1、经典想相似图形八年级数学(下)第四章相似图形经典试题选1、如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=3,BC=7,B=60,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PE交DC于E,使得APE=B.(1)求证:ABPPCE;(2)求等腰梯形的腰AB的长;(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DEEC=53?如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由.2、如图,已知ABC中,ACB=90,AC=BC,点E、F在AB上,ECF=45.(1)求证:ACFBEC;(2)设ABC的面积为S,求证:AFBE=2S.3、如图,在ABCD中,过点B作BECD,垂足为E,连结AE,F为AE上
2、一点,且BFE=C.(1)求证:ABFEAD;(2)若AB=4,BAE=30,求AE的长;(3)在(1)(2)的条件下,若AD=3,求BF的长.4、如图,在RtABC中,ACB=90,AD平分CAB交于点D,过点C作CEAD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EGBC交AB于G,AEAD=16,AB=4.(1)求证:CE=EF;(2)求EG的长.5、将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,(1)如果M为CD的中点,求证:DEDMEM=345.(2)如果M为CD上任一点,设AB=2a,问CMG的周长是否与点M的位置有关?若有
3、关,请把CMG的周长用含DM的长x(即DM=x)的代数式表示;若无关,请说明理由.6、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图,(1)他们在AMD和BMC地带上种植太阳花,单价为8元/,当AMD地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元,请计算种满BMC地带所需费用.(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/和10元/,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.(3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图)请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得APBDPC,且SAPD=SBPC,并说明你的理由.7、如
4、图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,若AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长.8、如图,已知ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQAB,P点在AC上(与A、C不重合),Q在BC上.(1)当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.(2)当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.(3)试问:在AB上是否存在一点M,使得PQM为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.9、操作:如图,在正方形ABCD中,P为CD上一动点(与C、D不重合),使三角尺的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始
5、终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E,探究:(1)观察操作结果,哪一个三角形与BPC相似?并说明你的结论.(2)当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与BCP的周长比是多少?10、如图,在ABC中,AB=AC,ADBC,DEAC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F.求证:(1)=;(2)BCEADM;(3)AM与BE互相垂直.11、如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=6,点P沿AB边从点A开始向点B以2/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0t6),那么(1)当t为何值时,QA
6、P为等腰直角三角形;(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论;(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似?12、如图,已知点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且BAC=BDC=DAE.(1)求证:BEAD=CDAE;(2)根据图形特点,猜想可能等于哪两条线段的比(只需写出图形中已有线段的一组比即可),并证明你的结论.13、如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,M是CD上的点,DHBM于H,DH的延长线交AC的延长线于E.求证:(1)AEDCBM;(2)AECM=ACCD.14、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延
7、长线上点,且满足AB2=DBCE.(1)求证:ADBEAC;(2)若BAC=40,求DAE的度数.15、如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,(1)求证:ADQQCP;(2)在现在的条件下,请再写出一个正确结论.16、如图,在ABC中,BAC=90D为BC的中点,AEAD,AE交CB的延长线于点E.(1)求证:EABECA;(2)ABE和ADC是否一定相似?如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件, ABE和ADC一定相似.17、已知,如图,在ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DEBC交AB于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:ABCFCD
8、;(2)若SFCD=5,BC=10,求DE的长.18、已知,梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且AD=5,AB=DC=2.(1)P为AD上一点,满足BPC=A,求证:ABPDPC;(2)如果点P在AD边上移动(P与点A、D不重合),且满足BPE=A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.19、已知,如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P与点A重合,但不与点B重合),过点P作PEBC于E,过点E作EFAC于F,过点F作FQAB于点Q,设BP=x,AQ=y.(1)写
9、出y与x之间的函数关系式:(2)当BP的长等于多少时,点P与点Q重合;(3)当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围.20、如图,在ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BFAF=mn(m、n0),取CF的中点D,连结AD并延长交BC于点E。(1)求BEEC的值;(2)若BE=2EC,那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系?证明你的结论。(3)E点能否成为BC中点?若能,求出相应的,若不能,证明你的结论。21、如图,已知,在ABC中,BA=BC=20,AC=30,点P从A点出发,沿AB以4/s的速度向点B运动;同时点Q从C点出发,沿CA以3/s的速度
10、向A点运动,设运动时间为x,(1)当x为何值时,PQBC;(2)当SBCQSABC=13时,求SBPQSABC的值;(3)APQ能否与CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由.22、如图,ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,BAC=45,BDC=60,CEBD于E,连结AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以说明;(2)图中有无相似三角形,若有,请写出一对,若没有,请说明理由;(3)求BEC与BEA的面积之比.1、2、3、4、5、6、解:(1)四边形ABCD是梯形,ADBC,AMDBMC,SAMDSBMC=(ADBC)2=14,SAMD=1608=20m2,SBMC=204=8
11、0m2,种满BMC地带所需的费用为:808=640元;(2)设AMD的高为h1,BMC的高为h2,梯形ABCD的高为h,则1210h1=20,1220h2=80,解得h1=4,h2=8,h=4+8=12,S梯形ABCD=12(AD+BC)h=12(10+20)12=180,SAMB+SCMD=180-20-80=80,所种花木的单价是:(1600-160-640)80=80080=10元,选择种茉莉花,可以刚好用完所筹集的资金;(3)如图,点P应在AD、BC的中垂线上,设APD的高为x,则BPC的高为(12-x),SAPD=1210x=5x,SBPC=1220(12-x)=120-10x,SA
12、PD=SBPC,5x=120-10x,解得x=8,点P在AD、BC的中垂线上,且到AD的距离等于8米时,SAPD=SBPC7、8、9、10、11、12、13、证明:因为 在RT三角形ABC中,角ACB=90度,CD垂直于AB,所以 三角形ACD相似于三角形CBD,所以 角ACD=角CBD,角A=角BCM,同理因为 CD垂直于AB,DH垂直于BM,所以 三角形MDH相似于三角形DBH,所以 角MDH=角DBH,因为 角ACD=角MDH+角E,角CBD=角DBH+角CBM,所以 角E=角CBM,又因为 角A=角BCM,所以 三角形AED相似于三角形CBM。(2)证明:因为 三角形AED相似于三角形
13、CBM,所以 AE/BC=AD/CM,所以 AExCM=BCxAD,因为 三角形ACD相似于三角形CBD,所以 AC/BC=AD/CD,所以 ACxCD=BCxAD,所以 AExCM=ACxCD。14、15、16、17、18、19、1、ABC是等腰三角形A=B=C=60,AB=BC=AC=2PEBE,B=60BPE=30BE=1/2BP=1/2XEC=BC-BE=2-1/2X同理EFAC,C=60FC=1/2EC=1/2(2-1/2X)=1-1/4XAF=AC-FC=2-1+1/4X=1+1/4X同理FQAB,A=60AQ=1/2AF=1/2(1+1/4X)=1/2+1/8XY=1/2+1/8
14、X2、当BP的长等于多少时,点P与点Q重合那么X+Y=2Y=1/2+1/8X解:X=4/33、y=AQ=1+x/8 当x+y=2时P,Q重合 即x+1+x/8=4,x=4/3时,P,Q重合 PE=(3)x/2, EF=(3)(1-x/4), FQ=(3)(1+x/4) pE+EF+FQ=(3)(x/2+1-x/4+1+x/4)=(3)(2+x/2) 当 4/3x2时,PE与QF相交于O,设重叠部分为t t=QP 2=AQ+QB=AQ+(BQ+QP)-QP=AQ+BP-QP=1+x/8+x-QP QP=1+x/8+x-2=9x/8-1 4/3x2 OQ=PQ/3=(9x/8-1)(3)/3, O
15、P=2PQ=2(9x/8-1)3/3 L=PE+EF+FQ-OQ-OP =(3)(2+x/2)-(3)(9x/8-1) =(3)(3-5x/8) 4/3x2由:4/3-5/8x-5/4 3-5/63-5/8x3-5/4 13/67-5/8x7/4 即:133/6L73/420、1.过C做AB平行线,交AE延长线于GCD=DFCDGFDACG=AFCG/ABBE/EC=AB/CG=(AF+BF)/AF=(m+n)/n2.CFABm+n=2n-m=nF为AB中点AC=BC三线合一CFAB3.不能若为中点m+n=n-m=0,显然不能成立21、22、有三角形AEC相似于三角形ADE,三角形ABC相似于三角形BDC。直接给你把两个的证明过程都给你吧,这样容易看明白。证明过程如下:证明:(1)由于BDC=60,CEBD;故ACE=30,且CD=2ED。 又CD=2DA,故ED=DA。则有EAD=AED=30。 至此,ACE=AED,EAC=DAE。 故三角形AEC相似于三角形ADE。 (2)由上可知,AED=DAE=30,又BAC=45,则:EAB=EBA=15。 即EB=EA。 又EAC=ACE=30,则:EC=EA; 因此EC=EB,即CBE=BCE 又CEBD,即BEC=90。故CBE=45。 至此,BCD=ACB,CBD=CAB 故三角形ABC相似于三角形BDC。
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