10列方程解应用题有趣的行程问题含答案+.docx
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10列方程解应用题有趣的行程问题含答案+
10.列方程解应用题──有趣的行程问题
知识纵横
数学是一门具有广泛应用性的科学,我国著名数学家华罗庚先生曾说过:
“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”.毛
数学应用题的类型很多,比较简单的是方程应用题,又以一元一次方程应用题最为基础,方程应用题种类繁多,以行程问题最为有趣而又多变.
行程问题的三要素是:
距离（s）、速度（v）、时间（t）,行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题;按运动路线可分为直线形问题、环形问题等.
熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧.
例题求解
【例1】某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米,若A、C两地的距离为10千米,则A、B两地的距离为_____千米.（重庆市竞赛题）
思路点拨等量关系明显,关键是考虑C地所处的位置.
解:
20或
提示:
C可在AB之间或AB之外
【例2】如图,某人沿着边长为90米的正方形,按A→B→C→D→A……方向,甲以A以64米/分的速度,乙从B以72米/分的速度行走,当乙第一次追上甲时在正方形的（）.
A.AB边上B.DA边上
C.BC边上D.CD边上（安徽省竞赛题）
思路点拨本例是一个特殊的环形的追及问题,注意甲实际在乙的前面
3×90=270（米）处.
解:
选B提示:
乙第一次追上甲用了
分钟,72×
=7×360+2
×90
【例3】父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑,已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步,儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等.现在儿子站在100米的中点处,父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑,问父亲能否在100米的终点处超过儿子?
并说明理由.（2002年重庆市竞赛题）
思路点拨:
把问题转化为追及问题,即比较父亲追上儿子时,儿子跑的路程与50的大小,为了理顺步长、路程的关系,需增设未知数,这是解题的关键.
解:
设儿子每步跑x米,父亲每步跑y米,单位时间内儿子跑5步,父亲跑6步,设t个单位时间父亲追上儿子,则有5tx+50=6ty,把4y=7x代入得5tx+50=6t·
x,解得tx=
则赶上时,儿子跑了5tx=
×5=
<50,故父亲能够在100米的终点前赶上儿子.
【例4】钟表在12点钟时三针重合,经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分?
（2000年湖北省数学竞赛选拨赛试题）
思路点拨先画钟表示意图,运用秒针分别与时针、分针所成的角相等建立等量关系,关键是要熟悉与钟表相关的知识.
解:
分
提示:
设经过x分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分,因为秒针、分针、时针的速度分别为360度/分、6度/分、0.5度/分,显然x的值大于1小于2,所以有6x-360（x-1）=360（x-1）-0.5x,解得x=
.
【例5】七年级93年同学在4位老师的带领下准备到离学校33千米处的某地进行社会调查,可是只有一辆能坐25人的汽车.为了让大家尽快地到达目的地,决定采用步行与乘车相结合的办法.如果你是这次行动的总指挥,你将怎样安排他们乘车,才能使全体师生花最短的时间到达目的地?
最短的时间是多少?
（师生步行的速度是5千米/时,汽车的速度是55千米/时,上、下车时间不计）.
思路点拨人和车同时出发,由车往返接运,如能做到人车同时到达目的地,则时间最短,而实现同时到达目的地的关键在于平等地享用交通工具,这样,各组乘车的路程一样,步行的路程也就一样.
解:
要使全体师生到达目的地花的时间最短,就应让每一个学生或老师都乘到汽车,并且使他们乘车的时间尽可能地长.
97人分成四组①、②、③、④.
实线表示汽车行驶路线,虚线表示步行路线.
设允许每组乘车的最长时间为t小时.图中AC=55t,CB=33-55t.
汽车从C到D（E到F,G到H也一样）
用去的时间为
=
t（小时）
汽车到达C处后,三次回头,又三次向B处开.共用去时间3×
t+36t=
t.
这也是第一组从C到B步行所用的时间,所以有33-5t=
t×5
解得t=
小时.所以全体师生从学校到目的地去的最短时间为
+
（小时）.
学力训练
一、基础夯实
1.甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千米的两地相向而行,甲的速度为每小时17.5千米,乙的速度为每小时15千米,则经过________小时,甲、乙两人相距32.5千米.
2.某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地,然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地,那么此人往返一次的平均速度是_____千米/小时.
3.汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员揿一声嗽叭,4秒后听到回响,已知声音的速度是每秒340米,听到回响时汽车离山谷的距离是______米.（第15届江苏省竞赛题）
4.现在是4点5分,再过_____分钟,分针和时针第一次重合.
5.甲、乙两人同时从A地到B地,如果乙的速度v保持不变,而甲先用2v的速度到达中点,再用
v的速度到达B地,则下列结论中正确的是（）.
A.甲、乙两人同时到达B地B.甲先到B地
C.乙先到B地D.无法确定谁先到
6.甲与乙比赛登楼,他俩从36层的长江大厦底层出发,当甲到达6楼时,乙刚到达5楼,按此速度,当甲到达顶层时,乙可到达（）.
A.31层B.30层C.29层D.28层
7.小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,下图是小明每隔1小时看到的里程情况,你能确定小明在12:
00时看到的里程表上的数吗?
8.如图,是某风景区的旅游路线示意图,其中B、C、D为风景点,E为两条路的交叉点,图中数据为两相应点间的距离（单位:
千米）,一学生从A处出发,以2千米/时的速度步行游览,每个景点的逗留时间均为0.5小时.
（1）当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时,共用了3小时,求CE的长.
（2）若此学生打算从A处出发后,步行速度与在景点的逗留时间保持不变,且在最短时间内看完三个景点返回到A处,请你为他设计一条步行路线,并说明这样设计的理由.（不考虑其他因素）.（2001年江西省中考题）
9.某人从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行30千米,那么比火车开车时间早到15分钟,若每小时行18千米,则比火车开车时间迟到15分钟,现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站,求此人此时骑摩托车的速度应该是多少?
（湖北省孝感市竞赛题）
二、能力拓展
10.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______秒.（“希望杯”邀请赛试题）
11.甲、乙两地相距70千米,有两辆汽车同时从两地相向出发,并连续往返于甲、乙两地,从甲地开出的为第一辆汽车,每小时行30千米,从乙地开出的汽车为第二辆汽车,每小时行40千米,当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇,这两辆汽车分别行驶了______千米和______千米.（武汉市选拨赛试题）
12.某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动,甲、乙两人都急于上楼办事,因此在乘扶梯的同时匀速登梯,甲登了55级后到达楼上,乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍）,他登了60级后到达楼上,那么,由楼下到楼上自动扶梯级数为________.（北京市竞赛题）
13.博文中学学生郊游,沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进,每小时走4500米,一列火车以每小时120千米的速度迎面开来,测得从车头与队首学生相遇,到车尾与队末学生相遇,共经过60秒,如果队伍长500米,那么火车长为（）米.
A.2075B.1575C.2000D.1500（“五羊杯”邀请赛试题）
14.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是（）.（第13届“希望杯”邀请赛试题）
A.9时30分B.10时5分C.10时5
分D.9时32
分
15.铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进,行人速度为3.6千米/小时,骑车人速度为10.8千米/小时,如果有一列火车从他们背后开过来,它通过行了用了22秒,通过骑车人用26秒,问这列火车的车身长为多少米?
（河北省竞赛题）
16.2001年亚洲铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行.比赛程序是:
运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点,在第一换项点整理服装后,接着骑自行车40千米到第二项换点,再跑步10千米到终点.下表是2001年亚洲铁人三项赛女子组（19岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（游泳成绩即游泳所用时间,其他类推,表内时间单位为秒）.
运动员号码
游泳成绩
第一换项点所用时间
自行车成绩
第二换项点所用时间
长跑成绩
191
1997
75
4927
40
3220
194
1503
110
5686
57
3652
195
1354
74
5351
44
3195
（1）填空（精确到0.01）:
第191号运动员骑自行车的平均速度是_______米/秒;
第194号运动员骑自行车的平均速度是_______米/秒;
第195号运动员骑自行车的平均速度是_______米/秒.
（2）如果运动员骑自行车都是匀速的,那么在骑自行车的途中,191号运动员会追上195号或194号吗?
如果会,那么追上时离第一换项点有多少米（精确到0.01）?
如果不会,为什么?
（3）如果运动员长跑也都是匀速的,那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗?
为什么?
（2001年徐州市中考题）
三、综合创新
17.某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车,第一辆出租车出发后,每隔4分钟就有一辆出租汽车开出,在第一辆汽车开出2分钟后,有一辆出租汽车进站,以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站,回站的出租汽车,在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆.问:
第一辆出租汽车开出后,经过最少多少时间,车站不能正点发车?
（2002年重庆市竞赛题）
18.今有12名旅客要赶往40千米远的汉口新火车站去乘火车,离开车时间只有3小时,他们步行的速度为每小时4千米,靠走路是来不及了,惟一可以利用的交通工具只有一辆小汽车,但这辆汽车连司机在内最多只能乘5人,汽车的速度为每小时60千米,若这12名旅客必须要赶上这趟火车,请你设计一种方案,帮助司机把这12名旅客及时送到汉口火车站（不考虑借助其他交通工具）.
答案
【学力训练】
1.1或32.4.83.640
4.16
提示:
设再过x分钟,分针与时针第一次重合,分针每分钟走6°,时针每分钟走0.5°,
则6x=0.5x+90+0.5×5,解得x=16
.
5.C6.C提示:
7.16
8.
（1）设CE长为x千米,则1.6+1+x+1=2×（3-2×0.5）,解得x=0.4（千米）
（2）若步行路线为A→D→C→B→E→A（或A→E→B→C→D→A）则所用时间为:
（1.6+1+1.2+0.4+1）+3×0.5=4.1（小时）;
若步行路线为A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A）,
则所用时间为:
（1.6+1+0.4+0.4×2+1）+3×0.5=3.9（小时）,
因为4.1>4,4>3.
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