北师大版数学九年级下册第三章圆教学案.docx
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北师大版数学九年级下册第三章圆教学案
课题：
圆
【学习目标】
1、理解圆的描述定头，了解圆的集合定义.
2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位
置关系
【重点难点】
重点：
会确定点和圆的位置关系.。
难点：
初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼
光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.
【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【自主学习】（自学课本P65---P67思考下列问题）
1、举例说出生活中的圆。
2、车轮为什么做成圆形
3、你是怎样画圆的你能讲出形成圆的方法有多少种吗
【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念）
1圆的集合定义
（集合的观点）
2、圆的运动定义：
（运动的观点）
圆心：
半径：
3、圆的表示方法：
以点O为圆心的圆，记作“”，读作
a”
4、同时从圆的定义中归纳：
（1）圆上各点到（圆心）的距离
都等于半径）；
（2）到定点的距离等于的点都在同一个圆上.
弧^i;
弧的表示
半圆；等圆
等弧^τζ优弧:
劣弧:
；
点与圆有哪几种位
6、点和圆的位置关系：
在平面内任意取一点P,
置关系若C）O的半径为r,
点P到圆心0的距离为d,那么:
<=>
点P在圆
<=>
点P在圆
【训练案】
的距离都等于2cm的所有点组成的图形；
（2）到点A和点B的距离都
小于2cm的所有点组成的图形。
2、正方形ABCD的边长为2cm,以A为圆心2cm为半径作C）A,则点B
在C）A_;点0在G）A;点。
在。
Ao
3、已知C）O的半径为5cm.⑴若0P=3cm,那么点P与G）O的位置关系
是：
点P在C）O;
（2）若OQ二cm,那么点Q与00的位置关系
是：
点Q在G）O上；
（3）若0R=7cm,那么点R与OO的位置关系是：
点R在00
【课堂小结】通过本节课学习，你有哪些收获
课题：
圆的对称性
【学习目标】
1、探索圆的对称性，能找出圆的对称轴。
2、能运用其对称性推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系。
【重点难点】
重点：
在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的推导。
难点：
运用在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系解决问题。
【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知链接】
1＞在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做图形，这条直线叫
做O
2、中心对称图形是
【自主学习】
1∙通过对折圆，圆是轴对称图形吗如果是，它的对称轴是什么你能找到多少条对称轴（自学课本P70-P72思考下列问题）
由此得出：
2.一个圆绕它的圆心旋转180°,与原来的图形重合吗那旋转任意一个
角度，还能与原图形重合吗
由此得出:
如图：
优弧：
劣弧：
如图：
弦：
（3）直径：
如图：
直径：
【合作探究】
1、按照下列步骤进行小组活动：
⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的00和C）O
（2）在G）O和C）O中,分别作相等的圆心角ZAOB.ZAoB,连接AB、AB
⑶将两张纸片叠在一起，使C）O与Oo重合（如图）
（4）固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合
在操作的过程中，你有什么发现
2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考你能够用文字语言把你的发现表达出来吗
3、圆心角、弧、弦之间的关系：
4、试一试：
如图，已知C）0、C）O半径相等，AB、CD分别是00、Θ0的两条弦填空：
（2）若AB二CD,则
（3）若ZAOB=ZCOD,则
5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的
大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢
弧的大小：
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
【训练案】
1＞判断：
（1）直径是弦，弦是直径。
（）
（2）、半圆是弧，弧是
半圆。
（）
（3）周长相等的两个圆是等圆。
（）（4）、长度相等的两条
弧是等弧。
（）（5）同一条弦所对的两条弧是等弧。
（）
（6）、在同圆中，优弧一定比劣弧长。
（）
3.一条弦把圆分成仁3两部分，则劣弧所对的圆心角为o
4.C）O中，直径AB//CD弦，壮度数=60。
，则ZBOD=。
5.在00中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
【课堂小结】通过本节课学习，你有哪些收获
课题：
垂径定理（选学）
【学习目标】
1、掌握垂径定理，并会应用垂径定理进行简单的计算；
2、掌握与垂径定理有关的推论，并能应用这一推论解决问题。
【重点难点】
重点：
垂径定理的掌握及运用.
难点：
垂径定理的探索和证明
【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知链接】
1、如图，AB是00的;CD是G）O;OO中优弧有;
劣弧有O
2.在圆或圆中，能够
叫等弧。
【自主学习】
k用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了
什么
2、如图，AB是00的一条弦.作直径CD,使CD丄AB,垂足为M.
⑴此图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么
（2）你能发现图中有那些等量关系吗说一说你的理由。
由此得出：
垂径定理：
符号语言：
∙.∙CD是G）O的,AB是C）O的,且CDAB
与MO
—’口
②CD丄AB
o也可以表示为:
1
2
3
3、看下列图形，是否能使用垂径定理
【合作探究】
1、探索垂径定理的逆定理；如图，AB是C）O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.利用圆纸片动手做一做，然后回答：
（1）右图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么
（2）你能发现图中有那些等量关系说一说你的理由。
由此得出：
垂径定理的逆定
理：
【训练案】
K证明：
垂径定理。
2、如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点O是CD的圆心），其中CD=600m,E为CD上一点，且OE丄CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
【课堂小结】通过本节课学习，你有哪些收获
课题：
圆周角与圆心角的关系
（1）
【学习目标】
1、认识圆周角，经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，理解和掌
握圆周角定理；
2.能应用圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相
关问题。
【重点难点】
重点：
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。
难点：
圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。
【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知链接】
1圆心角的定
义。
2、在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系:
【自主学习】（自学、对学、探索圆周角的定义和特征）
仁圆周角定义：
2判定下列各角哪些是圆周角
3、圆周角特征：
角的顶点上，两边是圆的
圆心角特征：
角的顶点是,两边是圆的
【合作探究】
1、探究一条弧所对的圆周角与它所「对的圆心角之间的关系。
（自学、
由此得出圆周角定理：
2、
（1）如图，在OO中，ZB0C=50。
，则ZBAC.=
（2）如图，点A,B,C是G）O上的三点,
则ZBOC=
（3）如图，ZBrAC二40°,则ZOBC=
3、（思考与探索）
（1）、如瓦BC所对的圆心角看乡少个BC所对的圆周角有多少个请
在图中画出BC所对的圆心角和圆周角。
（2）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心角有什么关系
由此得出什么：
在同圆或等圆中，O
【训练案】
k如图，点A、B、C、D在G）O上，点A与点D在点B、C
所在直线的同侧，ZBAC=350
（1）ZBDC=。
理由是
（2）ZBOC=。
理由是
2、如图，A,B,C,D是00上的四点，且ZBCD=IrOOO
求ZBOD（BCD所对的圆心角）和ZBAD的大小。
【课堂小结】通过本节课学习，你有哪些收获
课题：
圆周角与圆心角的关系
（2）
【学习目标】
掌握圆周角定理几个推论，会熟练运用推论解决问题.；认识圆内接四边形，掌握圆内接四边形的性质。
【重点难点】
重点：
圆周角定理几个推论的应用.
难点：
应用圆心角与圆周角的关系解决问题。
.
【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知链接】
1∙圆周角定理：
2.如图，ZBOC是角，ZBAC是角。
若ZBOC=80°,
ZBAC二
3•如图，点A,B,C都在G）O上，若ZABo二65°,则ZBCA=（
【自主学习】（自学、对学、探索圆周角的定头和特征）
1.观察图②，BC是G）O的直径，它所对所对的圆周角是锐角、直角、
还是钝角你是如何判断的观察图③，圆周角ZBAC=90°,弦BC经过
圆心吗为什么
由此得出：
直径所对的,
90°的圆周角所对的弦是
2、探究一条弧所对的圆周角与它所「对的圆心角之间的关系。
（自学、对学、小组交流画出所有的情况进行分析）
由此得出：
【合作探究】
（1）如图1,A,B,C,D,是C）O的四点，AC是C）O的直径，请问ZBAD与ZBCD的之间有什么关系为什么
（2）如图2,点C的位置发生了变化，ZBAD与ZBCD的之间的关系
还成立吗为什么
由此得出
（1）圆内接四边形的定头：
圆内接四边形的性质
1:
O
（3）如图，ZDCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，ZA与ZDCE有什么关系为什么
又得出：
圆内接四边形的性质
2：
L
【训练案】
1•如图OOO的直径AB≡10cm,C为C）O上的一点，ZABC=30°
求AC的长。
φ
2.在C）O中，ZCBD=30o,ZBDC=20°,求ZA
【课堂小结】通过本节课学习，你有哪些收获
课题：
确定圆的条件
【学习目标】
掌握确定一个圆的条件，能画出三角形的外接圆；会求特殊三角形的
外接圆的半径。
【重点难点】重点：
理解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念,用尺规作三角形的外接圆。
难点：
根据三角形外接圆的作法确定圆心。
【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知链接】
1、过一点可以作几条直线
2、过几点可确定一条直线
【自主学习】（自学、对学、探索圆周角的定义和特征）
1、经过一点A是否可以作圆如果能作，可以作几个（作出图形）
2、经过两个点A、B是否可以作圆如果能作，可以作几个（据分析作出图形）
3、经过三点，是否可以作圆，如果能作，可以作几个
4、经过三点一定就能够作圆吗若能作出，若不能，说明理由.
归纳结论：
【合作探究】
1、已知：
不在同一直线上的三点A、B、C,求处・
A、B、C（要求用尺规作图，写出作法）
B∙
Gn待F纟3对占
A
■
•c
2、由上述得出：
三角形的外接圆、三角形的外心、的槪念。
圆的内接三角形
3、小明发现，店里师傅先在圆弧上顺次取
B、C（如图），使AB二BC.并测量
三点A、
得:
AB=BC=5dm,AC=8dm,然后师傅计算了下，就很快划出与原来一样大
小的圆形玻璃，你知道他计算的是什么
【训练案】
1、按图填空：
⑴MEC是00的三角∕7∕∖∖形；
~yc
（2）是ΔJPC的圆，
2、判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
（）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形;
（）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）
（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等.（
3、一个三角形能画个外接圆，一个圆中有个内
接三角形。
4、在RtΔABC中，ZC=90o,若AC=6,BC=8.求RtZiABC的外接圆的半径和面积。
【课堂小结】
通过本节课学习，你有哪些收获
课题：
直线与圆的位置关系
（1）
【学习目标】
理解直线和圆的三种位置关系：
相交，相离，相切；掌握切线的概念,
会正确判断直线和圆的位置关系。
【重点难点】重点：
理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。
难点：
灵活运用直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系解决实际问题。
【学法扌旨导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
［旧知链接】
1三角形的夕卜接圆定
义：
O
2、三角形的外心
3、圆的内接三角形
4、确定一个圆的条件：
【自主学习】
K学生操作，请你画一个圆，上、下移动直尺。
思考：
在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化请你描述这种变化。
并画出图形。
2、讨论后并填空：
①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系②
直线与圆的公共点个数有何变化
由此得出：
直线与圆有种位置关系：
▲直线与圆有两个公共点时，叫做O
▲直线与圆有惟一公共点时，叫做,这条直线叫做这
个公共点叫做
▲直线和圆没有公共点时，叫做
3、下图是直线与圆的三种位置关系，请观察垂足D与＜30的三种位
4、探索：
若G）O半径为rR到直线I的距离为d,则d与r的数量
关系和直线与圆的位置关系：
①直线与圆dr9
②直线与圆O
dr,
③直线与圆O
dro
【合作探究】
k在Z∖ABC中，ZA=45o,AC=4,以C为圆心，r为半径的圆与直
线AB有怎样的位置关系为什么
2、已知RtΔABC的斜边AB二8cm,AC二4cm.
（1）以点C为圆心A
作圆，当半径为多长时，AB与C）C相切
（2）以点G⅛J0心，分别以
置关系
【训练案】
1>在ZkABC中，AB=5cm,BCzz4cm,ACzz3cm,
（1）若以C为圆心，2cm长为半径画0C,则直线AB与C）C的位置关
系如何
（2）若直线AB与半径为r的C）C相切，求r的值。
（3）若直线AB与半径为r的C）C相交，试求r的取值范围。
2、圆O的直径4,圆心O到直线L的距离为3,则直线L与圆O的
位置关系是（）
（A）相离（B）相切（C）相交（D）相
切或相交
3、直线/上的一点到圆心O的距离等于G）O的半径，则直线/与＜30的位置关系是（）
（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交
4、已知RtΔABC的斜边AB=6cm,直角边AC=3cm,以点C为圆心，半径分别为2cm和4cm画两圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系当半径多长时，AB与G）C相切
【课堂小结】通过本节课学习，你有哪些收获
课题直线与圆的位置关系
（2）
【学习目标】
1.探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
2.掌握三角形的内切圆的概念，知道三角形的内心，会做三角形的内切圆。
【学习重难点】
重点：
探索圆的切线的判定方法。
难点：
直线与圆的判定性质的应用。
【学法指导】
1.认真阅读课本内容自主探究本节中知识重点。
2.认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知回顾】
仁三角形的外心：
角平分线的性质定理
3、切线的性质定理:
4、直线与圆的位置关系有哪几种
5、判断直线和圆的位置关系有哪些方法特别地，判断直线与圆相切
有哪些方法
【自主学习】
1、探索直线与圆相切的另一个判定方法
如图，AB是G）O的直径，直线I经过点A,/与AB的夹角为Zα,当/绕点
A顺时针旋转时，
（1）随着Zcl的变化，点O到直线的/距离d如何变化直线I与C）O
/的位置关系如何变化
（2）当Za等于多少度时，点O到直线/的距离d等于半径r直线/
由此得出，圆的切线判定另一种方法:
2、已知G）O上有一点A,过点A画G）O的切线。
【合作探究】
1、已知AABC,求作C）0,使它与AABC的三边都相切写出作法。
由此得出：
三角形内切圆的定义：
三角形白勺内心：
这个三角形叫做圆的/r
2.如图，AB、CD与半圆0切于A、D,BC
若AB=4,CD=9,求G）O的半径。
【训练案】
K在Z∖ABC中，ZC=9Oo,I是Z∖ABC的内心，则ZAlC=I20°,则Z
AlB=
ZBAC=0,ZABC=0.
2、已知直角三角形两直角边长为5、12,则它的外接圆半径R
=,内切圆半径r=・
3、如图，已知PA、PB为G）O的切线，A、B为切点，ZP=60°,AB=
4√3,求ZC的度数和G）O的半径.斤
【课堂小结】本节中你有什么收获
课题：
切线长定理（选学）
【学习目标】
K了解切线长的概念；2、理解切线长定理，掌握它的应用.
【学习重难点】
重点：
切线长定理的理解。
难点：
切线长定理的应用。
【学法指导】
1.认真阅读课本内容自主探究本节中知识重点。
2.认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知回顾】
1、什么是圆的切线
2、过圆外一点可引这个圆几条切线
【自主学习】（自学、对学、教材Pw-一P95,思考下列问题）
1.你知道什么是切线长吗切线长和切线有区别吗区别在哪里
由此得出：
经过圆外一点做圆的切线，这点和之间的
叫做切线长。
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相
等，这一点和圆心的连线平分・
2、如图，已知PA、PB是00的两条切线.A、B是切点。
求证：
PA二PB,ZOPA=ZOPB.
【合作探究】
1、四边形ABCD的四条边都与G）O相切，图中的线段之间都有哪些等量关系
2、如图，在AABC中，AB=5Cm,BC二7®,
AC=8c∕n,OO和BC、AC、AB分别相切于D、E、
F,求AF、BD和CE的长。
【训练案】
1、如图,PA、PB分别与G）O相切于点A、B,若PB=I2,PO=I3,则
AO=・
2.如图，PA,PB分别为G）O为的切线，PA=3cm,ZAPB二60°,则
PB=・
3.如图，PA、PB分别切圆0于A、B,并与圆0的切线，分别相交于
【课堂小结】本节中你有什么收获
课题：
圆内接多边形
【学习目标】
1•理解圆内接正多边形的槪念；掌握正多边形和圆中的半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
2.会应用多边形和圆的有关知识画多边形
【学习重难点】
重点：
讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、□边长之间的关系。
难点：
通过例题使学生理解四者：
正多边形半径、中心角、□弦心距、边长之间的关系。
【学法指导】
1.认真阅读课本内容自主探究本节中知识重点。
2.认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知回顾】
1、正多边形的概念：
2、请同学们自己举出一些正多边形。
3、矩形，菱形是正多边形吗为什么
【自主学习】（自学、对学、教材P97---P98,思考下列问题）
K正多边形与圆的关系非常密切。
只要把一个圆分成的一
些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形。
我们把顶点都在叫做圆内接正多边形。
这个圆叫做正多边形的O这
个多边形叫做圆的O
叫正多边形的中心；叫正
多边形的半径；
叫正多边形的中心角；叫正多边形的边心距。
2、做一做
（1）正方形ABCD的外接圆圆心叫做正方形ABCD的—
（2）正方形ABCD的内切圆圆O的半径OE叫做正方形的O
（3）若正六边形的边长是1,那么它的中心角是度，半径
是边心距是,它的每一个内角是度，每
一个外角是度。
（4）正多边形的外角度数与它的中心角的度数o
【合作探究】
1、
（1）用尺规作一个已知圆的内接正六边形。
（2）再用尺规作一个已知圆的内接四边形。
3、有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）.
【训练案】
1.若正多边形的边心距与边长之比是1:
2则这个正多边形的边数
是O
2.正三角形ABC的边心距：
半径：
高等于o
3.一个圆的内接正六边形与外切正六边形的面积之比
为O
4.正方形ABCD的对角线的长与它的边长之比是o5.四边形ABCD为00的内接梯形，如图所示，AB〃CD,且CD为直
径，如果00的半径等于r,ZC=60o,那图中AOAB的边长AB是;ΔODA的周长是;ZBoC的度数
是O
于6；TCnι,□求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.
【课堂小结】
本节中你有什么收获
课题：
弧长及扇形的面积
【学习目标】
1、了解扇形的槪念，理解n□o的圆心角所对的弧长和扇形面积的计
算公式并熟练掌握它们的应用.
2、通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长
L=和扇形面积
180
S折岐的计算公式，并能熟练的运用公式解题。
360
【重点难点】
重点：
弧长与扇形面积公式的推导。
难点：
弧长与扇形面积公式的应用。
【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知回顾】
1.圆的周长公式是O
2.圆的面积公式是o
3.什么叫弧长
【自主学习】（自学％—--P⑼思考下列问题）
K圆的周长可以看作度的圆心角所对的弧.
1°的圆心角所对的弧长是O2°的圆心角所对的弧长是
O
4°的圆心角所对的弧长是o
no的圆心角所对的弧长是o
2、什么叫扇形
3、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；
设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S朋二
设圆的半径为R,2°的圆心角所对的扇形面积S易沪
设圆的半径为R,5°的圆心角所对的扇形面积S彬二
设圆的半径为R,no的圆心角所对的扇形面积S彬二3、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积
【合作探究】
1.一圆弧的圆心角为300°,它所对的弧长等于半径为6cm的圆的周长，则该弧所在的圆的半径是O
2.一条弧所对的圆心角为120。
，弧长等于半径为5的圆的周长的3倍,则其半径
3.如果一条弧长等于L,它的半径等于R,这条弧所对的圆心角增
Z1π∕?
加，则它的弧长增加（）A・匚B.—
180/1
P∩
5JlR5360
4•如图5所示，以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相
切于点C,已知AB=I0,求圆环的面积
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