数学冀教版八年级上册第17章特殊三角形全章热门考点整合应用.docx
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数学冀教版八年级上册第17章特殊三角形全章热门考点整合应用
全章热门考点整合应用
名师点金：
本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用．等腰三角形是轴对称图形，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．
勾股定理
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．
（第1题）
（1）求AB的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）求CD的长．
三个性质
等腰三角形的性质
（第2题）
2.如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（ ）
A．100°B．80°
C．70°D．50°
等边三角形的性质
3．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，试说明：
BD＋CD＝AD.
（第3题）
含30°角的直角三角形的性质
4．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝60°，作DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，DC与BC交于点C，CD＝4.
求：
（1）∠CBD的度数；
（2）线段AB的长．
（第4题）
三个判定
直角三角形的判定
5．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22－1
32－1
42－1
52－1
…
b
4
6
8
10
…
c
22＋1
32＋1
42＋1
52＋1
…
（1）请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n（n为整数且n＞1）的式子表示：
a＝________，b＝________，c＝________；
（2）猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．
6．如图所示，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积．
（第6题）
等腰三角形的判定
7．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，连接MD，NE，MN，MD与NE交于点O，求证：
△OMN是等腰三角形．
（第7题）
等边三角形的判定
8．如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于一面墙上的Q点时，Q点离地面的高为c，梯子与地面的夹角为45°，将梯子顶端放于另一面墙上的R点时，R点离地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为75°，则d＝a，为什么？
（第8题）
勾股数
9．我们把满足方程x2＋y2＝z2的正整数（x，y，z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数；（________，________，________），（________，________，________）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：
如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．
四种方法
化曲（折）为直法
10．如图所示，长方体的底面相邻两边的长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度是多少（用含n的式子表示）？
【导学号：
42282081】
（第10题）
对称找点法
11．如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸（直线l）的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，已知CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短？
最短总路程是多少？
（第11题）
旋转法
12．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．【导学号：
42282082】
（第12题）
化斜为直法
13．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：
（1）AC的长度；
（2）△ABC的面积．
（第13题）
两个应用
勾股定理的应用
14．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.（彩旗完全展开时的尺寸如图②所示．单位：
cm）
（第14题）
勾股定理的逆定理的应用
15．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军的甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5nmile的A，B两个基地前去拦截（甲巡逻艇从A基地出发，乙巡逻艇从B基地出发），6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40nmile，乙巡逻艇每小时航行30nmile，航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．
（第15题）
16．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30m/min，第二组的步行速度为40m/min，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1500m.
（1）试判断这两组同学行走的方向是否成直角．
（2）如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
三种思想
方程思想
17．如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P.
（1）若∠APC＝30°，求证：
AB＝AP；
（2）若AP＝8，BP＝16，求AC的长；
（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M.你认为∠AMP的大小是否发生变化？
若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．【导学号：
42282083】
（第17题）
18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．
（第18题）
转化思想
19．求下列图形中阴影部分的面积．
（1）如图①，AB＝8，AC＝6.
（2）如图②，AB＝13，AD＝14，CD＝2.
（第19题）
分类讨论思想
20．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B.
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发时间为ts.
（1）出发2s后，求△ABP的面积．
（2）当t为何值时，BP平分∠ABC.
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
【导学号：
42282084】
（第21题）
答案
1．解：
（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝625.
∴AB＝25.
（2）S△ABC＝
AC·BC＝
×20×15＝150.
（3）∵CD是边AB上的高，
∴
AC·BC＝
AB·CD.
∴CD＝12.
2．A 点拨：
方法一：
因为DA＝DB，
所以∠DBA＝∠DAB＝20°.因为DA＝DC，所以∠DCA＝∠DAC＝30°.
在△ABC中，有∠DBC＋∠DCB＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以∠BDC＝180°－（∠DBC＋∠DCB）＝180°－80°＝100°.
方法二：
在△ADB中，由方法一可得∠ADB＝180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理∠ADC＝180°－2×30°＝120°.所以∠BDC＝360°－140°－120°＝100°.故选A.
3．解：
因为△ABC，△BDE均为等边三角形，
所以BE＝BD＝DE，AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°.
所以∠ABE＋∠EBC＝∠DBC＋∠EBC.
所以∠ABE＝∠DBC.
在△ABE和△CBD中，
所以△ABE≌△CBD（SAS）．
所以AE＝CD.
又因为AD＝AE＋ED，ED＝BD，
所以BD＋CD＝AD.
4．解：
（1）在Rt△ADB中，
∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝30°.
∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°.
又∵∠DBC＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°.
（第4题）
（2）如图，过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE，易得DE＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°.
∵∠CDM＝30°，∠CMD＝90°，
∴CM＝
CD＝
×4＝2.
又∵∠EBM＝∠CBM＝30°，
∠EMB＝∠CMB＝90°，BM＝BM，
∴△EBM≌△CBM，
∴EM＝CM＝2.
∴DE＝2EM＝4.
∵∠DEA＝∠EDB＋∠EBD＝60°，∠A＝60°，∴∠DEA＝∠A，
∴AD＝DE＝4.
又∵∠ADB＝90°，
∠ABD＝30°，
∴AB＝2AD＝8.
点拨：
含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要依据．
5．解：
（1）n2－1；2n；n2＋1
（2）是直角三角形．证明：
因为a2＋b2＝（n2－1）2＋（2n）2＝n4＋2n2＋1，c2＝（n2＋1）2＝n4＋2n2＋1，所以a2＋b2＝c2.所以以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
6．解：
在Rt△ACD中，S△ACD＝
AC·CD＝30cm2，
∵DC＝12cm，∴AC＝5cm.
∵AB2＋BC2＝25，AC2＝52＝25，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝
AB·BC＝
×3×4＝6（cm2）．
7．证明：
在△ABC中，因为AB＝AC，且AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，
所以AD＝
AC，AE＝
AB＝
AC，
所以AE＝AD.同理AM＝AN.
在△ADM与△AEN中，
所以△ADM≌△AEN，
所以∠AMD＝∠ANE.
又因为AM＝AN，所以∠AMN＝∠ANM，
所以∠AMN－∠AMD＝∠ANM－∠ANE，即∠OMN＝∠ONM，
所以OM＝ON，所以△OMN是等腰三角形．
8．解：
连接RQ，RB，设BR与PQ交于点M.
∵∠RPA＝75°，∠QPB＝45°，
∴∠RPQ＝180°－75°－45°＝60°.
又∵PR＝PQ，
∴△PRQ为等边三角形．
∴RP＝RQ.
在Rt△BPQ中，
∵∠BPQ＝45°，
∴∠BQP＝90°－45°＝45°，
∴∠BPQ＝∠BQP，
∴BP＝BQ.
∴点R，B在PQ的垂直平分线上，
∴BM⊥PQ.
在Rt△BMP中，
∵∠BPQ＝45°，∴∠RBA＝45°.
在Rt△RAB中，
∵∠ARB＝90°－∠RBA＝45°，
∴∠ARB＝∠RBA，
∴AR＝AB，即d＝a.
点拨：
若两个点到线段两端点的距离分别相等，则这两点确定的直线是该线段的垂直平分线．
9．
（1）解：
6；8；10；9；12；15（答案不唯一）
（2）证明：
x2＋y2
＝（2n）2＋（n2－1）2
＝4n2＋n4－2n2＋1
＝n4＋2n2＋1
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