初中数学中考压轴题选编.docx

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初中数学中考压轴题选编

压轴题检测

27.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－

x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（－4，0）．

（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；

（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.

①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

第27题图

28.（本小题满分14分）

问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：

将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CED是等腰直角三角形，所以CE＝

CD，从而得出结论：

AC＋BC＝

CD.

简单应用：

（1）在图①中，若AC＝

，BC＝2

，则CD＝________．

（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，

＝

，若AB＝13，BC＝12，求CD的长．

拓展延伸：

（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m、n的代数式表示）．

第28题图④

（4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点．若点E满足AE＝

AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是________．

第28题图⑤

27.（本题满分12分）某地拟召开一场安全级别较高的会议，预估将有4000至7000名人员参加会议，为了确保会议的安全，会议组委会决定对每位入场人员进行安全检查，现了解到安检设备有门式安检仪和手持安检仪两种：

门式安检仪每台3000元，需安检员2名，每

分钟可通过10人；手持安检仪每只500元，需安检员1名，每分钟可通过2人，该会议中心共有6个不同的入口，每个入口都有5条通道可供使用，每条通道只可安放一台门式安检仪或一只手持安检仪，每位安检员的劳务费用均为200元．（安检总费用包括安检设备费用和安检员的劳务费用．）

现知道会议当日人员从上午9∶00开始入场，到上午9∶30结束入场，6个入口都采用相同的安检方案．所有人员须提前到达并根据会议通知从相应入口进入．

（1）如果每个入口处，只有2个通道安放门式安检仪，而其余3个通道均为手持安检仪，在这个安检方案下，请问：

在规定时间内可通过多少名人员？

安检所需要的总费用为多少元？

（2）请你设计一个安检方案，确保安检工作的正常进行，同时使得安检所需要的总费用尽可能少．

28.（本题满分12分）如图①，已知一次函数y＝x＋3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A、B两点，且与x轴交于另一点C.

（1）求b、c的值；

（2）如图①，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE＝2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；

（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图②.P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边在它们的左侧作等边△APR、等边△AGQ，连接QR.

①求证：

PG＝RQ；

②求PA＋PC＋PG的最小值，并求出当PA＋PC＋PG取得最小值时点P的坐标．

第28题图

25.（本题满分10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

（1）如图①，当α＝90°时，G是边AB上一点，且BG＝AD，连接GF.求证：

GF∥AC；

（2）如图②，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M.

①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；

②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．

图①图②

第25题图

26.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝x2－1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.

（1）求N的函数表达式；

（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2＋PB2的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．

第26题图

26.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx经过两点A（－1，1）、B（2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D.

（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；

（2）若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为

，求出点M的坐标；

（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标．

第26题图

27.

（本题满分14分）我们知道，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角，如右图，AO为入射光线，入射点为O，ON为法线（过入射点O并垂直于镜面的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON.

问题思考：

（1）如图①，一束光线从点A处入射到平面镜上，反射后恰好过点B，请在图中确定平面镜上的入射点P.保留作图痕迹，并简要说明理由．

（2）如图②，两平面镜OM，ON交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B，小昕说光线可以只经过平面镜OM，反射后过点B，也可以只经过平面镜ON，反射后过点B.除了小昕的两种做法外，你还有其他做法吗？

如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明作法．

第27题图

问题拓展：

（3）如图③，两平面镜OM、ON交于点O，且∠MON＝30°，一束光线从点S出发，且平行于平面镜OM，第一次在点A处反射，经过若干次反射后又回到了点S.如果SA和AO的长均为1m，求这束光线经过的路程．

（4）如图④，两平面镜OM、ON交于点O，且∠MON＝15°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜OM.设光线出发时与射线PM的夹角为θ（0°<θ<180°），请直接写出满足条件的所有θ的度数（注：

OM、ON足够长）．

第27题图

26.（本小题满分10分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过（－1，m2＋2m＋1）、（0，m2　＋2m＋2）两点，其中m为常数．

（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；

（2）若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴有公共点，求m的值；

（3）设（a，y1）、（a＋2，y2）是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，请比较y2－y1与0的大小，并说明理由．

27.（本小题满分13分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CO⊥AB于点O.D是线段OB上一点，DE＝2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD，设BE、CD的中点分别为P、Q.

（1）求AO的长；

（2）求PQ的长；

（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM－MQ|的值．

第27题图

28.（本小题满分14分）如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0），函数y＝

（k＞0，x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D.

（1）求m的值；

（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；

（3）若P为函数y＝

（k＞0，x＞0）的图象上一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与x轴上方的▱OABC的一边交于点N，设点P的横坐标为t，当

＝

　时，求t的值．

第28题图

25.（本题满分12分）

已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC.

（1）如图①，若点P在线段AB的延长线上，求证：

EA＝EC；

（2）若点P在线段AB上．

①如图②，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；

②如图③，设AB＝a，BP＝b，当EP平分∠AEC时，求a：

b及∠AEC的度数．

第25题图

26.（本题满分14分）已知两个二次函数y1＝x2＋bx＋c和y2＝x2＋m.对于函数y1，当x＝2时，该函数取最小值．

（1）求b的值；

（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；

（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，－2），过点（0，a－3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4－x3＋x2－x1的最大值．

25.（本题满分10分）如图①，△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D.

（1）求证：

＝

；

（2）由

（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即T（A）＝

＝

.如T（60°）＝1.

①理解巩固：

T（90°）＝________，T（120°）＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T（α）的取值范围是________；

②学以致用：

如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．

（参考数据：

T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）

27.（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm.点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上．点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O.点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：

s）（0

）．

（1）如图①，连接DQ，当DQ平分∠BDC时，t的值为________；

（2）如图②，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：

在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图③，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？

说明理由．

第27题图

28.（本题满分10分）如图，直线l∶y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4（a<0）经过点B.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM.设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在

（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′.

①写出点M′的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C.设点B、M′到直线l′的距离分