抛物线和面积问题习题.docx

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抛物线和面积问题习题

专题四：

抛物线与面积的问题

1、（2011年青海，28）已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.如图12，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若

（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？

（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.

2、（2011·大连）26如图15，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线

上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，

若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

3、（2012.河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=

x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，

点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB

于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m；

①含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：

10？

若存在直接写出m的值；若不存在，说明理由．

4、（2012广东）如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC。

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）。

过点E作直线l平行BC，交AC于点D。

设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留

）。

5、（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A，C，D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=

．

（1）求过A，C，D三点的抛物线的解析式；

（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，

（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）设直线AB与

（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？

并求出面积的最大值．

6、（2012兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y＝

x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝

上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；

（4）在

（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？

若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

7、（2013呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为　（

，0）　；

（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．

①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？

若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．

8、（2013重庆A）如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。

解：

（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， 

∴A、B两点关于直线x=﹣1对称， 

∵点A的坐标为（﹣3，0）， 

∴点B的坐标为（1，0）； 

9、（2013重庆B）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

10、（2013新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在

（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？

若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是

（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

11、（2013河南）如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,B（5,0）两点,直线y=-3x/4+3与y轴交于点,与y轴交于点C.与x轴交于点D。

点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若PE=5EF,求m的值;

（3）若点E'是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E'落在y轴上?

若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

12、（2014泰安数学）29．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣

x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？

并求出所有满足条件的N点的坐标．

13、（2014烟台）26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=

，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，

），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？

请说明理由；

（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

14、（2014枣庄）（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．

（1）求∠OBC的度数；

（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；

（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．