最新人教版七年级数学知识点及典型例题.docx

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最新人教版七年级数学知识点及典型例题

第一章　有理数

知识点一  有理数的分类

有理数的另一种分类

想一想：

零是整数吗?

自然数一定是整数吗?

自然数一定是正整数吗?

整数一定是自然数吗?

零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数。

知识点二  数轴

1.填空

①规定了唯一的原点，正方向和单位长度  （三要素）的直线叫做数轴。

②比－3大的负整数是-2、-1。

③与原点的距离为三个单位的点有2个，他们分别表示的有理数是3、-3。

2.请画一个数轴，并检查它是否具备数轴三要素？

3.选择题

①在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（　）

Ａ整数　  Ｂ负数　  Ｃ非负数　  Ｄ非正数

②下列语句中正确的是（　）

Ａ数轴上的点只能表示整数　    

Ｂ数轴上的点只能表示分数　

Ｃ数轴上的点只能表示有理数　  

Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来

答案AD

知识点三  相反数

相反数：

只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。

在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。

知识点四  绝对值

1.绝对值的几何意义:

一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。

2.绝对值的代数定义：

（1）一个正数的绝对值是它本身；

（2）一个负数数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0；（4）|a|大于或者等于0。

3.比较两个数的大小关系

数学中规定：

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从大到小的顺序，即左边的数小于右边的数。

由此可知：

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；

（2）两个负数，绝对值大的反而小。

知识点五  有理数加减法

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2.互为相反数的两个数相加得0。

3.一个数同0相加，仍得这个数。

4.减去一个数，等于加上这个数的相反数。

知识点六  乘除法法则

1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

0乘以任何数，都得  0  。

2.几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数的个数为偶数  时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。

3.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得  0  。

4.有理数中仍然有：

乘积是1的两个数互为倒数。

5.除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。

知识点七  乘方

乘方定义：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

知识点八  运算律及混合运算

1.加法交换律：

a+b=b+a

1.加法交换律：

a+b=b+a

2.乘法交换律：

a·b=b·a

3.加法结合律：

a+（b+c）=（a+b）+c

4.乘法结合律：

a·（b·c）=（a·b）·c

5.乘法分配律：

a·（b+c）=ab+ac

6.有理数混合运算顺序：

先乘方；再乘除；最后算加减。

7.有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

8.同级运算，从左到右进行。

知识点九  近似数

1.近似数：

在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近，像这样的数我们称它为近似数。

2.近似数的分类

（1）具体近似数（如30.2、58.0…）

（2）带单位近似数（如2.4万…）

（3）科学记数法

3.精确度：

用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数，有一个近似程度的问题，这个近似程度就是精确度。

四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位（看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:

2.4万精确到千位，而非十分位，因为2.4万就是24000，4在千位上）。

4.有效数字：

对于一个不为0的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到末尾数止，所有数字都是这个近似数的有效数字。

求近似数要求保留n个有效数字时，第n+1个有效数字作四舍五入处理。

例：

0.0109有三个有效数字1、0、9，要求保留2个有效数字时，0.0109的第三个有效数字9四舍五入，变为0.0110，保留两个有效数字1、1后求出近似数0.0109≈0.011。

第二章  整式的加减

知识点一  整式的相关概念

代数式中的一种有理式：

不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。

（分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式）

1.单项式：

数或字母的积（如5n），单个的数或字母也是单项式。

（1）单项式的系数：

单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。

（如果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是0）。

（2）单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（非零常数的次数为0）。

2.多项式

（1）概念：

几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

一个多项式有几项就叫做几项式。

（2）多项式的次数：

多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

（3）多项式的排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

在做多项式的排列的题时注意：

（1）由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符

看作是这一项的一部分，一起移动。

（2）有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意:

a.先确认按照哪个字母的指数来排列。

b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。

3.整式:

单项式和多项式统称为整式。

4.列代数式的几个注意事项

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写；

（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号；

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；

（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式；

（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成3/a的形式；

（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.

知识点二  整式的加减运算

1.同类项的概念：

所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。

（同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关）。

2.合并同类项：

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

法则：

同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

不能合并的项单独作为一项，不可遗漏

3.整式加减实质就是去括号，合并同类项。

注：

去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

4.几个重要的代数式：

（m、n表示整数）

（1）a与b的平方差是：

  a2-b2  ；  a与b差的平方是：

（a-b）2  ；（本式中2为平方）

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：

10a+b  ,则三位整数是：

100a+10b+c；

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：

5m+n  ；偶数是：

2n，奇数是：

2n+1；三个连续整数是：

  n-1、n、n+1；

（4）若b＞0，则正数是:

a2+b，负数是：

-a2-b，非负数是：

a2，非正数是：

-a2（本式中2为平方）

第三章  一元一次方程

知识点一  方程的相关概念

等式：

表示相等关系的式子。

方程：

含有未知数的等式。

（方程一定是等式,但等式不一定是方程）。

方程的解：

使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：

求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。

一元一次方程：

只含一个未知数，未知数的次数是1，并且等式两边都是整式的方程。

同解方程：

两方程的解相同。

知识点二  等式的性质

等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即：

如果a=b，那么a±c=b±c。

等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即：

如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c。

知识点三  解一元一次方程

1.一般解法：

ⅰ  去分母：

两边同乘以各分母的最小公倍数；

ⅱ  去括号；

ⅲ  移项：

移项要变号；

ⅳ  合并同类项：

把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

ⅴ  系数化为1：

两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a。

2.一元一次方程的应用（重点难点）

列方程解应用题的关键是：

仔细审题，找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。

3.几种常见问题

a.和差倍分问题：

这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。

b.行程相遇问题：

三个基本量的关系  路程=速度×时间

（1）两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:

甲的路程+乙的路程=一圈的长度（直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同）；

（2）两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:

快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。

c.工程任务问题：

三个基本量的关系:

工作量=工作效率×工作时间

一般情况下，把全部工作量看做1（即100%），工作效率=1／工作时间（各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量）。

合作效率=各个人的效率之和。

d.利润问题：

利润=售价-成本=成本×利润率；利润率=利润÷成本；实际售价=标价×折扣率。

e.分配问题：

例：

某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个，一个螺栓要配两个螺母（建立等量关系的依据），应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？

f.水上航行问题：

顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。

应用举例

1.一本书，小明第一天读了十分之一，第二天读了10页，已读的是未读的1／4,请问这本书一共有多少页?

等量关系：

已读的+未读的=总页数（或已读的=总页数-未读的，未读的=总页数-已读的）。

2.某服装七月份下降了10%，八月份上升了10%，则八月份价格与原价比（  ）

A.不变        B.增加1%      

C.减少9%      D.减少1%

注意：

不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。

3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米。

（1）当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

（2）当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

分析

（1）:

设经过x秒首次相遇。

两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:

甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米  甲的路程=甲的速度×时间x  乙的路程=乙的速度×时间x  得到