给岀了角平分线给岀了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构
F
造岀等腰三角形。
例3.已知：
如图3-3在厶ABC中，ADAE分别/BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。
求证：
AM=ME
分析：
由ADAE是/BAC内外角平分线，可得EA!
AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相
等。
1
例3.已知：
如图3-4，在厶ABC中，AD平分/BACAD=ABCMLAD交AD延长线于M。
求证：
AM」
2
（AB+AC
分析：
题设中给出了角平分线AD自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED,
11
然后只需证DM=J_EC另外由求证的结果AM』（AB+AC，即2AM=AB+A，也可尝试作△ACM关于CM的对
22
称厶FCM然后只需证DF=CF即可。
练习：
1.已知：
在厶ABC中，AB=5,AC=3D是BC中点，AE是/BAC的平分线，且CE±AE于E,连接DE
求DEo
2.已知BE、BF分别是△ABC的/ABC的内角与外角的平分线，AF丄BF于F，AE丄BE于E，连接EF
1
分别交ABAC于IMN，求证MN—BC
2
（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的
点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
例1如图，BC>BABD平分/ABC且AD=CD求证：
/A+ZC=18Q
例2如图，AB//CDAEDE分别平分ZBAD各ZADE求证：
AD=AB+CD
练习：
1.已知，如图，ZC=2/A，AC=2BC求证：
△ABC是直角三角形。
2.已知：
如图，AB=2ACZ1=Z2，DA=DB求证：
DC丄AC
3.已知CE人。
是厶ABC的角平分线，ZB=60°，求证：
AC=AE+CD
4.已知：
如图在厶ABC中,ZA=90°，AB=ACBD是ZABC的平分线，求证：
BC=AB+AD
由线段和差想到的辅助线
口诀:
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：
在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：
将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不岀来，可连接两点或廷长某边构成三
角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如:
有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如:
例如：
如图3-1:
已知ABC的中线，且/仁/2,/3=/4,求证：
BE+CF>EF
三、截长补短法作辅助线。
例如：
已知如图6-1:
在厶ABC中，AB>AC/1=/2，P为AD上任一点
求证：
AB-AC>PB-PC
例1.如图，AC平分/BADCE±AB,且/B+ZD=180°,求证：
AE=AD+BE
例2如图，在四边形ABCD中,AC平分ZBADCE±AB于E,AD+AB=2AE
求证：
ZADCZB=1800
例3已知：
如图，等腰三角形ABC中，AB=ACA=108°,BD平分ABC
求证：
BC=AB+D。
例4如图，已知Rt△ABC中,ZACB=90,AD是ZCAB的平分线，DMILAB于M,且AM=MB求证：
CD
1
=2dBo
【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线
提示：
方法1:
倍长AE至G,连结DG
方法2:
倍长FE至H,连结CH
例5:
已知CD=AB/BDA=/BADAE是厶ABD的中线，求证：
/C=ZBAE
提示：
倍长AE至F，连结DF
证明△ABE^AFDE（SAS
进而证明厶ADF^AADC（SAS
【融会贯通1段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
提示：
延长AE、DF交于G
证明AB=GCAF=GF
所以AB=AF+FC
2、如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E,DF平分ADC交AC于F.求证：
BECFEF
提示：
方法1:
在DA上截取DG=BD连结EGFG证明△BDE^AGDEADCF^ADGF所以BE=EG
CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2:
倍长ED至H,连结CHFH证明FH=EFCH=BE
利用三角形两边之和大于第三边
3、已知：
如图，ABC中，C=90,CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交
BC于E,求证：
CT=BE.
提示：
过T作TN丄AB于N
证明△BTN^AECD
三、由中点想到的辅助线
口诀：
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
例1.如图2，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=ADDF是ADCE的中线。
已知AABC的面
积为2,求：
△CDF的面积
（二）、由中点应想到利用三角形的中位线
例2.如图3,在四边形ABCD中，AB=CDE、F分别是BCAD的中点，BACD的延长线分别交EF的
（三）、由中线应想到延长中线
例3.图4，已知AABC中，AB=5,AC=3连BC上的中线AD=2求BC的长
例4.如图5,已知AABC中，AD是/BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：
△ABC是等腰三角形
（四）、直角三角形斜边中线的性质
例5.如图6，已知梯形ABCD中,AB//DC，AC丄BC,AD丄BD,求证：
AC=BD
（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例6.如图7,AABC是等腰直角三角形，/BAC=90,BD平分/ABC交AC于点D,CE垂
直于BD,交BD的延长线于点E。
求证：
BD=2CE
（六）中线延长
口诀：
三角形中有中线，延长中线等中线。
例一：
如图4-1:
ABC的中线，且/仁/2,23=/4,求证：
BE+CF>EF
例二：
如图5-1:
ABC的中线，求证：
AB+AC>2AD
A
E
图51
练习:
1如图，AB=6AC=8D为BC的中点，求AD的取值范围
2
3
4,已知△ABCAD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5
-2，求证EF=2AD
F
图52
5.已知：
如图ABC的中线，AE=EF求证：
BF=AC
巩固练习
1、如图，D,E分别为△ABC的AC,BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处•若CDE48°，则APD等于（）
A.42°B•48°C•52°D•58°
2、如图所示，图中三角形的个数共有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
3、如图，△ABC的周长为32,且ABAC，ADBC于D，△ACD的周长为24,那么AD的长为.
4、长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是
5、如图，在△ABC中,ADLBC于D,且/ABC=2/C求证：
CD=A申BD
6、如图，在△ABC中，/BAC/BCA的平分线相交于点O过点0作DE//AC分别交ABBC于点DE试猜想线段ADCEDE的数量关系，并说明你的猜想理由•
7、AD为△ABC的中线，
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