高考山东卷理数试题含答案.docx

1、高考山东卷理数试题含答案绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 山东卷 )理科数学本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。3.第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先

2、划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .参考公式：如果事件 A,B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).第卷（共 50 分）一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小- 1 -题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（ 1）若复数 z 满足 2zz 32i, 其中 i 为虚数单位，则z=（ A ）1+2i（B）12i（ C） 1 2i（ D） 1 2i（ 2）设集合 A y | y2x , xR, B x | x2 1 0, 则AB

3、=（A） (1,1)（ B） (0,1)（C） (1,)（D） (0, )（3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 （单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5,30 ，样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30 .根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（A ）56（B） 60（ C） 120（ D） 140+ y? 2,?x?2x - 3 y ? 9,?22?0,（ 4）若变量锍则 x+ y 的最大值是x， y 满足 ?x（A）4 （ B）9 （C）10

4、（D）12（ 5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示 .则该几何体的体积为（A） 12（ B） 12（ C） 12（D） 123333366（ 6）已知直线a， b 分别在两个不同的平面， 内.则 “直线 a 和直线 b 相交 ”是 “平面 和平面 相交 ”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（ D）既不充分也不必要条件（ 7）函数 f （ x）=（3 sinx+cosx）（3 cosx sinx）的最小正周期是（A） （ B）（ C） 3 （D） 22 2- 2 -（ 8）已知非零向量 m， n 满足 4m=3n，cos= 1 .若 n（ tm+n），则实数

5、 t 的值为3（A）4（B）4（C） 9 （D）944（ 9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时， f ( x)x3 1 ；当 1x 1时， f ( x)f (x) ；当 x1 时， f (x1 )f ( x 1 )222.则 f(6)=（ A） - 2（ B） - 1（C）0（ D） 2（ 10）若函数 y=f(x)的图象上存在两点， 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质 .下列函数中具有 T 性质的是（ A） y=sinx（B） y=lnx（ C） y=ex（ D）y=x3第卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，

6、共 25 分。（11）执行右边的程序框图， 若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为 _.(12)若（ ax2+1） 3 的展开式中 x3 的系数是 80，则实数 a=_.x（ 13）已知双曲线E1：x2y21（ a0， b 0），若矩形 ABCD的四个顶点a2b2在 E 上， AB，CD的中点为 E 的两个焦点，且 2| AB|=3| BC| ，则 E 的离心率是 _.（ 14）在 - 1,1 上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx 与圆 ( x-5)2 + y2 = 9 相交”发生的概率为.（ 15）已知函数f ( x)| x |,xm0，若存在实数b，使得关于 x

7、 的方程 fx22mx4m, x其中 mm（x） =b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 _.三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。（ 16）（本小题满分 12 分）在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为tan Atan Ba，b ，c，已知 2(tan A tan B).cosBcos A（）证明： a+b=2c;（）求 cosC 的最小值 .17.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆 O 的直径， EF是上底面圆 O 的直径， FB 是圆台的一- 3 -条母线 .（ I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证： GH平面 ABC；（ II）已知 EF=FB= 1 A

8、C= 2 3 AB=BC.求二面角 F BC A 的余弦值 .2（ 18）（本小题满分 12 分）已知数列 an 的前 n 项和 Sn =3n2+8n， bn 是等差数列，且 an bn bn 1.（）求数列 bn 的通项公式；（）另 cn(an1)n1cn 的前 n 项和 Tn.(bn2)n. 求数列（19）（本小题满分 12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是 3 ，乙每轮猜对的概率是 2 ；每轮4

9、 3活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：（ I ）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；（II ）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX (20)(本小题满分 13 分 )已知 f ( x) a x ln x2x 1,a R.x2（ I）讨论 f (x) 的单调性；（ II）当 a 1 时，证明 f ( x) f3x1,2 成立 x对于任意的2（ 21）本小题满分14 分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C： x2y21 ab0的a2b2- 4 -离心率是3 ，抛物线 E： x22y 的焦点 F 是 C 的一个顶点。2（ I）求椭圆 C

10、的方程；（ II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.（ i）求证：点 M 在定直线上 ;（ ii）直线 l 与 y轴交于点 G，记 PFG 的面积为 S1 ， PDM 的面积为 S2，求 S1的最大值S2及取得最大值时点P的坐标 .- 5 -2016 年普听高等学校招生全国统一考试 (山东卷 )理科数学试题参考答案一、选择题（1）【答案】 B（2）【答案】 C（3）【答案】 D（4）【答案】 C（5）【答案】 C（6）【答案】 A（7）【答案】

11、B（8）【答案】 B（9）【答案】 D（10）【答案】 A第卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.（11）【答案】 3（12）【答案】 -2（13）【答案】 2（14）【答案】 34（ 15）【答案】 (3, )三、解答题（ 16）解析：sin Asin Bsin Asin B，由题意知 2cos Bcos A cos Bcos A cos Bcos A化简得 2 sin A cosB sin Bcos Asin A sin B ，即 2sinA B sin A sin B .- 6 -因为A BC,所以 sin ABsinCsin C .从而 si

12、n Asin B=2sin C .由正弦定理得 ab2c.( ) 由 ( ) 知 cab2,b2a2a2b2c2 a2b所以 cosC23ba11 ，2ab2ab8ab42当且仅当 ab 时，等号成立 .故 cosC 的最小值为 1 .2考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式 .（17）（I ）证明：设 FC 的中点为 I ,连接 GI , HI ,在 CEF ,因为 G 是 CE 的中点，所以 GI /E F ,又EF /OB , 所以 GI /OB ,在 CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HI / / BC ，又 HI GI I ,所以平面 GHI /

13、 / 平面 ABC ，因为 GH 平面 GHI ，所以 GH / / 平面 ABC .（II ）解法一：连接 OO ,则 OO 平面 ABC，又 AB BC, 且 AC 是圆 O 的直径，所以 BO AC.以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，由题意得 B(0, 2 3,0) ， C ( 2 3,0,0) ，过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M ，所以 FM FB2 BM 2 3,可得 F (0, 3,3)故 BC ( 2 3, 2 3,0), BF (0, 3,3) .设 m (x, y, z) 是平面 BCF 的一个法向量 .- 7 -由m BC 0 , m B

14、F 023x23y0可得,3y3z03可得平面 BCF 的一个法向量 m ( 1,1, ),因为平面 ABC 的一个法向量 n (0,0,1),所以 cos m, nm n7| m | n |.7所以二面角 FBC A 的余弦值为7.7解法二：连接 OO，过点 F 作 FMOB于点 M ，则有 FM / /OO,又OO 平面 ABC，所以 FM平面 ABC,可得 FMFB2BM 23,过点 M 作 MN垂直BC 于点 N ，连接 FN ，可得 FNBC ,从而 FNM 为二面角 FBC A 的平面角 .又 ABBC , AC 是圆 O 的直径，所以 MNBM sin 456 ,2从而 FN42

15、7，可得 cos FNM.27所以二面角 F BCA 的余弦值为7.7考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（）由题意知当 n 2时， an Sn Sn 1 6n 5 ，- 8 -当 n1时， a1S111，所以 an6n5.设数列bn 的公差为 d ，由a1b1b2，即112b1d，可解得 b14, d 3 ，a2b2b3172b13d所以 bn3n1.（）由（）知cn(6n6)n1n1，(3n3)n3(n 1) 2又 Tnc1 c2c3cn ，得 Tn32 223 234 24(n 1) 2n 1 ，2Tn32233 244 25(n 1) 2n

16、 2 ，两式作差，得Tn322223242n 1 ( n 1) 2n 2 3 44(2n1) (n 1) 2n 2 213n 2n 2所以 Tn 3n2n 2考点：数列前n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法（19）( ) 记事件 A: “甲第一轮猜对” ，记事件 B：“乙第一轮猜对” ，记事件 C：“甲第二轮猜对” ，记事件 D：“乙第二轮猜对” ，记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语” .由题意， E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD .由事件的独立性与互斥性，P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD- 9 -P

17、APBPCPD PAPBPCPD PAPBPCPD PAPBPCPD PAPBPCPD= 3232212323132434343434343,2.3所以“星队”至少猜对3 个成语的概率为2 .3( ) 由题意，随机变量X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得PX011111,4343144PX1231111211105 ,4343434314472PX23131311212311212254343434343434343,144P X 33 2 1111321,4343434312PX423231321260=5,4343434314412PX6323214343.

18、4可得随机变量X的分布列为X012346P15251511447214412124所以数学期望 EX01152253156123144721244.144126考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望(20)（） f (x) 的定义域为 (0,) ；f / (x)aa22(ax22)( x 1).xx 2x3x 3当 a0 ，x(0,1)时， f/ (x)0， f (x) 单调递增；-10-x(1,)时,f / (x)0 ， f (x) 单调递减 .当 a0 时， f / ( x)a( x 1)( x2 )( x2 ) .x3aa（ 1）0a2，21，a当 x(0,1

19、) 或 x(2 ,) 时， f /( x)0 ， f (x) 单调递增；a当 x(1,2 ) 时， f / (x)0， f (x) 单调递减；a（ 2） a2 时，21 ，在 x( 0,) 内， f / ( x)0 ， f (x) 单调递增；a（ 3） a2时， 021，a当 x(0,2 ) 或 x(1,) 时， f /( x)0 ， f (x) 单调递增；a当 x(2 ,1) 时， f /( x)0 ， f (x) 单调递减 .a综上所述，当 a0 时，函数f (x) 在 (0,1)内单调递增，在(1,) 内单调递减；当 0a2 时， f (x) 在 (0,1) 内单调递增，在(1,2 ) 内单调递减，在 (2