西城区高三上学期期末数学试题解析版.docx
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西城区高三上学期期末数学试题解析版
高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．设集合
若集合
有且仅有
个元素,则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据集合的交集运算，由题意知
，由此可得，
．
【详解】
因为集合
有且仅有
个元素，所以
，即有
．
故选：
B．
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
2．已知复数
，则复数
在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】根据复数的运算法则，化简复数
，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.
【详解】
由题意，复数
，
所以复数
对应的点
位于第四象限.
故选：
D.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．在
中,若
则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据三角形内角和求出角
，再根据正弦定理即可求出边
．
【详解】
因为
，所以根据正弦定理知，
，即
，解得
．
故选：
D．
【点睛】
本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题．
4．设
且
则下列不等式中一定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假．
【详解】
对A，若
，则
，错误；
对B，当
时，取
，根据对数函数的单调性可知，
，错误；
对C，因为
，所以
，根据指数函数的单调性可知，
，正确；
对D，当
时，取
，
，错误．
故选：
C．
【点睛】
本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题．
5．已知直线
与圆
有公共点,则实数a的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出．
【详解】
依题意可知，直线与圆相交或相切．
即为
．
由
，解得
．
故选：
A．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．
6．设三个向量
互不共线,则“
”是“以
为边长的三角形存在”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断．
【详解】
因为三个向量
互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设
，
而
互不共线，所以
三点不共线．
当
时，
，因为
三点不共线，
，
所以以
为边长的三角形存在；
若以
为边长的三角形存在，但是
，
，
．
故“
”是“以
为边长的三角形存在”的充分不必要条件．
故选：
A．
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题．
7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）.下图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:
cm）,那么该壶的容量约为（）
A．100
B．
C．300
D．400
【答案】B
【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．
【详解】
设大圆锥的高为
，所以
，解得
．
故
．
故选：
B．
【点睛】
本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题．
8．已知函数
若存在区间
使得函数f（x）在区间
上的值域为
则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据函数的单调性可知，
，即得
，故可知
是方程
的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
【详解】
根据函数的单调性可知，
，即可得到
，即可知
是方程
的两个不同非负实根，所以
，解得
．
故选：
D．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
二、填空题
9．在
的展开式中,
的系数为___________.
【答案】10
【解析】根据二项展开式的通项，赋值即可求出．
【详解】
的展开式通项为
，令
，所以
的系数为
．
故答案为：
10．
【点睛】
本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．
10．已知向量
满足
其中
那么
_____________
【答案】
【解析】根据向量平行的坐标表示求出
，再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】
因为
，所以
，解得
．
因此
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题．
11．在公差为
的等差数列
中,
且
成等比数列,则
______________
【答案】3
【解析】根据等差数列的通项公式，用
表示出
，再根据
成等比数列，列式即可求解．
【详解】
因为
，所以
，
而
成等比数列，所以
，解得
或
（舍去）．
故答案为：
3．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题．
12．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个
【答案】3
【解析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出．
【详解】
如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA垂直于底面的四棱锥．
由三视图可知，
，
．
因为
面
，所以
都是直角三角形．
在
中，
，所以
，
也是直角三角形．
在
中，
，而
，所以
不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个．
故答案为：
3
【点睛】
本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
13．对于双曲线,给出下列三个条件:
①离心率为
;
②一条渐近线的倾斜角为
;
③实轴长为
且焦点在
轴上.
写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程__________．
【答案】
答案不唯一
【解析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出
，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程．
【详解】
若选择①③，所以
，解得
，所以
，
因为焦点在
轴上，所以双曲线的标准方程为
．
若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．
故答案为：
，答案不唯一．
【点睛】
本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
14．某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:
在未来
天内,这种水果每箱的销售利润
（单位:
元）与时间
单位:
天）之间的函数关系式为
且日销售量
（单位:
箱）与时间
之间的函数关系式为
①第
天的销售利润为__________元;
②在未来的这
天中,公司决定每销售
箱该水果就捐赠
元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间
的增大而增大,则
的最小值是__________．
【答案】12325
【解析】①先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润；
②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出．
【详解】
①因为
，
，所以该天的销售利润为
；
②设捐赠后的利润为
元，则
，
化简可得，
．
令
，因为二次函数的开口向下，对称轴为
，为满足题意所以，
，解得
．
故答案为：
①1232；②5．
【点睛】
本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题．
三、解答题
15．已知函数
（1）求函数
的最小正周期;
（2）求函数
在区间
上的最小值和最大值.
【答案】
（1）
（2）最大值
．最小值
.
【解析】
（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式（或两角差的正弦公式）合并成
的形式，即可求出函数
的最小正周期.
（2）由
，求出
，再根据
的单调性可求出函数
的最大最小值．
【详解】
（1）因为
所以函数
的最小正周期为
．
（2）因为
，所以
，而
在
上单调递减，在
上单调递增，而
，
所以当
，即
时，
取得最小值
，
当
，即
时，
取得最大值
．
【点睛】
本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．
16．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统计,在2018年这一年内从
市到
市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为
万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取
人次作为样本,得到下表（单位:
人次）:
满意度
老年人
中年人
青年人
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
10分（满意）
12
1
20
2
20
1
5分（一般）
2
3
6
2
4
9
0分（不满意）
1
0
6
3
4
4
（1）在样本中任取
个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在2018年从
市到
市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取
人次,记其中老年人出行的人次为
.以频率作为概率,求
的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从
市出发到
市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机?
并说明理由.
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，数学期望
（3）建议甲乘坐高铁从
市到
市.见解析
【解析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为
，
，
，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知
服从二项分布，先计算出随机选取
人次，此人为老年人概率是
，所以
，即
，即可求出
的分布列和数学期望；
（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．
【详解】
（1）设事件：
“在样本中任取
个，这个出行人恰好不是青年人”为
，
由表可得：
样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为
，
，
，
所以在样本中任取
个，这个出行人恰好不是青年人的概率
．
（2）由题意，
的所有可能取值为：
因为在2018年从
市到
市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取
人次，此人
为老年人概率是
，
所以
，
，
，
所以随机变量
的分布列为：
故
．
（3）答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：
乘坐飞机的人满意度均值为：
因为
，
所以建议甲乘坐高铁从
市到
市．
【点睛】
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