经典想相似图形.docx

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经典想相似图形

八年级数学（下）第四章《相似图形》经典试题选

1、如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3㎝，BC=7㎝，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.

（1）求证：

△ABP∽△PCE；

（2）求等腰梯形的腰AB的长；（3）在底边BC上是否存在一点P,使得DE∶EC=5∶3?

如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由.

2、如图,已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°.

（1）求证:

△ACF∽BEC；

（2）设△ABC的面积为S，求证:

AF·BE=2S.

3、如图，在

ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.

（1）求证:

△ABF∽△EAD；

（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE的长；（3）在

（1）

（2）的条件下,若AD=3,求BF的长.

4、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AD平分∠CAB交于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于G,AE·AD=16,AB=4

.

（1）求证:

CE=EF；

（2）求EG的长.

5、将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,

（1）如果M为CD的中点,求证:

DE∶DM∶EM=3∶4∶5.

（2）如果M为CD上任一点,设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关?

若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x（即DM=x）的代数式表示；若无关,请说明理由.

6、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图①，

（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/㎡，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）共花了160元,请计算种满△BMC地带所需费用.

（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/㎡和10元/㎡，应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.（3）若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变（如图②）请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC,且S△APD=S△BPC，并说明你的理由.

7、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,若△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长.

8、如图,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上.

（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.

（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.（3）试问:

在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由；若存在,请求出PQ的长.

9、操作:

如图,在正方形ABCD中,P为CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E,探究:

（1）观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似?

并说明你的结论.

（2）当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BCP的周长比是多少?

10、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F.求证:

（1）

=

；

（2）△BCE∽△ADM；（3）AM与BE互相垂直.

11、如图,在矩形ABCD中,AB=12㎝，BC=6㎝,点P沿AB边从点A开始向点B以2㎝/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1㎝/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）,那么

（1）当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形；

（2）求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?

12、如图,已知点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.

（1）求证:

BE·AD=CD·AE；

（2）根据图形特点,猜想

可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已有线段的一组比即可），并证明你的结论.

13、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,M是CD上的点,DH⊥BM于H,DH的延长线交AC的延长线于E.求证:

（1）△AED∽△CBM；

（2）AE·CM=AC·CD.

14、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE.

（1）求证:

△ADB∽△EAC；

（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数.

15、如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,

（1）求证:

△ADQ∽△QCP；

（2）在现在的条件下,请再写出一个正确结论.

16、如图,在△ABC中,∠BAC=90°D为BC的中点,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E.

（1）求证:

△EAB∽△ECA；

（2）△ABE和△ADC是否一定相似?

如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件,△ABE和△ADC一定相似.

17、已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,EC与AD相交于点F.

（1）求证:

△ABC∽△FCD；

（2）若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.

18、已知,梯形ABCD中,AD∥BC,AD

AB=DC=2.

（1）P为AD上一点,满足∠BPC=∠A,

求证:

△ABP∽△DPC；

（2）如果点P在AD边上

移动（P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A,

PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,

当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x，CQ=y，

求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.

19、已知,如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点（点P与点A重合,但不与点B重合），过点P作PE⊥BC于E,过点E作EF⊥AC于F,过点F作FQ⊥AB于点Q,设BP=x，AQ=y.

（1）写出y与x之间的函数关系式：

（2）当BP的长等于多少时,点P与点Q重合；（3）当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围.

20、如图,在△ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF∶AF=m∶n（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于点E。

（1）求BE∶EC的值；

（2）若BE=2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？

证明你的结论。

（3）E点能否成为BC中点？

若能，求出相应的ｍ∶ｎ，若不能，证明你的结论。

21、如图,已知，在△ABC中,BA=BC=20㎝，AC=30㎝,点P从A点出发,沿AB以4㎝/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发,沿CA以3㎝/s的速度向A点运动,设运动时间为x，

（1）当x为何值时,PQ∥BC；

（2）当S△BCQ∶S△ABC=1∶3时,求S△BPQ∶S△ABC的值；（3）△APQ能否与△CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由.

22、如图,△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°，CE⊥BD于E,连结AE.

（1）写出图中所有相等的线段,并加以说明；

（2）图中有无相似三角形,若有,请写出一对,若没有,请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比.

1、

2、

3、

4、

5、

6、解：

（1）∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，

∴△AMD∽△BMC，

∴

S△AMD

S△BMC

=（

AD

BC

）2=

1

4

，

∵S△AMD=

160

8

=20m2，

∴S△BMC=20×4=80m2，

∴种满△BMC地带所需的费用为：

80×8=640元；

（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h，

则

1

2

×10•h1=20，

1

2

×20•h2=80，

解得h1=4，h2=8，

∴h=4+8=12，

S梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×h=

1

2

（10+20）×12=180，

∴S△AMB+S△CMD=180-20-80=80，

所种花木的单价是：

（1600-160-640）÷80=800÷80=10元，

∴选择种茉莉花，可以刚好用完所筹集的资金；

（3）如图，点P应在AD、BC的中垂线上，设△APD的高为x，则△BPC的高为（12-x），

∴S△APD=

1

2

×10x=5x，

S△BPC=

1

2

×20（12-x）=120-10x，

∵S△APD=S△BPC，

∴5x=120-10x，

解得x=8，

∴点P在AD、BC的中垂线上，且到AD的距离等于8米时，S△APD=S△BPC．

7、

8、

9、

10、

11、

12、

13、

证明：

因为在RT三角形ABC中，角ACB=90度，CD垂直于AB，

所以三角形ACD相似于三角形CBD，

所以角ACD=角CBD，角A=角BCM，

同理因为CD垂直于AB，DH垂直于BM，

所以三角形MDH相似于三角形DBH，

所以角MDH=角DBH，

因为角ACD=角MDH+角E，

角CBD=角DBH+角CBM，

所以角E=角CBM，

又因为角A=角BCM，

所以三角形AED相似于三角形CBM。

（2）证明：

因为三角形AED相似于三角形CBM，

所以AE/BC=AD/CM，

所以AExCM=BCxAD，

因为三角形ACD相似于三角形CBD，

所以AC/BC=AD/CD，

所以ACxCD=BCxAD,

所以AExCM=ACxCD。

14、

15、

16、

17、

18、

19、

1、∵△ABC是等腰三角形

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2

∵PE⊥BE，∠B=60°

∴∠BPE=30°

∴BE=1/2BP=1/2X

∴EC=BC-BE=2-1/2X

同理EF⊥AC，∠C=60°

FC=1/2EC=1/2（2-1/2X）=1-1/4X

∴AF=AC-FC=2-1+1/4X=1+1/4X

同理FQ⊥AB，∠A=60°

∴AQ=1/2AF=1/2（1+1/4X）=1/2+1/8X

∴Y=1/2+1/8X

2、当BP的长等于多少时，点P与点Q重合

那么X+Y=2

Y=1/2+1/8X

解：

X=4/3

3、y=AQ=1+x/8

当x+y=2时P,Q重合

即x+1+x/8=4，x=4/3时，P,Q重合

PE=（√3）x/2,EF=（√3）（1-x/4）,FQ=（√3）（1+x/4）

pE+EF+FQ=（√3）（x/2+1-x/4+1+x/4）=（√3）（2+x/2）

当4/3

t=QP

2=AQ+QB=AQ+（BQ+QP）-QP=AQ+BP-QP=1+x/8+x-QP

QP=1+x/8+x-2=9x/8-14/3

OQ=PQ/√3=（9x/8-1）（√3）/3，

OP=2PQ=2（9x/8-1）√3/3

L=PE+EF+FQ-OQ-OP

=（√3）（2+x/2）-（√3）（9x/8-1）

=（√3）（3-5x/8）4/3

由：

4/3

-5/6>-5/8x≥-5/4

3-5/6>3-5/8x≥3-5/4

13/6>7-5/8x≥7/4

即：

13√3/6>L≥7√3/4

20、

1.过C做AB平行线，交AE延长线于G

∵CD=DF

∴△CDG≌△FDA

∴CG=AF

∵CG//AB

∴BE/EC=AB/CG=（AF+BF）/AF=（m+n）/n

2.CF⊥AB

∵m+n=2n-->m=n

∴F为AB中点

∵AC=BC

三线合一

CF⊥AB

3.不能

若为中点

m+n=n-->m=0，显然不能成立

21、

22、

有三角形AEC相似于三角形ADE，三角形ABC相似于三角形BDC。

直接给你把两个的证明过程都给你吧，这样容易看明白。

证明过程如下：

证明：

（1）由于∠BDC=60°，CE⊥BD；故∠ACE=30°，且CD=2ED。

又CD=2DA，故ED=DA。

则有∠EAD=∠AED=30°。

至此，∠ACE=∠AED，∠EAC=∠DAE。

故三角形AEC相似于三角形ADE。

（2）由上可知，∠AED=∠DAE=30°，又∠BAC=45°，则：

∠EAB=∠EBA=15°。

即EB=EA。

又∠EAC=∠ACE=30°，则：

EC=EA；因此EC=EB，即∠CBE=∠BCE又CE⊥BD，即∠BEC=90°。

故∠CBE=45°。

至此，∠BCD=∠ACB，∠CBD=∠CAB故三角形ABC相似于三角形BDC。