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1、完整版大学物理授课教案第十二章机械振动第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）第四篇 振动与颠簸第十二章 机械振动12-1 简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点 O在 m均衡地点。现将 m略向右移到 A，而后松开，此时，由于弹簧伸长而出现指向均衡地点的弹性力。在弹性力作用下，物体向左运动，当经过地点O时，作用在 m上弹性力等于 0，可是因为惯性作用， m将持续向O左侧运动，使弹簧压缩。此时，因为弹簧被压缩，而出现了指向均衡地点的弹性力并将阻挡物体向左运动，使 m速率减小，直至物体静止于B（刹时静止），以后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。这样在弹性力作用下物体左右来去运动，即

2、作机械振动。图 12-12、简谐振动运动方程由上剖析知， m位移为 x（相对均衡点 O）时，它遇到弹性力为（胡克定律） ：Fkx(12-1)式中： 当 x0 即位移沿 +x 时，F 沿 -x ，即 F0 当 x0 即位移沿 -x 时，F 沿+x，即 F 0k为弹簧的倔强系数， “”号表示力 F 与位移 x（相对 O点）反向。定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知， m 加快度为aFkxmm（ m 为物体质量）ad 2 xd 2 xk x0dt 2 dt 2mk2 k 、 m 均大于 0，可令 m可有：第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教

3、授）d 2 x2 x 0(12-2)dt 2式 (12-2) 是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为xAsin t(12-3)或xAcost(12-4)2式 (12-3)(12-4) 是简谐振动的运动方程。所以，我们也能够说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书顶用余弦形式表示谐振动方程。3、谐振动的速度和加快度物体位移： xAcos tdxAsintV(12-5)速度：dtd 2 xa2 Acos t2 x加快度：dt 2(12-6)可知： VmaxAamax2 Ax t、 Vt 、 at 曲线以下图 12-2图 12-3第十二章机械振动沈阳工

4、业大学郭连权（教授）说明：（1）Fkx 是谐振动的动力学特点；（2） a2 x 是谐振动的运动学特点；（3）做谐振动的物体往常称为谐振子。 12-2 谐振动的振幅 角频次 位相上节我们得出了谐振动的运动方程 x Acos t ，此刻来说明式中各量意义。1、振幅做谐振动的物体走开均衡地点最大位移的绝对值称为振幅，记做 A 。 A 反应了振动的强弱。2、角频次（圆频次）为了定义角频次。第一定义周期和频次。物体作一次完好振动所经历的时间叫做振动的周期，用 T 表示；在单位时间内物体所作的完好振动次数叫做频次，用 v 表示。11vT由上可知：T或v T 为周期， xAcos tAcos t T从 t

5、时辰经过 1 个周期时，物体又初次回到本来t 时辰状态， T2 （余弦函数周期为2 ）22 vT可见： 表示在 2 秒内物体所做的完好振动次数， 称为角频次（圆频次）km22mTkv1k2m2关于给定的弹簧振子， m 、 k 都是必定的，所以 T 、 v 完好由弹簧振子自己的性质所决定，与其余要素没关。所以，这类周期和频次又称为固有周期和固有频次。3、位相在力学中，物体在某一时辰的运动状态由地点坐标和速度来决定，振动中，当 A 、第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）给定后，物体的地点和速度取决于t，t称为位相（或周相、相位） 。由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。 是 t 0

6、时的位相，称为初相。4、 A、 确实定关于给定的系统，已知，初始条件给定后可求出A 、 。初始条件： t 0 时xx0 由 x 、 v 表达式有v v0x0 Acosv0 Asin 即x0 Acosv0Asintg0 即x0arctgv0x0A2v02x02值所在象限：1） x00， v00 ：在第象限2） x00 ， v00 ：在第象限3） x00 ， v00 ：在第象限4） x00， v00 ：在第象限（12-6 ）（12-7 ）5、两个谐振动物体在同一时辰位相差设物体 1 和 2 的谐振动方程为图 12-4x1A1 cos1t1x2A2 cos2t2随意 t 时辰两者位相差为2t21t1

7、21 t211：2 的位对比 1 超前1：2、1 同位相0：2 的位对比 1 落伍第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）例 12-1 ：以下图，一弹簧振子在圆滑水平面上，已知 k1.60N / m ， ，试求以下状况下 m 的振动方程。（1）将 m 从均衡地点向右移到 x0.10m 处由静止开释；（2）将 m 从均衡地点向右移到 x0.10m 处并给予 m 向左的速率为。解：（1） m 的运动方程为xAcostk2 / s由题意知：m初始条件： t0 时， x00.10m ， v0 0A2v022可得：x020.10 0图 12-5arctgv0arctg 0x0x00，v00，0x0.1

8、0 cos 2t m2） 初始条件： t0 时， x00.10m ， v00.20m / sA2v0220.20 20.1 2mx0222arctgv0arctgarctg 1x02 x00 ， v00 ，4x0.1 2 cos 2tm4可见：关于给定的系统，假如初始条件不一样，则振幅和初相就有相应的改变。例 12-2 ：以下图，一根不能够伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离均衡地点开释，小球即在铅直面内均衡地点邻近做振动，这一系统称为单摆。(1)证明：当摆角 很小时小球做谐振动；(2)求小球振动周期。证：（1）设摆长为 l ，小球质量为 m ，某时辰小球悬线与铅直线夹角为，选悬线在

9、均衡地点右边时，角位移为正，由转动定律：M J有mg sin lml 2 d 2图 12-6dt 2第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）d 2g sin0即dt 2l 很小。 sin0d 2g0dt 2l这是谐振动的微分方程（或 与 正比反向）小球在做谐振动。（2）2 2 lT 2g gl（注意做谐振动时条件，即 很小） 12-3 表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，相同，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。一、旋转矢量自 ox 轴的原点 o 作一矢量 A ，其模为简谐振动的振幅 A ，并使 A 在图面内绕 o

10、点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频次 ，矢量 A 称为旋转矢量。二、简谐振动的旋转矢量表示法图 12-7A（1）旋转矢量 A 的矢端 M在 x 轴上投影坐标可表示为 x 轴上的谐振动，振幅为（2）旋转矢量 A 以角速度 旋转一周，相当于谐振动物体在 x 轴上作一次完好振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。（3）t0 时辰，旋转矢量与x 轴夹角为谐振动的初相，t 时辰旋转矢量与x 轴夹角t为 t 时辰谐振动的位相。说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简易方法。（2）一定注意， 旋转矢量自己其实不在作谐振动， 而是它矢端在 x 轴上的投影点在 x 轴上做谐振动。旋转矢量与

11、谐振动 x t 曲线的对应关系（设 0 ）第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）图 12-8三、旋转矢量法应用举例例 12-3 ：一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 ，周期为 2s 。t 0 时，位移为 ，且向 x 轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设 t1 时辰为物体第一次运动到 x 0.06m 处，试求物体从 t1 时辰运动到均衡地点所用最短时间。解：（1）设物体谐振动方程为x Acos t由题意知 A 22S 1T2?方法一用数学公式求x0 Acos A0.12m , x0cos123 v0Asin03x 0.12 cos t m3方法二用旋转矢量法求依据题意，犹如左图所

12、示结果 3 图12-9x 0.12 cos t m3第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）由上可见，方法二简单（2）方法一用数学式子求t0.12 cos t1t1由题意有：3（t12433或3v1A sint10此时3t1233t11s设 t2 时辰物体从 t1 时辰运动后初次抵达均衡地点，0t23有：t23（ t22t232 或 23v2Asint 20 33t2 3 211t2 s11 5t t2 t1 1 s6 6方法二用旋转矢量法求 t由题意知，有左图所示结果， M1 为 t1 时辰 A尾端地点， M2 为 t2 时辰 A 尾端地点。从t1t2 内 A 转角为t2t1M1OM

13、 25265355t t26t16s6明显方法二简单。例 12-4 ：图为某质点做谐振动的 x t 曲线。求振动方程。解：设质点的振动方程为 xA cos t由图知： A 10cm22s 1T2T 2t132）2）图 12-10第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）图 12-113用旋转矢量法（见上页图）可知，2 （或2）x 10 cos tcm2例 12-5 ：弹簧振子在圆滑的水平面上做谐振动， A 为振幅， t 0 时辰状况以下图。 O 为原点。试求各样状况下初相。图 12-12 12-4 谐振动的能量关于弹簧振子，系统的能量 E = Ek （物体动能） + Ep （弹簧势能）已

14、知：物体位移xAcost物体速度 vAsintE Ek E p1 mv21 kx222第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）1Asint21t2mk Acos22122212212 mAsint2kAcost(m2k)kA2 sin 2tcos2t21 kA2211EkA2m2 A2（11-8 ）22说明：（ 1）固然Ek、E p均随时间变化，但总能量EEkE p且为常数。原由是系统只有守旧力作功，机械能要守恒。（2） Ek 与 Ep 相互转变。当 x0 时， E p0 ， EkEk maxE 。在 xA 处，Ek0，EpEp maxE。例 12-6 ：一物体连在弹簧一端在水平面上做

15、谐振动，振幅为A 。试求Ek 1 E p的地点。2解：设弹簧的倔强系数为 k ，系统总能量为E EkEp1 kA221kE p在2 时，有EEk Ep3 Ep31 kx22223 kx21 kA2422xA3例 12-7 ：以下图系统，弹簧的倔强系数 k25N / m ，物块 m1 ，物块 m2 ，m1 与 m2 间最大静摩擦系数为 ，m1 与地面间是圆滑的。 现将物块拉离平衡地点，而后任其自由振动，使 m2 在振动中不致从 m1 上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。解：系统的总能量为E1 kA22Ek maxE1 kA20 ）2（此时 Epm2 不致从 m1 上滑落时，须有m2am2

16、 g图 12-13第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权（教授）极限状况 amax g A2ggm1m2A2k即1 k22 g 2 2Ek maxgm1m21m1m22k2k1222252 12-5 同方向同频次两谐振动合成一个物体能够同时参加两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参加两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时流传到空气中某点时，因为每一声波都在该点惹起一个振动，所以该质点同时参加两个振动。在此，我们考虑一质点同时参加两个在同向来线的同频次的振动。取振动所在直线为 x 轴，均衡地点为

17、原点。振动方程为x1A1 costx2A2 cost12A1 、 A2 分别表示第一个振动和第二个振动的振幅； 1 、 2 分别表示第一个振动和第二个振动的初相。是两振动的角频次。因为 x1 、 x2 表示同向来线上距同一均衡地点的位移，所以合成振动的位移 x 在同向来线上，并且等于上述两分振动位移的代数和，即x x1 x2为简单起见，用旋转矢量法求分振动。图 12-14 图 12-15以下图， t0 时，两振动对应的旋转矢量为A1 、A2 ，合矢量为 AA1 A2 。 A1 、A2 以相同角速度转动，转动过程中 A1 与 A2 间夹角不变，可知 A 大小不变，并且 A 也第十二章 机械振动

18、沈阳工业大学 郭连权（教授）以 转动。随意时辰 t ， A 矢端在 x 轴上的投影为：x x1 x2所以，合矢量 A 即为合振动对应的旋转矢量， A 为合振动振幅， 为合振动初相。合振动方程为：x Acos t （仍为谐振动）由图中三角形 OM 1M 2 知：AA12A222A1A2 cos21（12-9 ）由图中三角形 OMP 知：A1 sin 1A2 sin2PMtgA2 cosOPA1 cos 12（12-10 ）议论：（1） 212k(k0,1,2,) 时（称为位相相同）A A1A2（2） 212k1(k0,1,2, ) 时（称为位相相反）AA1 A2例 12-8 ：有两个同方向同频次的谐振动，其合成振动的振幅为0.2m ，位相与第一振动的位相差为 6 ，若第一振动的振幅为 3 10 1 m ，用振幅矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两振动位相差。解：（1） A2 ?A2A12A22A1 Acos63101222 31016（2） A222