概率论期末复习知识点.docx
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概率论期末复习知识点
占
八、、
第一章
随机事件与概率
本章重点：
随机事件的概率计算.
**事件的关系及运算
A）.
和事件:
n
LAn（简记为yA）.
积事件：
AB
Aa2l
n
IA
An（简记为AALAn或i1）.
互不相容
:
若事件A和B不能同时发生，即AB
对立事件：
A.
差事件：
若事件A发生且事件B不发生，记作AB（或AB）.
德g摩根（DeMorgan）法则：
对任意事件A和B有
古典概型:
几何概率
**概率的性质
有限可加性）设n个事件A'A'L,几两两互不相容，则有
P（A）1P（A）.
若事件A,B满足AB，则有
P（A）1.
加法公式）对于任意两个事件A,B,有
P（AB）
P（A）P（B）P（AB）.
对于任意n个事件Ai,A2,l,人，有
P（AAjAk）L
（1）n9（A1LAn）
jkn
4.**条件概率与乘法公式
P（AIB）Pt.
乘法公式:
P（AB）
P（A）P（BIA）P（B）P（A|B）.
5.*随机事件的相互独立性
事件A与B相互独立的充分必要条件一:
P（AB）P（A）P（B）,
事件A与B相互独立的充分必要条件二:
P（A|B）P（A）.
对于任意n个事件A'^'L'An相互独立性定义如下：
对任意一个k2,L,n，任意的
1i1Likn，若事件A1'A2'L'An总满足
P（AiLAk）P（Ai）LP（Ak）,
n1个等式.
则称事件A1'A2'L'An相互独立.这里实际上包含了2n
6.
*贝努里概型与二项概率
立试验中.，事件A恰发生k次的概率为
7.**全概率公式与贝叶斯公式
贝叶斯公式:
第二章一维随机变量及其分布
本章重点：
离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算
概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布.
1.**离散型随机变量及其分布律
分布律也可用下列表格形式表示:
2.*概率函数的性质
（1）Pi0,i1,2,L,n,L;
⑵i1pi1
3.*常用离散型随机变量的分布
P（Xi）Pi（1p）1i
nini
P（Xi）.pi（1p）ni
i
（4）**泊松分布P（），它的概率函数为
i
P（Xi）—e
i!
．4．*二维离散型随机变量及联合概率
二维离散型随机变量（X,Y）的分布可用下列联合概率函数来表示：
其中，Pij0,i,j1,2,L,ijPij1
5．*二维离散型随机变量的边缘概率
设（X,Y）为二维离散型随机变量，
Pij为其联合概率（i,j1,2,L），称概率
P（Xai）（i1,2,L）为随机变量X的边缘分布律，记为Pig并有
Pi.P（Xai）Pij,i1,2,L
j
称概率P（丫bj）（j1,2，L）为随机变量Y的边缘分布率，记为P.j，并有
P（Ybj）Pij,j1,2,L
j=i
6．随机变量的相互独立性
设（X,丫）为二维离散型随机变量，X与丫相互独立的充分必要条件为
多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有
与二维相应的结论．
7．*随机变量函数的分布
设X是一个随机变量，g（x）是一个已知函数，丫g（x）是随机变量X的函数,
它也是一个随机变量.对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量丫的分布.
设离散型随机变量X的概率函数为
但要注意，若g（ai）的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率Pi相加.
第三章连续型随机变量及其分布
本章重点：
一维及二维随机变量的分布及其概率计算，边缘分布和独立性计算.
1.*分布函数
随机变量的分布可以用其分布函数来表示,
F（x）P（Xx）
2.分布函数F（x）的性质
（1）0F（x）
1；
⑵limF（x）
°，limF（x）1
x
由已知随机变量
X的分布函数F（x），可算得X落在任意区间（a’b］内的概率
P（aXb）F（b）F（a）
3.联合分布函数
二维随机变量（X,Y）的联合分布函数
F（x,y）P（Xx,Yx）
4．联合分布函数的性质
（1）
0F（x,y）
1；
limF（x,y）
0,limF（x,y）
0
（2）
x
y
lximF（x,y）
x
y
0,limF（x,y）
x
y
1
•
（3）
P（x1X
x2,y1Yy2）
F（x2,y2）F（x2,y1）F（x1,y2）F（x1,y1）
5.**连续型随机变量及其概率密度
设随机变量X的分布函数为F（x），如果存在一个非负函数f（x），使得对于任
实数x，有
成立，则称X为连续型随机变量，函数f（x）称为连续型随机变量X的概率密度.
6.**概率密度f（x）及连续型随机变量的性质
（1）f（x）0；
（2）f（x）dx1；
（3）F（x）f（x）；
4）设X为连续型随机变量，则对任意一个实数c，P（Xc）0；
（5）设f（x）是连续型随机变量X的概率密度，则有
b
af（x）dx
7.**常用的连续型随机变量的分布
其中,
指数分布E（
），它的概率密度为
其中,
正态分布N（
2），
它的概率密度为
f（x）
其中,
0,1时，称
N（0,1）为标准正态分布，它的概率密
度为
f（x）
标准正态分布的分布函数记作
（x），
（x）
当出x0时,
（x）可查表得到;
x0时，（X）可由下面性质得到
x）1（x）.
设X~N（
2
），则有
F（x）
P（aX
（旦
8.**二维连续型随机变量及联合概率密度
对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F（x,y），如果存在一个二元非负函数f（x,y）,
使得对于任意一对实数（x,y）有
成立，则
（X'Y）为二维连续型随机变量，f（x,y）为二维连续型随机变量的联合概率
密度.
**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质
f（x,y）dxdy1.,
在f（x,y）的连续点处有
设f（x,y）为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为
丫的边缘概率密度为
11.常用的二维连续型随机变量
（1）均匀分布
如果（X，丫）在二维平面上某个区域
G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为
（2）二维正态分布N（
2
1,2,1,
如果（X,Y）的联合概率密度
（X,Y）服从二维正态分布，并记为
（X,Y）~N（
布的边缘分布还是正态分布.
12.**随机变量的相互独立性
那么，称随机变量X与丫相互独立.
设（X,Y）为二维连续型随机变量，则X与丫相互独立的充分必要条件为
第四章随机变量的数字特征
本章重点：
随机变量的期望。
方差的计算
1.**数学期望
设X是离散型的随机变量，其概率函数为则定义X的数学期望为
E（X）
aipi
i
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f（x），则定义X的数学期望为
E（X）
xf（x）dx
2．*随机变量函数的数学期望
设X为离散型随机变量，其概率函数则X的函数g（X）的数学期望为
设（X,Y）为二维离散型随机变量，其联合概率函数
则（X'Y）的函数g（X,Y）的数学期望为
E[g（X,Y）]g（ai,bj）pij
ji
（2）
E（kXb）kE（X）b（k,b为常数）；
（3）
E（XY）E（X）E（Y）；
（4）
如果X与相互独立，则E（XY）E（X）E（Y）.
**方差与标准差
随机变量X的方差定义为
D（X）E[XE（X）]2．
计算方差常用下列公式：
当X为离散型随机变量，其概率函数为
则X的方差为
D（X）（xE（x））2f（x）dx
随机变量X的标准差定义为方差D（X）的算术平方根eW.
D（kX）k2D（X）（k为常数）；
如果X与丫独立，则D（XY）D（X）D（Y）.
原点矩与中心矩
随机变量X的k阶原点矩定义为E（Xk）；
随机变量X的k阶中心矩定义为E[（XE（X））k]]；
7.**常用分布的数字特征
（1）当X服从二项分布B（n,p）时,
E（X）np,D（X）np（1p）.
（2）当X服从泊松分布p（）时,
E（X）,D（X）
（3）
当X服从区间（a,b）上均匀分布时，
（4）
当X服从参数为的指数分布时，
（5）
2
当X服从正态分布N（,）时
E（X）
D（X）
（6）
当（X,Y）服从二维正态分布N（
2
1,2,1
E（X）
2
1,D（X）12
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