统计学例题.docx
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统计学例题
7.7某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：
小时）：
3.3
3.1
6.2
5.8
2.3
4.1
5.4
4.5
3.2
4.4
2.0
5.4
2.6
6.4
1.8
3.5
5.7
2.3
2.1
1.9
1.2
5.1
4.3
4.2
3.6
0.8
1.5
4.7
1.4
1.2
2.9
3.5
2.4
0.5
3.6
2.5
求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%,95%和99%。
解：
（1）样本均值X=3.32，样本标准差s=1.61;
（2）抽样平均误差：
重复抽样:
CTS
匚x==1.61/6=0.268
VnJn
不重复抽样:
_crN—ns
「n】N—1：
.n
1.61
.36
N
N
7500-36
7500-1
=0.268X0.995=0.268X0.998=0.267
1-a=0.9,t=Z^2=Z0.05=1.645
1f=0.95,t=Z2=Z0.025=1.96
1—0=0.99,t=乙2=Z°.005=2.576
（4）边际误差（极限误差）：
1-：
=0.9,‘X=t6=Z：
.2Vx=Z°.05J
重复抽样：
"x二乙26=
:
Z0.05-
x=1.645X0.268=0.441
不重复抽样:
耳二乙.2-
x=Z0.05
匚x=1.645X0.267=0.439
1-:
=0.95,
厶x=t匚x
.2r=
20.025'x
重复抽样：
■：
x=Z：
.2Jx=
:
Z0.025
\=1.96X0.268=0.525
不重复抽样：
Ax==Z0.02^crX=1.96X0.267=0.523
1-：
：
=0.99，「:
x=t■:
-x二乙.2心x=勺.005
-x
重复抽样：
也兴=Z：
2Qx=Z0.005=2.576X0.268=0.69
不重复抽样：
—=灯夫=Zj.005=2.576X0.267=0.688
（5）置信区间:
x->x,X4
-?
=0.9,
重复抽样：
x:
-x,
不重复抽样:
x-：
—=0.95,
重复抽样：
X匚x,
不重复抽样:
x-
「=0.99,
重复抽样：
x=-x,
不重复抽样:
x-：
x飞=3.32—0.441,3.320.441=（2.88,3.76）
x,X=3.32—0.439,3.320.439=（2.88,3.76）
xr=3.32-0.525,3.320.525=（2.79,3.85）
x,Xx=3.32—0.441,3.320.441=（2.80,3.84）
x很=3.32—0.69,3.320.69=（2.63,4.01）
x,xx=3.32—0.688,3.320.688=（2.63,4.01）
7.9某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由本，他们到单位的距离
10314869
假定总体服从正态分布，
16个人组成的一个随机样
解：
小样本，总体方差未知，用
二—5一1）
In
均值=9.375，样本标准差s=4.11
置信区间：
（单位：
km）分别是：
121175101591613
求职工上班从家里到单位平均距离的
t统计量
2
95%的置信区间。
s
j-如2（n-1）•石,x论（n-1
1—0=0.95,n=16,02（n—1）=俎025（15卜2.13
（_s_s）
（一切2（nT）■石,x+02（nT）石i
（411411）
9.375-2.13^=,9.3752.13=（7.18,11.57）
I后届丿
7.11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为lOOg。
现从某天生产
的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：
g）如下：
每包重量（g）
包数
96~98
2
98~100
3
100~102
34
102~104
7
104~106
4
合计
50
已知食品包重量服从正态分布，要求：
（1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。
解：
大样本，总体方差未知，用z统计量
z」N0,1
样本均值=101.4，样本标准差s=1.829
置信区间：
（-ss\
Z2
1—u=0.95,Zi.2=Z0.025=1.96
"n
”101.4—1.96汉十1.96汉i=（100.89,101.91）
IV50J50丿
⑵如果规定食品重量低于l00g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。
解：
总体比率的估计
大样本，总体方差未知，用z统计量
p-二
N0,1
样本比率=（50-5）/50=0.9
置信区间：
P—Z：
.2
°9i.9,0.91.96严.9"9
50；50
7.20顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，
比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。
为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：
所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：
顾客在三个业务窗口处列队三排等待。
为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：
分钟）如下:
方式1
6.5
6.6
6.7
6.8
7.1
7.3
7.4
7.7
7.7
7.7
方式2
4.2
5.4
5.8
6.2
6.7
7.7
7.7
8.5
9.3
10
要求：
（1）构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。
解：
估计统计量
n-1S2
匚2
经计算得样本标准差sf=3.318
置信区间:
n-1S2
2
1Y.：
2n-1
=0.95,n=10,卷2（n—1）=逬025（9）=19.02n—1）=盂肌（9）=2.7
n-1Sn-1S90.227290.2272
—,=（0.1075,0.7574）
：
.2n-11_-.2n-1.19.022.7
因此，标准差的置信区间为（0.3279,0.8703）
（2）构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。
解：
估计统计量
经计算得样本标准差£=0.2272
置信区间：
2222
1-a=0.95,n=10,町讥^^^0.025（9）=19.02，尤i』2（n一1）=北o.975（9）=2.7
&10装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。
劳
动效率可以用平均装配时间反映。
现从不同的装配方法中各抽取自的装配时间（单位：
分钟）如下：
甲方法：
313429323538343029323126
乙方法：
262428293029322631293228
两总体为正态总体，且方差相同。
问两种方法的装配时间有无显著不同解：
建立假设
Ho：
⑴―匹=0H1:
⑴―应工0
总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量
t二
12件产品，记录各
（a=0.05）?
X-乂2
根据样本数据计算，得n1=12,rfe=12,X1=31.75,$=3.19446,X2=28.6667,
22
12-10.9221612-10.71067
12+12—2
=8.1326
=2.648
a=0.05时，临界点为tgg+n2-2）=t0.025（22）=2.074,此题中t>如2，故拒绝
原假设，认为两种方法的装配时间有显著差异。
&11调查了339名50岁以上的人，其中205名吸烟者中有43个患慢性气管炎，在134
名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。
调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点（a=0.05）?
解：
建立假设
Ho：
nwn；Hi:
n>n
pi=43/205=0.2097n1=205p2=13/134=0.097n2=134
检验统计量
Pi-P2-d
（0.2098-0.097）-0
0.20981-0.20980.0971-0.097
205134
=3
当a=0.05，查表得乙.=1.645。
因为Z＞乙.，拒绝原假设，说明吸烟者容易患慢性气管炎。
&15有人说在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。
现从一个学校中随机抽取了
25名男生和16名女生，对他们进行了同样题目的测试。
测试结果表明，男生的平均成绩为82分，方差为56分，女生的平均成绩为78分，方差为49分。
假设显著性水平a=0.02,从上述数据中能得到什么结论？
解：
首先进行方差是否相等的检验：
建立假设
2222
H。
：
'1=••-'2；H1：
“-'1工'2
22
n1=25,S|=56,n2=16,S2=49
2
56=1.143
49
当a=0.02时，F一.224,15=3.294,F^..224,15=0.346。
由于F^..224,15vF般2（24,15），检验统计量的值落在接受域中，所以接受原假设，说明总体方差无显
检验均值差:
建立假设
总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量
根据样本数据计算，得n1=25,n2=16,x1=82,s2=56,x2=78,s2=49
22
m一1S）■m-1$
nrb-2
=1.711
t=Xi_X2
-，丄1
Sp、；——
■,r1r2
a=0.02时，临界点为如（厲+r2—2）=t0.02（39）=2.125,tV如,故不能拒绝原假设，不能
认为大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。
13.3下面是一家旅馆过去18个月的营业额数据
月份
营业额（万元）
月份
营业额（万元）
1
295
10
473
2
283
11
470
3
322
12
481
4
355
13
449
5
286
14
544
6
379
15
601
7
381
16
587
8
431
17
644
9
424
18
660
（1）用3期移动平均法预测第19个月的营业额。
（2）采用指数平滑法，分别用平滑系数a=0.3、a=0.4和a=0.5预测各月的营业额，分析预测误差，说明用哪一个平滑系数预测更合适？
（3）建立一个趋势方程预测各月的营业额，计算出估计标准误差。
详细答案:
第19个月的3期移动平均预测值为：
北7+644+660
3
1891
二630.33
（2）
月份
营业额
预测
a=0.3
误差平方
预测
a=0.4
误差平方
预测
a=0.5
误差平方
1
295
2
283
295.0
144.0
295.0
144.0
295.0
144.0
3
322
291.4
936.4
290.2
1011.2
289.0
1089.0
4
355
300.6
2961.5
302.9
2712.3
305.5
2450.3
5
286
316.9
955.2
323.8
1425.2
330.3
1958.1
6
379
307.6
5093.1
308.7
4949.0
308.1
5023.3
7
381
329.0
2699.4
336.8
1954.5
343.6
1401.6
8
431
344.6
7459.6
354.5
5856.2
362.3
4722.3
9
424
370.5
2857.8
385.1
1514.4
396.6
748.5
10
473
386.6
7468.6
400.7
5234.4
410.3
3928.7
11
470
412.5
3305.6
429.6
1632.9
441.7
803.1
12
481
429.8
2626.2
445.8
1242.3
455.8
633.5
13
449
445.1
15.0
459.9
117.8
468.4
376.9
14
544
446.3
9547.4
455.5
7830.2
458.7
7274.8
15
601
475.6
15724.5
490.9
12120.5
501.4
9929.4
16
587
513.2
5443.2
534.9
2709.8
551.2
1283.3
17
644
535.4
11803.7
555.8
7785.2
569.1
5611.7
18
660
567.9
8473.4
591.1
4752.7
606.5
2857.5
合计
—
—
87514.7
62992.5
—
50236
由Excel输出的指数平滑预测值如下表：
a=0.3时的预测值:
误差均方=87514.7。
a=0.4时的预测值：
误差均方=62992.5.。
a=0.5时的预测值：
，误差均方=50236。
比较各误差平方可知，a=0.5更合适。
（3）根据最小二乘法，利用Excel输出的回归结果如下：
回归统计
MultipleR
0.9673
RSquare
0.9356
AdjustedRSquare
0.9316
标准误差
31.6628
观测值
18
方差分析
df
SS
MS
F
SignificanceF
回归分析
1
232982.5
232982.5
232.3944
5.99E-11
残差
16
16040.49
1002.53
总计
17
249022.9
Coefficients
标准误差
tStat
P-value
Lower95%
Upper95%
Intercept
239.73203
15.57055
15.3965
5.16E-11
206.7239
272.7401
XVariable1
21.928793
1.438474
15.24449
5.99E-11
18.87936
24.97822
「：
…"■O估计标准误差U
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