完整版大学物理授课教案第十二章机械振动.docx
《完整版大学物理授课教案第十二章机械振动.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版大学物理授课教案第十二章机械振动.docx（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整版大学物理授课教案第十二章机械振动
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）
第四篇振动与颠簸
第十二章机械振动
§12-1简谐振动
1、弹簧振子运动
如图所取坐标，原点O在m均衡地点。
现将m略向右移到A，而后松开，此时，由
于弹簧伸长而出现指向均衡地点的弹性力。
在弹性
力作用下，物体向左运动，当经过地点
O时，作用
在m上弹性力等于0，可是因为惯性作用，m将持续向
O左侧运动，使弹簧压缩。
此时，因为弹簧被压缩，
而出现了指向均衡地点的弹性力并将阻挡物体向左
运动，使m速率减小，直至物体静止于
B（刹时静
止），以后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。
这样在弹性力作用下物体左右来去运动，即作机械振动。
图12-1
2、简谐振动运动方程
由上剖析知，m位移为x（相对均衡点O）时，它遇到弹性力为（胡克定律）：
F
kx
（12-1）
式中：
当x
0即位移沿+x时，F沿-x，即F
0当x
0即位移沿-x时，F沿+x，即F0
k为弹簧的倔强系数，“—”号表示力F与位移x（相对O点）反向。
定义：
物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。
由定义知，弹簧振子做谐振动。
由牛顿第二定律知，m加快度为
a
F
kx
m
m
（m为物体质量）
a
d2x
d2x
kx
0
∵
dt2
∴dt2
m
k
2
∵k、m均大于0，∴可令m
可有：
第十二章
机械振动
沈阳工业大学
郭连权（教授）
d2x
2x0
（12-2）
dt2
式（12-2）是谐振动物体的微分方程。
它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为
x
Asint
'
（12-3）
或
x
Acos
t
（12-4）
'
2
式（12-3）（12-4）是简谐振动的运动方程。
所以，我们也能够说位移是时间
t的正弦或余
弦函数的运动是简谐运动。
本书顶用余弦形式表示谐振动方程。
3、谐振动的速度和加快度
物体位移：
x
Acost
dx
Asin
t
V
（12-5）
速度：
dt
d2x
a
2Acost
2x
加快度：
dt2
（12-6）
可知：
Vmax
A
amax
2A
xt、V
t、a
t曲线以下
图12-2
图12-3
第十二章
机械振动
沈阳工业大学
郭连权（教授）
说明：
（1）
F
kx是谐振动的动力学特点；
（2）a
2x是谐振动的运动学特点；
（3）做谐振动的物体往常称为谐振子。
§12-2谐振动的振幅角频次位相
上节我们得出了谐振动的运动方程xAcost，此刻来说明式中各量意义。
1、振幅
做谐振动的物体走开均衡地点最大位移的绝对值称为振幅，记做A。
A反应了振动的强弱。
2、角频次（圆频次）
为了定义角频次。
第一定义周期和频次。
物体作一次完好振动所经历的时间叫做振动的周期，用T表示；在单位时间内物体所作的完好振动次数叫做频次，用v表示。
1
1
v
T
由上可知：
T
或
v
∵T为周期，∴x
Acost
AcostT
∵从t时辰经过1个周期时，物体又初次回到本来
t时辰状态，∴T
2（余弦函数
周期为2）
2
2v
T
可见：
表示在2秒内物体所做的完好振动次数，称为角频次（圆频次）
k
∵m
2
2
m
T
k
∴
v
1
k
2
m
2
关于给定的弹簧振子，m、k都是必定的，所以T、v完好由弹簧振子自己的性质所决定，与其余要素没关。
所以，这类周期和频次又称为固有周期和固有频次。
3、位相
在力学中，物体在某一时辰的运动状态由地点坐标和速度来决定，振动中，当A、
第十二章
机械振动
沈阳工业大学
郭连权（教授）
给定后，物体的地点和速度取决于
t
，
t
称为位相（或周相、相位）。
由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。
是t0时的位相，称为初相。
4、A、确实定
关于给定的系统，
已知，初始条件给定后可求出
A、。
初始条件：
t0时
xx0由x、v表达式有
vv0
x0Acos
v0Asin即
x0Acos
v0
Asin
tg
0即
x0
arctg
v0
x0
A
2
v02
x0
2
值所在象限：
1）x0
0，v0
0：
在第Ⅰ象限
2）x0
0，v0
0：
在第Ⅱ象限
3）x0
0，v0
0：
在第Ⅲ象限
4）x0
0，v0
0：
在第Ⅳ象限
（12-6）
（12-7）
5、两个谐振动物体在同一时辰位相差
设物体1和2的谐振动方程为
图12-4
x1
A1cos
1t
1
x2
A2cos
2t
2
随意t时辰两者位相差为
2t
2
1t121t
21
1：
2的位对比1超前
1：
2、1同位相
0：
2的位对比1落伍
第十二章
机械振动
沈阳工业大学
郭连权（教授）
例12-1：
以下图，一弹簧振子在圆滑水平面上，已知k
1.60N/m，，试
求以下状况下m的振动方程。
（1）将m从均衡地点向右移到x
0.10m处由静止开释；
（2）将m从均衡地点向右移到x
0.10m处并给予m向左的速率为。
解：
（1）m的运动方程为
x
Acos
t
k
2/s
由题意知：
m
初始条件：
t
0时，x0
0.10m，v00
A
2
v02
2
可得：
x0
2
0.100
图12-5
arctg
v0
arctg0
x0
∵
x0
0
，
v0
0
，∴
0
x
0.10cos2tm
2）初始条件：
t
0时，x0
0.10m，v0
0.20m/s
A
2
v02
2
0.202
0.12m
x0
2
22
arctg
v0
arctg
arctg1
x0
2
∵x0
0，v0
0，∴
4
x
0.12cos2t
m
4
可见：
关于给定的系统，假如初始条件不一样，则振幅和初相就有相应的改变。
例12-2：
以下图，一根不能够伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离均衡地点开释，小球即在铅直面内均衡地点邻近做振动，这一系统称为单摆。
（1）证明：
当摆角很小时小球做谐振动；
（2）求小球振动周期。
证：
（1）设摆长为l，小球质量为m，某时辰小球悬线与铅
直线夹角为
，选悬线在均衡地点右边时，角位移
为正，由
转动定律：
MJ
有
mgsinlml2d2
图12-6
dt2
第十二章
机械振动
沈阳工业大学
郭连权（教授）
d2
gsin0
即
dt2
l
∵很小。
∴sin
0
d2
g
0
dt2
l
∵这是谐振动的微分方程（或与正比反向）
∴小球在做谐振动。
（2）
22l
T2
gg
l
（注意做谐振动时条件，即很小）
§12-3表示谐振动的旋转矢量方法
在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，相同，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。
一、旋转矢量
自ox轴的原点o作一矢量A，其模为简谐振动的振幅A，并使A在图面内绕o点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频次，矢量A称为旋转矢量。
二、简谐振动的旋转矢量表示法
图12-7
A
（1）旋转矢量A的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动，振幅为
（2）旋转矢量A以角速度旋转一周，相当于谐振动物体在x轴上作一次完好振
动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。
（3）t
0时辰，旋转矢量与
x轴夹角
为谐振动的初相，
t时辰旋转矢量与
x轴夹
角
t
为t时辰谐振动的位相。
说明：
（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简易方法。
（2）一定注意，旋转矢量自己其实不在作谐振动，而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。
旋转矢量与谐振动xt曲线的对应关系（设0）
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）
图12-8
三、旋转矢量法应用举例
例12-3：
一物体沿x轴作简谐振动，振幅为，周期为2s。
t0时，位移为，
且向x轴正向运动。
（1）求物体振动方程；
（2）设t1时辰为物体第一次运动到x0.06m处，试求物体从t1时辰运动到均衡
地点所用最短时间。
解：
（1）设物体谐振动方程为
xAcost
由题意知A
2
2
S1
T
2
?
〈方法一〉用数学公式求
x0Acos
∵A
0.12m,x0
cos
1
2
3
∴
∵v0
Asin
0
∴3
x0.12costm
3
〈方法二〉用旋转矢量法求
依据题意，犹如左图所示结果
∴3图12-9
x0.12costm
3
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）
由上可见，〈方法二〉简单
（2）〈方法一〉用数学式子求
t
0.12cost1
t1
由题意有：
3
（∵
t1
2
4
3
3
或
3
v1
Asin
t1
0
∵此时
3
t1
2
3
3
∴
t1
1s
设t2时辰物体从t1时辰运动后初次抵达均衡地点，
0
t2
3
有：
t2
3
（∵t22
t2
3
2或2
∴3
v2
A
sin
t2
0
∵3
3
t2
∴32
11
t2s
115
tt2t11s
66
〈方法二〉用旋转矢量法求t
由题意知，有左图所示结果，M1为t1时辰A
尾端地点，M2为t2时辰A尾端地点。
从
t1t2内A转角为
t2
t1
M1OM2
5
2
6
5
3
5
5
tt2
6
t1
6
s
6
明显〈方法二〉简单。
例12-4：
图为某质点做谐振动的xt曲线。
求振动方程。
解：
设质点的振动方程为x
Acost
由图知：
A10cm
2
2
s1
T
2
T2
t1
3
2
∴
）
2
）
图12-10
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）
图12-11
3
用旋转矢量法（见上页图）可知，
2（或
2
）
x10costcm
2
例12-5：
弹簧振子在圆滑的水平面上做谐振动，A为振幅，t0时辰状况以下图。
O为原点。
试求各样状况下初相。
图12-12
§12-4谐振动的能量
关于弹簧振子，系统的能量E=Ek（物体动能）+Ep（弹簧势能）
已知：
物体位移
x
Acos
t
物体速度v
Asin
t
EEkEp
1mv2
1kx2
2
2
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）
1
Asin
t
2
1
t
2
m
kAcos
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2m
A
sin
t
2
kA
cos
t
（m
2
k）
kA2sin2
t
cos2
t
2
1kA2
2
1
1
E
kA2
m
2A2
（11-8）
2
2
说明：
（1）固然
Ek
、
Ep
均随时间变化，但总能量
E
Ek
Ep
且为常数。
原由是系
统只有守旧力作功，机械能要守恒。
（2）Ek与Ep相互转变。
当x
0时，Ep
0，Ek
Ekmax
E。
在x
A处，
Ek
0
，
Ep
Epmax
E
。
例12-6：
一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为
A。
试求
Ek1Ep
的地点。
2
解：
设弹簧的倔强系数为k，系统总能量为
EEk
Ep
1kA2
2
1
kEp
在2时，有E
EkEp
3Ep
3
1kx2
2
2
2
3kx2
1kA2
4
2
2
xA
∴3
例12-7：
以下图系统，弹簧的倔强系数k
25N/m，物块m1，物块m2，
m1与m2间最大静摩擦系数为
，m1与地面间是圆滑的。
现将物块拉离平
衡地点，而后任其自由振动，使m2在振动中不致从m1上滑落，问系统所能具
有的最大振动能量是多少。
解：
系统的总能量为
E1kA2
2
Ekmax
E
1kA2
0）
2（此时Ep
m2不致从m1上滑落时，须有
m2a
m2g
图12-13
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）
极限状况amaxgA
2
g
g
m1
m2
A2
k
即
1k
2
2g22
Ekmax
g
m1
m2
1
m1
m2
2
k
2
k
1
2
2
2
25
2
§12-5同方向同频次两谐振动合成
一个物体能够同时参加两个或两个以上的振动。
如：
在有弹簧支撑的车厢中，人坐
在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参加两个振动，一个为人对车厢的振动，另
一个为车厢对地的振动。
又如：
两个声源发出的声波同时流传到空气中某点时，因为每
一声波都在该点惹起一个振动，所以该质点同时参加两个振动。
在此，我们考虑一质点
同时参加两个在同向来线的同频次的振动。
取振动所在直线为x轴，均衡地点为原点。
振动方程为
x1
A1cos
t
x2
A2cos
t
1
2
A1、A2分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；1、2分别表示第一个振动和第二
个振动的初相。
是两振动的角频次。
因为x1、x2表示同向来线上距同一均衡地点的位移，所以合成振动的位移x在同向来线上，并且等于上述两分振动位移的代数和，即
xx1x2
为简单起见，用旋转矢量法求分振动。
图12-14图12-15
以下图，t
0时，两振动对应的旋转矢量为
A1、A2，合矢量为AA1A2。
∵A1、
A2以相同角速度
转动，∴转动过程中A1与A2间夹角不变，可知A大小不变，并且A也
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）
以转动。
随意时辰t，A矢端在x轴上的投影为：
xx1x2
所以，合矢量A即为合振动对应的旋转矢量，A为合振动振幅，为合振动初相。
合振动方程为：
xAcost（仍为谐振动）
由图中三角形OM1M2知：
AA12
A22
2A1A2cos
2
1
（12-9）
由图中三角形OMP知：
A1sin1
A2sin
2
PM
tg
A2cos
OP
A1cos1
2
（12-10）
议论：
（1）2
1
2k
（k
0,
1,
2,
）时（称为位相相同）
AA1
A2
（2）2
1
2k
1
（k
0,
1,
2,）时（称为位相相反）
A
A1A2
例12-8：
有两个同方向同频次的谐振动，其合成振动的振幅为
0.2m，位相与第一振动
的位相差为6，若第一振动的振幅为3101m，用振幅矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两振动位相差。
解：
（1）A2?
A2
A12
A2
2A1Acos
6
3
1012
2
23101
6
（2）∵A
2
2
2
升级会员 