三角形中做辅助线的技巧.docx

1、三角形中做辅助线的技巧三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角 形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅 助

2、线的作法，一般有两种。1从角平分线上一点向两边作垂线；2利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，岀现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于 选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图 1-2，AB/CD，BE平分/ BCD CE平分/ BCD 点 E在 AD上，求证：BC=AB+CD已知：如图 1-4，在 ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC 求证：AB-AC=CDC的平分线也经过点 P（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距

3、离相等的性质来证明问题。例 1. 女口图 2-1，已知 ABAD, / BACK FAC,CD=BC求证：/ ADC# B=180例2. 已知如图2-3 , ABC的角平分线BM CN相交于点P。求证：/ BA练习:1.如图 2-4 / AOP=# BOP=15 , PC/OA, PD丄OA女口果 PC=4, _则 PD=( )A 4 B 3 C 2 D 12.已知：如图2-6,在正方形 ABCD中, E为CD的中点，F为BC上的点，/ FAE=Z DAE 求证：AF=AD+CF3. 已知：如图2-7，在Rt ABC中，/ ACB=90 ,CD丄AB,垂足为 D, AE平分/ CAB交CD于

4、F,过F作 FH/AB 交 BC于 H。求证 CF=BH图2-7（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边 上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）(AB-AC)1例1 . 已知：如图3-1，/ BAD艺DAC ABAC,CDLAD于D, H是BC中点。求证：DH=_2分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。例 2.已知：如图 3-2，AB=AC / BAC=90，AD为/ AB

5、C的平分线，CE BE.求证：BD=2CE分析：给岀了角平分线给岀了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构F造岀等腰三角形。例3 .已知：如图3-3在厶ABC中，AD AE分别/ BAC的内、外角平分线，过顶点 B作BFAD交AD的 延长线于F,连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME分析：由AD AE是/ BAC内外角平分线，可得 EA! AF，从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。1例3. 已知：如图3-4，在厶ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CML AD交AD延长线于 M。求证：AM2（AB+AC分析：题设中给出了角平分线 AD自然想到以AD为

6、轴作对称变换，作 ABD关于AD的对称 AED,1 1然后只需证DM=J_EC另外由求证的结果 AM（AB+AC，即2AM=AB+A，也可尝试作 ACM关于CM的对2 2称厶FCM然后只需证DF=CF即可。练习：1. 已知：在厶ABC中，AB=5, AC=3 D是BC中点，AE是/ BAC的平分线，且 CEAE于E,连接DE求DEo2. 已知BE、BF分别是 ABC的/ABC的内角与外角的平分线， AF丄BF于F，AE丄BE于E，连接EF1分别交AB AC于IM N，求证 MN BC2（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三

7、角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图 4-1和图4-2所示。例 1 如图，BCBA BD平分/ ABC 且 AD=CD 求证：/ A+Z C=18Q例2 如图，AB/ CD AE DE分别平分Z BAD各Z ADE求证：AD=AB+CD练习：1.已知，如图，Z C=2/A，AC=2BC求证： ABC是直角三角形。2.已知：如图， AB=2AC Z 1=Z 2，DA=DB 求证：DC丄AC3.已知CE人。是厶ABC的角平分线，Z B=60，求证：AC=AE+CD4.已知：如图在厶 ABC中, Z A=90，AB=AC BD是Z ABC的平

8、分线，求证：BC=AB+AD由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边, 故可想办法放在一个三角形中证明。在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不岀来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角

9、形三边的不等关系证明，如:有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如:例如：如图3-1 :已知 ABC的中线，且/ 仁/2, / 3=/4,求证：BE+CFEF三、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1 :在厶ABC中，ABAC / 1=/ 2，P为AD上任一点求证：AB-ACPB-PC例 1.如图，AC平分/ BAD CE AB,且/ B+Z D=180,求证：AE=AD+BE例2如图，在四边形 ABCD中, AC平分Z BAD CEAB于E, AD+AB=2AE求证：Z ADCZ B=1800例3已知：如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC A=108, BD平分

10、ABC求证：BC=AB+D。例4如图，已知 Rt ABC中, Z ACB=90 , AD是Z CAB的平分线，DMILAB于M,且AM=MB求证：CD1=2 dBo【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线提示：方法1:倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CH例5 :已知CD=AB / BDA=/ BAD AE是厶ABD的中线，求证：/ C=Z BAE提示：倍长AE至F，连结DF证明 ABEA FDE( SAS进而证明厶ADFA ADC( SAS【融会贯通1 段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G证明 AB=GC AF=GF所以 AB=AF+FC

11、2、如图，AD为 ABC的中线，DE平分 BDA交AB于E, DF平分 ADC交AC于F.求 证：BE CF EF提示：方法1:在DA上截取DG=BD连结 EG FG证明 BDEA GDE A DCFA DGF所以BE=EGCF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法 2:倍长ED至H,连结CH FH证明FH=EF CH=BE利用三角形两边之和大于第三边3、已知：如图， ABC中， C=90 , CM AB于M, AT平分 BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于 E,求证：CT=BE.提示：过T作TN丄AB于N证明 BTNA ECD三、由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接

12、则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、 加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找 到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形例1.如图2， ABC中，AD是中线，延长 AD到E，使DE=AD DF是ADCE的中线。已知 AABC的面积为2,求： CDF的面积（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2.如图3,在四边形 ABCD中，AB=CD E、F分别是BC AD的中点，BA CD的延长线分别交 EF的（三）、由中线应想到延长

13、中线例3.图4，已知 AABC中，AB=5, AC=3连BC上的中线 AD=2求BC的长例4.如图5,已知 AABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证： ABC是等腰三 角形（四）、直角三角形斜边中线的性质例5 .如图6，已知梯形 ABCD中, AB/DC，AC丄BC, AD丄BD,求证：AC=BD（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例6 .如图7,A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点 E。求证：BD=2CE（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。例一：如图 4

14、-1 : ABC的中线，且/ 仁/2,2 3=/ 4,求证：BE+CFEF例二：如图5-1 : ABC的中线，求证： AB+AC2ADAE图5 1练习:1如图，AB=6 AC=8 D为BC的中点，求 AD的取值范围234,已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF=2ADF图5 25.已知：如图 ABC的中线，AE=EF求证：BF=AC巩固练习1、如图，D, E分别为 ABC的AC , BC边的中点，将此三角形沿 DE折叠，使点C落在AB边 上的点P处若 CDE 48，则 APD等于（ ）A. 42 B 48 C 52 D 582、 如图所示，图中三角形的个数共有（ ）A. 1个B . 2个C . 3个 D . 4个3、 如图， ABC的周长为32,且AB AC，AD BC于D， ACD的周长为24,那么AD 的长为 .4、 长度为2 cm、3 cm、4 cm、5 cm的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 5、 如图，在 ABC中, ADLBC于 D,且/ ABC= 2/C 求证：CD= A申BD6、如图，在 ABC中，/ BAC / BCA的平分线相交于点 O过点0作DE/ AC分别交 AB BC于点D E 试猜想线段AD CE DE的数量关系，并说明你的猜想理由7、AD为 ABC的中线，