第三章 MATLAB符号运算.docx
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第三章MATLAB符号运算
第三章MATLAB符号运算
MATLAB不仅具有数值运算功能，还开发了在MATLAB环境下实现符号计算的工具包SymbolicMathToolbox和大量的符号运算函数，符号运算的主要功能有
（1）符号表达式、符号矩阵的创建；
（2）符号线性代数；
（3）因式分解、展开和简化；
（4）符号代数方程求解；
（5）符号微积分；
（6）符号微分方程。
第一节符号运算的基本操作
一、概述
1、什么是符号运算
符号运算与数值运算的区别：
（1）数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算；
（2）符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。
2、特点
（1）运算对象可以是没赋值的符号变量；
（2）可以获得任意精度的解析解。
二、符号矩阵的创建
数值矩阵A=[1,2;3,4]可以，A=[a,b;c,d]不可以。
MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：
sym和syms，两个函数的用法不同。
1、sym函数
sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：
符号量名=sym（'符号字符串'）
该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。
应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。
例：
>>A=sym（'[a,2*b;3*a,0]'）
A=
[ a,2*b]
[3*a, 0]
这就完成了一个符号矩阵的创建。
注意：
符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与MATLAB数值矩阵的一个重要区别。
把字符表达式转换为符号变量。
例：
>>y=sym（'2*sin（x）*cos（x）'）
y=
2*sin（x）*cos（x）
>>y=simple（y）
y=
sin（2*x）
2、syms函数
函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。
MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。
syms函数的一般调用格式为：
syms符号变量名1符号变量名2…符号变量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符（‘），变量间用空格而不要用逗号分隔。
例：
①用符号计算验证三角等式
。
>>symsfai1fai2;
>>y=simple（sin（fai1）*cos（fai2）-cos（fai1）*sin（fai2））
y=
sin（fai1-fai2）
②求矩阵
的行列式值、逆和特征根。
>>symsa11a12a21a22;A=[a11,a12;a21,a22]
A=
[a11,a12]
[a21,a22]
>>DA=det（A）,IA=inv（A）,EA=eig（A）
DA=
a11*a22-a12*a21
IA=
[a22/（a11*a22-a12*a21）,-a12/（a11*a22-a12*a21）]
[-a21/（a11*a22-a12*a21）,a11/（a11*a22-a12*a21）]
EA=
[1/2*a11+1/2*a22+1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）]
[1/2*a11+1/2*a22-1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）]
第二节因式分解、展开和简化
一、因式分解
1、factor指令的使用
>>symsax;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor（f1）
ans=
（x-1）*（x-2）*（x-3）*（x+1）
>>f2=x^2-a^2;factor（f2）
ans=
-（a-x）*（a+x）
2、对多项式进行嵌套型分解
>>clear;symsax;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner（f1）
ans=
-6+（5+（5+（-5+x）*x）*x）*x
二、多项式展开
>>clear;symsax;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner（f1）
ans=
-6+（5+（5+（-5+x）*x）*x）*x
>>expand（ans）
ans=
x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6
三、多项式简化
①简化
。
>>symsx;f=（1/x^3+6/x^2+12/x+8）^（1/3）;
>>sfy1=simplify（f）,sfy2=simplify（sfy1）
sfy1=
（（2*x+1）^3/x^3）^（1/3）
sfy2=
（（2*x+1）^3/x^3）^（1/3）
>>g1=simple（f）,g2=simple（g1）
g1=
（2*x+1）/x
g2=
2+1/x
②简化
。
>>symsx;ff=cos（x）+sqrt（-sin（x）^2）;
>>ssfy1=simplify（ff）,ssfy2=simplify（ssfy1）
ssfy1=
cos（x）+（-1+cos（x）^2）^（1/2）
ssfy2=
cos（x）+（-1+cos（x）^2）^（1/2）
>>gg1=simple（ff）,gg2=simple（gg1）
gg1=
cos（x）+i*sin（x）
gg2=
exp（i*x）
第三节符号微积分
一、极限
limit函数的调用格式为：
limit（f,x,a）：
求符号函数f（x）的极限值。
即计算当变量x趋近于常数a时，f（x）函数的极限值；
limit（f,a）：
求符号函数f（x）的极限值。
由于没有指定符号函数f（x）的自变量，则使用该格式时，符号函数f（x）的变量为函数findsym（f）确定的默认自变量，即变量x趋近于a；
limit（f）：
求符号函数f（x）的极限值。
符号函数f（x）的变量为函数findsym（f）确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况；
limit（f,x,a,'right'）：
求符号函数f的极限值。
'right'表示变量x从右边趋近于a；
limit（f,x,a,‘left’）：
求符号函数f的极限值。
‘left’表示变量x从左边趋近于a。
例：
>>symsamx;f=（x*（exp（sin（x））+1）-2*（exp（tan（x））-1））/（x+a）;
>>limit（f,x,a）
ans=
1/2*（a-2*exp（tan（a））+a*exp（sin（a））+2）/a
>>symsxt;limit（（1+2*t/x）^（3*x）,x,inf）
ans=
exp（6*t）
>>symsx;f=x*（sqrt（x^2+1）-x）;
>>limit（f,x,inf,'left'）
ans=
1/2
>>symsx;
>>f=（sqrt（x）-sqrt
（2）-sqrt（x-2））/sqrt（x*x-4）;
>>limit（f,x,2,'right'）
ans=
-1/2
二、符号导数
diff函数用于对符号表达式求导数。
该函数的一般调用格式为：
diff（s）：
没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数；
diff（s,'v'）：
以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数；
diff（s,n）：
按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数；
diff（s,'v',n）：
以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。
例：
求
、
和
。
>>symsatx;f=[a,t^3;t*cos（x）,log（x）];
>>df=diff（f）
>>dfdt2=diff（f,t,2）
>>dfdxdt=diff（diff（f,x）,t）
df=
[ 0, 0]
[-t*sin（x）,1/x]
dfdt2=
[ 0,6*t]
[ 0, 0]
dfdxdt=
[0,0]
[-sin（x）,0]
三、符号积分
符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：
int（s）：
没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int（s,v）：
以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int（s,v,a,b）：
求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf）。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：
①求
。
演示：
积分指令对符号函数矩阵的作用。
>>symsabx;f=[a*x,b*x^2;1/x,sin（x）];
>>int（f）
ans=
[1/2*a*x^2,1/3*b*x^3]
[ log（x）, -cos（x）]
②求积分
。
注意：
内积分上下限都是函数。
>>symsxyz
>>F2=int（int（int（x^2+y^2+z^2,z,sqrt（x*y）,x^2*y）,y,sqrt（x）,x^2）,x,1,2）
>>VF2=vpa（F2）
F2=
1610027357/6563700-6072064/348075*2^（1/2）+14912/4641*2^（1/4）+64/225*2^（3/4）
VF2=
224.92153573331143159790710032805
四、数值积分
1、数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生（Simpson）法、牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
2、数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。
该函数的调用格式为：
[I,n]=quad（'fname',a,b,tol,trace）
其中fname是被积函数名。
a和b分别是定积分的下限和上限。
tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例：
求
，其精确值为
。
（1）符号解析法
>>symsx;IS=int（'exp（-x*x）','x',0,1）
>>vpa（IS）
IS=
1/2*erf
（1）*pi^（1/2）
ans=
.74682413281242702539946743613185
（2）数值法
>>fun=inline（'exp（-x.*x）','x'）;
>>Isim=quad（fun,0,1）,IL=quadl（fun,0,1）
Isim=
0.746824180726425
IL=
0.746824133988447
第四节符号方程求解
一、符号代数方程求解
在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：
solve（s）：
求解符号表达式s的代数方程，
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