高考山东卷理数试题含答案.docx
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高考山东卷理数试题含答案
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。
满分150分。
考试用时
120分钟。
考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、
考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答
案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
答
案写在试卷上无效。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小
-1-
题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的
(1)若复数z满足2z
z3
2i,其中i为虚数单位,则
z=
(A)1+2i
(B)1
2i
(C)12i
(D)12i
(2)设集合A
{y|y
2x,x
R},B{x|x210},则
A
B=
(A)(
1,1)
(B)(0,1)
(C)(
1,
)(D)(0,)
(3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,
其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组
为
[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].
根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不
少于22.5小时的人数是
(A)56
(B)60
(C)120
(D)140
ì
+y
?
2,
?
x
?
?
2x-3y?
9,
í
?
2
2
?
0,
(4)若变量
锍
则x
+y的最大值是
x,y满足?
x
(A)4(B)9(C)10(D)12
(5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为
(A)1
2π(B)1
2π(C)1
2π(D)1
2π
3
3
3
3
3
6
6
(6)已知直线
a,b分别在两个不同的平面
α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平
面β相交”的
(A)充分不必要条件(
B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(7)函数f(x)=(
3sinx+cosx)(
3cosx–sinx)的最小正周期是
(A)π(B)π
(C)3π(D)2π
22
-2-
(8)已知非零向量m,n满足4│m│=3│n│,cos=1.若n⊥(tm+n),则实数t的值为
3
(A)4
(B)–4
(C)9(D)–9
4
4
(9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)
x31;当1
x1时,f(x)
f(x);
当x
1时,f(x
1)
f(x1)
2
2
2
.则f(6)=
(A)-2(B)-1(C)0(D)2
(10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,
则称y=f(x)
具有T性质.下列函数中具有T性质的是
(A)y=sinx(B)y=lnx(C)y=ex(D)y=x3
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分。
(11)执行右边的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为________.
(12)若(ax2+
1
)3的展开式中x3的系数是—80,则实数a=_______.
x
(13)已知双曲线
E1:
x2
y2
1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点
a2
b2
在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是_______.
(14)在[-1,1]上随机地取一个数
k,则事件“直线
y=kx与圆(x-
5)2+y2=9相交”发生的
概率为.
(15)已知函数
f(x)
|x|,
x
m
0,若存在实数
b,使得关于x的方程f
x2
2mx
4m,x
其中m
m
(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________________.
三、解答题:
本答题共6小题,共75分。
(16)(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
tanA
tanB
a,b,c,已知2(tanAtanB)
.
cosB
cosA
(Ⅰ)证明:
a+b=2c;
(Ⅱ)求cosC的最小值.
17.在如图所示的圆台中,
AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一
-3-
条母线.
(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:
GH∥平面ABC;
(II)已知EF=FB=1AC=23AB=BC.求二面角FBCA的余弦值.
2
(18)(本小题满分12分)
已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且anbnbn1.
(Ⅰ)求数列bn的通项公式;
(Ⅱ)另cn
(an
1)n
1
cn的前n项和Tn.
(bn
2)
n
.求数列
(19)(本小题满分12分)
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,
如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人
都没猜对,则“星队”得0分。
已知甲每轮猜对的概率是3,乙每轮猜对的概率是2;每轮
43
活动中甲、乙猜对与否互不影响。
各轮结果亦互不影响。
假设“星队”参加两轮活动,求:
(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX(20)(本小题满分13分)
已知f(x)axlnx
2x1
aR.
x2
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)当a1时,证明f(x)>f
3
x
1,2成立
'x对于任意的
2
(21)本小题满分
14分)
平面直角坐标系
xOy中,椭圆C:
x2
y2
1a>b>0
的
a2
b2
-4-
离心率是
3,抛物线E:
x2
2y的焦点F是C的一个顶点。
2
(I)求椭圆C的方程;
(II)设P是E上的动点,且位于第一象限,
E在点P处的切线l与C交与不同的两点
A,B,
线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
(i)求证:
点M在定直线上;
(ii)直线l与y
轴交于点G,记PFG的面积为S1,PDM的面积为S2
,求S1
的最大值
S2
及取得最大值时点
P的坐标.
-5-
2016年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学试题参考答案
一、选择题
(1)【答案】B
(2)【答案】C
(3)【答案】D
(4)【答案】C
(5)【答案】C
(6)【答案】A
(7)【答案】B
(8)【答案】B
(9)【答案】D
(10)【答案】A
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
(11)【答案】3
(12)【答案】-2
(13)【答案】2
(14)【答案】3
4
(15)【答案】(3,)
三、解答题
(16)
解析:
sinA
sinB
sinA
sinB
,
由题意知2
cosB
cosAcosB
cosAcosB
cosA
化简得2sinAcosBsinBcosA
sinAsinB,
即2sin
ABsinAsinB.
-6-
因为AB
C
所以sinA
B
sin
C
sinC.
从而sinA
sinB=2sinC.
由正弦定理得a
b
2c
.
()由()知c
a
b
2
b2a
2
a
2
b
2
c
2a2
b
所以cosC
2
3
b
a
1
1,
2ab
2ab
8
a
b
4
2
当且仅当a
b时,等号成立.
故cosC的最小值为1.
2
考点:
两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.
(17)
(I)证明:
设FC的中点为I,连接GI,HI,
在△CEF,因为G是CE的中点,所以GI//EF,
又EF//OB,所以GI//OB,
在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI//BC,
又HIGII,所以平面GHI//平面ABC,
因为GH平面GHI,所以GH//平面ABC.
(II)解法一:
连接OO',则OO'平面ABC,
又ABBC,且AC是圆O的直径,所以BOAC.
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
由题意得B(0,23,0),C(23,0,0),过点F作FM垂直OB于点M,
所以FMFB2BM23,
可得F(0,3,3)
故BC(23,23,0),BF(0,3,3).
设m(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.
-7-
由mBC0,mBF0
2
3x
2
3y
0
可得
3y
3z
0
3
可得平面BCF的一个法向量m(1,1,),
因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1),
所以cosm,n
mn
7
|m||n|
.
7
所以二面角F
BCA的余弦值为
7
.
7
解法二:
连接OO',过点F作FM
OB于点M,
则有FM//OO',
又OO'平面ABC,
所以FM⊥平面ABC,
可得FM
FB2
BM2
3,
过点M作MN垂直BC于点N,连接FN,
可得FN
BC,
从而FNM为二面角F
BCA的平面角.
又AB
BC,AC是圆O的直径,
所以MN
BMsin45
6,
2
从而FN
42
7
,可得cosFNM
.
2
7
所以二面角FBC
A的余弦值为
7
.
7
考点:
空间平行判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力
(18)
(Ⅰ)由题意知当n2时,anSnSn16n5,
-8-
当n
1时,a1
S1
11,
所以an
6n
5
.
设数列
bn的公差为d,
由
a1
b1
b2
,即
11
2b1
d
,可解得b1
4,d3,
a2
b2
b3
17
2b1
3d
所以bn
3n
1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
cn
(6n
6)n
1
n
1
,
(3n
3)n
3(n1)2
又Tn
c1c2
c3
cn,
得Tn
3[222
323
424
(n1)2n1],
2Tn
3[223
324
425
(n1)2n2],
两式作差,得
Tn
3[222
23
24
2n1(n1)2n2]
3[4
4(2n
1)(n1)2n2]
2
1
3n2n2
所以Tn3n
2n2
考点:
数列前
n项和与第n项的关系;等差数列定义与通项公式;错位相减法
(19)
(Ⅰ)记事件A:
“甲第一轮猜对”,记事件B:
“乙第一轮猜对”,记事件C:
“甲第二轮猜对”,记事件D:
“乙第二轮猜对”,
记事件E:
“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意,EABCDABCDABCDABCDABCD.
由事件的独立性与互斥性,
PEPABCDPABCDPABCDPABCDPABCD
-9-
PAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPD
=3
2
3
2
2
1
2
3
2
3
1
3
2
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
2.
3
所以“星队”至少猜对
3个成语的概率为
2.
3
(
Ⅱ)由题意,随机变量
X的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性,得
P
X
0
1
1
1
1
1
4
3
4
3
144
PX12
31111211
10
5,
4
3
4
3
4
3
4
3
144
72
P
X
2
3
1
3
1
3
1
1
2
1
2
3
1
1
2
1
2
25
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
144
PX3
321
111321,
4
3
4
3
4
3
4
3
12
PX42
32313212
60=5,
4
3
4
3
4
3
4
3
144
12
P
X
6
3
2
3
2
1
4
3
4
3
.
4
可得随机变量
X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
1
5
25
1
5
1
144
72
144
12
12
4
所以数学期望EX
0
1
1
5
2
25
3
1
5
6
1
23
144
72
12
4
4
.
144
12
6
考点:
独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式;分布列和数学期望
(20)
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,
);
f/(x)
a
a
2
2
(ax2
2)(x1)
.
x
x2
x3
x3
当a
0,
x
(0,1)
时,f
/(x)
0,f(x)单调递增;
-10-
x
(1,
)时,
f/(x)
0,f(x)单调递减.
当a
0时,f/(x)
a(x1)
(x
2)(x
2).
x3
a
a
(1)
0
a
2
,
2
1
,
a
当x
(0,1)或x
(
2,
)时,f/
(x)
0,f(x)单调递增;
a
当x
(1,
2)时,f/(x)
0,f(x)单调递减;
a
(2)a
2时,
2
1,在x
(0,
)内,f/(x)
0,f(x)单调递增;
a
(3)a
2时,0
2
1,
a
当x
(0,
2)或x
(1,
)时,f/
(x)
0,f(x)单调递增;
a
当x
(
2,1)时,f/
(x)
0,f(x)单调递减.
a
综上所述,
当a
0时,函数
f(x)在(0,1)
内单调递增,在
(1,
)内单调递减;
当0
a
2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在
(1,
2)内单调递减,在(
2