最小二乘自适应滤波LeastSquaresAdaptiveFiltersdocx.docx
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第六章最小二乘自适应滤波
（Least-SquaresAdaptive
Filters）
Motivation•LMS失调较大；・
•非平稳时存在较大的跟踪误差，因此要求信号平稳或在较长的时间内具有平稳性
——》不要用误差的样本值代替误差的统计均值
一种解决途径：
以时间均值代替统计均值
•釆用最小二乘准则；
•按时间进行准确迭代
n=n2n=ti2
丿（H）=工/（“）=工[（y（〃）一孑⑷F=min
/?
=/!
]n=nx
J（H）=E[e\n）]=min
6.1最小二乘法
（MethodofLeast-Squares）
一线性LS估计问题
设:
⑴观察信号兀⑴,兀⑵，…,讹）;H=[%，人hN_^
⑵期望信号y（l）,y⑵y（L）
—©wT"
线性FIR自适应滤波器原理框图—十
线性FIR自适应滤波器的输出：
N—1
亍⑺）=工hkx（n-k）e{n）=y{n）—y{n）
k=o・
n=n2斤=“2H厶$<=>LSFilter
丿（H）=工护⑷=^[（y（n）-y（n）]2=min
n=n}n=nx
n=n2n=n2
丿（H）=£/（“）=£[（y（〃）-孑（MJ?
=min
n=W|n=n
N_\
孑（〃）=工处⑺一“）
k=°
二正交原理（PrincipleofOrthogonality）
°["H）=0=＞》兀（〃-k）€（n）=Q,k=O,1,...,N-1
OH心®
正交原理:
LS滤波器的输入x（n・k）和误差0何正交,k=
推论1：
滤波器的输出和误差％砒正交
n=n2
工孑（〃）€（〃）=0
n=nx
推论2:
LS滤波等价于将期望信号y（n）进行正交分解
y（n）=y（z2）+e（zi）
n=n2n=n2n=n^
£b（〃）=£y2（〃）+£w2（〃）
1
—£〜
卩y
三正则方程（NormalEquation）
N—\
e{n）=y（n）-y（n）=y（n）—工hkx（n—k）
k=0n=n2
工x{n一k）e（n）=0,k=0,l,・・・,N_\
n=nA
N—1/Z—/?
2/2—
n=nx
工力〃7工一一加）=k）y（n）,k=0丄・・・，N-1m=0n=nA
N—\
工饥①（"k）=z（-k）,k=0,l”・・,N-lNormalEquation
m=0
0H=z=>Hlsz
n=n2
①k）=工x（n一k）x{n一m）.m.k=0,1,...,N-1
n=nx
n=n2
z（—k）=y^x（n-k）y（n）,k=0丄…，N-l
H=/7]
①=[①（®Q]nxN
z=[z（0）,z（-l），・・・，z（—N+l）]r
6.1最小二乘法
n=n2n=n2
丿（H）=£/（〃）=£[（y（〃）-孑何『=min
n=n{n=n}
四selectionofandn2（Datawindowing）
®7：
卜（3）J
n=n2
①x（n-k）x（n-m）,m.k=O,1,・・・,N-1
n=nA
n=n2
Z（-k）=x（n-k）y（n）,k=0」,・・・，N-1
7Z=7?
I
1）比二1,n2=L+N-l,前后补零N・1（自相关法）
2）比=1,n2=L＞补零N丄后不补零（前加窗法）
3）比二N，兔二L+N丄前不补零后补零N-1（后加窗法）
4）比二N，比二L，前后不补零（协方差法）
五MinimumSumofErrorSquares
n=n2n=n2n=n2
Sy=工尸⑷=工［工九-吋
n=nA77=/?
!
n=nx
=HrOH=Hrz=zrHh匚①1z
LS
^i„=^-^H=S-zrO-1z
6.2标准RLS自适应滤波器
（StandardRLSAdaptiveFilters）
n=fbn=n2
丿（H）二乞孑的=工［（y（〃）—二min
%7）
基本思想:
假设在〃1时刻得到滤波器系数的LS估计，在〃时刻新的数据到来后，按LS准则更新滤波器系数TRLS
Z[H（n）]=工龙I"（0=min2—遗忘因子
i=i
x（i）=[兀⑴，无（i-l）,...,x（i-N+l）re（i）=y（/）-
7"*
H（n）=[h0（必%（心…，hN_x（n）]
N—\
y（i）=Y九⑺）W-£）=H气对乂（i）=xr（z）H（n）
k=0
y（0=Hr（n）x（0=xr（0H（n）
dJ[H（n）]门吕—・、/・、c
n
0H（〃）ti
n
0（n）H（«）=z（〃）一-
1）0（n）,z（n）的递推计算
①（〃）=20（n-1）+x（n）x7（n）
①（〃）=工矿M）xp）
i=l
n-\
=2工2,?
~l_/x（z）xr（z）+x（n）x7（n）
i=l
n申一]
z（n）=^2n~ly（i）x（i）=2^+x（n）y（n）
i=li=l
z（n）=2z（n-l）+x（n）y（n）i
2）①的递推计算
0（n）=2①（m-1）+x（n）xT（n）
矩阵恒等式:
（A+BCD尸二
=Ar-AXB（C+DAXB）1DA1
玖n）=^~l（n）A=2O（n-1）
B=x（n）;C=1,D=xT（n）
P（n）=2_1P（n-1）-2~lP（n-l）x（n）[l+xr（n）2_1P（n-l）x（n）]-1xr（n）A~lP（n-1）
P（n）=『P（〃-1）-FP（仃1严处Z）P（-l）
[l+2_,xr（n）P（n-l）x（n）]
""H（“）=①'（n）z（n）=P（n）z（n）
H（n）=H（n-l）+k（n）^（n）
g（〃）=y（n）-HT（n-l）x（n）验前误差
e（n）=y（n）-Hr（n）x（n）（幺（砒验后误差）
忆/11/900乙
[（"）x（1-%）丄H-+（T-"）H=
（wX（w）yf+（i-w）H（w）2x（n）yf-a-i/）h=
（w）zC（w）x（w）{（i/X（w）x+（I-i/）zy}{（T—%）<1（%）八（两卫一（[—%）込亍}=
（"）z（w）d=（W）z（w）「①=（%）H
（I-w）d（w）N叭_y-（[-叽彳=（w）d
z（m）=2z（n-1）+x（n）j（n）H（n）=H（n-l）+k（n）^（n）
4）J[H（n）]=min=JRLS的递推计算
几/Hm£广£胖》2何
n=\
jminS）=SW-zr（^）H（n）{H必⑷}
Fy=化,（〃-l）+y2（〃）
^min（〃）=£）"）一Z7（〃）H
RLS（〃）
=XsyO一1）+y$（n）-[&z（〃—l）+^O）y（〃）]5[H（n-l）+k（^（n）]'"
=2[sy（〃一1）—zT（n-l）H（n-1）]
+y（〃）[y（〃）（n）H（w-1）]-zr（n）k（n）^（n）
MMVCLAB
6L
忆/11/900乙
（话（心+（I-町呷"二S⑰
WW+（T-^）u?
Vr=
（"为[（叭x（%lh-（"）□+（【-％）Ull7r=（m）^（m）x（w）丄h-（以朋M+（i-w）U{Vr=（w）^（w）x（n）丄h-[（I-叭H（“）A-+
[（T-%）H（I-—（I—u）（3]y=（w）U1U7
（w）x（w）2h=
（w）H（w）2z-（w）as=（w）U!
U7
g—才盼-1）5
5）RLS算法总结kl+2_1xr（n）P（H-1）x（〃）
初始化：
H（0）=0
戶（0）=产1
、smallpositivecontantforhighSNRS=\
largepositivecontantforlowSNR
k（〃）=—,
2+x7（n）7i（n）
歟）=y（n）-H7（n-l）x（n）,
H（n）=H（n-1）+k（n）^（«）,
P（n）=2_lP（n一1）一2~lk（n）xr（n）P（n一1）
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