综合法求二面角解析.docx
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综合法求二面角解析
综合法求二面角
方法:
1•垂线法：
在一半平面上找一点作另一半平面的垂线，过垂足作交线的垂线,连接两垂足
2•寻求一平面与两半平面均垂直，交线所成的角
3射影:
4•转化为两个二面角求解
1.在边长为1的菱形ABCD^,ZABC=6Q°,把菱形沿对角线胚折起，使折起后BD=^,
则二而角B-AC-D的余弦值为（）
2.如图所示，四棱锥P-馭7?
的底而個⑦是边长为1的菱形，乙BCD
=60°,疋是G?
的中点，用丄底而馭DPA=y[3・
（1）证明：
平而磁•丄平而刊5：
（2）求二而角A—B^P的大小.
（1）证明如图所示，连接助，由如?
是菱形且Z56P=60°知,
△砲是等边三角形.
因为疋是切的中点，所以BELCD.
久ABHCD、所以盛LE3
又因为用丄平面ABCD、
BEu平而ABCD,
所以用丄眩而PAC\AB=A.
因此亦丄平而PAB.
又B比平而PBE、
所以平面磁丄平面PAD.
⑵解由
（1）知，亦丄平而用5刊t平而Q⑹
所以PBA.BE.又AB1BE,所以上翊是二而角A—BE—P的平而角.
在Rt△用5中，讼ZPBA=^=E则ZPBA=6Q°・
故二而角A—BE-P的大小是60°・
3•如图.在三棱锥P—磁中，用丄底而PA=AB.ZABC=&y,Z5C4=90o，点0、厅分别在棱丹、PC匕且DE//BC.
（1）求证：
證丄平面刊C
⑵是否存在点疋使得二而角A-DE-P为直二而角并说明理由.
⑴证明•••/!
丄底IfilABC.•••用丄处又ZBCA=90",:
.ACLBC.
又9：
acqpa=a9:
.BC±平面用C
（2）解•:
DEHBC、又由
（1）知.兀丄平而用G:
.DEL平而用（:
又••％&=平而PAC、PEu平而PAC.
:
.DELAE,DELPE.
.•・Z.AEP为二而角A-DE-P的平而角.
•••用丄底而月万G•••用丄月G
:
.ZPAC=90"・
・•・在棱牝上存在一点伐
使得AELPC.这时ZAEP=90°•
故存在点E、使得二而角A—DE—尸为直二而角.
4•如图所示，三棱锥―磁中，。
是M的中点，PA=PB=PC=\[5,AC=2^2.AB=y[LBC=y[6.
（1）求证：
刃丄平面MG
（2）求二而角P-AB-C的正切值.
（1）证明连接助，
•••Q是M的中点，PA=PC=y^>.
:
.PDLAC.
9：
AC=2y[2.AB=y/29BC=&,
:
.Aff+BC=AC・
AZABC=9Q",即曲丄肚
:
.BD=^AC=yl2=AD.
••切=所一初=3,丹=点，
:
.PD-^BU=PB.:
.PDLBD.
•:
ACCBD=D,•••刃丄平而
⑵解取丽的中点伐连接％、PE、由三为朋的中点知眩〃必
VJ5±5C,:
.ABX.DE.
•:
PDJ平而月万G:
.PDLAB.
又ABIDE,DEC\PD=D.•'•M丄平面磁，:
.PELAB.
:
.APED是二而角P—AB—C的平而角.
在△加中，de=\bc=^-,PD=©ZPDE=9L,
PDr
/.tanZ/£P=—=\/2.
nFy
•••二而角LAB-C的正切值为花・
5•如图所示，月反P是正方形，0是正方形的中心，尸0丄底面
ABCD.底而边长为⑦£是/V的中点.
（1）求证：
PA//W\BDEx
（2）求证：
平而用C丄平而应厅；
（3）若二面角E-BD-C为30°,求四棱锥尸一月磁的体积.
・
（1）证明连接防如图所示.
V0.疋分别为?
1GPC的中点，C.OE//PK.
•JOEu而磁,阳而磁,
•••用〃面BDE.
⑵证明TPOA.|fi|ABCD、:
.POLBD.
在正方形破P中，BDJLAC,
又9：
POQAC=O.
:
.BDL面PAC.
又•:
而BDE、
•••而用Q丄而磁：
⑶解取仇冲点尸，连接空
•:
E为PC中点,
•••肘为的中位线，:
.EF//PO,又ABCD.:
・EFL而月万GZ
•：
OFLBD,:
.OELBD.
:
■乙EOF为二而角E-BD-C的平而角，:
•乙EOF=30°・在Rt△耐中，少・=1&』切7=€日，:
.EF=OF-tan30°
：
.OP=2EF=
—=钗亦番=柳.
6.如图，直三棱柱ABC-A^G中，AC=BC吕AA,D是棱血
的中点，DC」BD.
（1）证明：
DC」BC；
（2）求二面角A-BD-Q的大小.
込12
-
（1）证明由题设知，三棱柱的侧而为矩形.由于。
为曲，的中点，椒DC=DG.
^AC=^AA^可得DG+dC=CG，所以QG丄DC而QG丄加，CDQBD=D、所以2?
G丄平
而BCD.
（2）解DC丄BC、QG丄反=万Q丄平而ACC.A^BCA.AC.
A
因为应t平而磁，所以DG丄处
中点Q过点0作OHLBD于点弘连接GO，GH,儿G=3C=>G0丄凡3，而儿5G丄而凡5ZRG0丄而凡助，又•:
Dg面凡加，:
.G01BD,又VOHLBD.:
.BDL而G0AG/fc而UOH、：
・BDICH得点〃与点D重合，且"DO是二而角A-BD-C的平而角，设AC=a,则G*芈a,C、D=pa=2CgZG.D0=3",故二而角人一BD-G的大小为
30°・
7.（2010江西理数）如图ABCD与都是边长为2的正三角形，平而MCD丄平而BCD,AB丄平而BCD,AB=2羽°
（1）求点A到平面MBC的距离;
（2）求平而ACM与平而BCD所成二而角的正弦值。
【解析】本题以图形拼折为载体主要考査了考査立体图形
的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二而角
平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力
解法一：
（1）取G?
中点Q连OB、OM.则OBICD、
曲LCD.又平而MCQ丄平面BCD,则切丄平而BCD9所以切〃的A.B、0、M共而•延长月弘〃相交于佼则ZAEB就是册与平面万G?
所成
MO//AB,M0丄丄空—
22
匕_mbc=叫一肚=*〃=岂匕ACMBCD由⑴知，0是亦的中点，则应切是菱形.
作BFLEC于尸，连胪则处丄EGZ旳就是二而角4EC-B的平而角，设为&・
因为Z5^120°,所以Z567^60°・
BF=BCsin60=73,
nABn2>/5
tan0==2,sin&=
BF5
所以，所求二而角的正弦值是迫.
8.（广东10）18・（本小题满分14分）
如图5,ABC是半径为&的半圆，为直径，点E
为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点.平而
AEC外一点F满足FB=DF=yf5a,FE二点a.
（1）证明：
EB丄FD；
（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得2?
BQ=—FE、FR=二尸3,求平面BED与平而RQD所成二而角的正弦值.
证明，
（1）连结CF.
因为丽C•是半径为j的半圆，/C•为直径，点E为BC的中点，所以朋丄AC.
在RtKBCE中，EC=ML十詔=賦十/=、屁.
在'BD且中，二DF二區,所以△序门严是等腰三角形，且点C罡底边3D的中轧所以CF丄加.
在△CEF中，閱2二6屮二（屆丫十（2匕）2二謂2十匚厅2,所以随站是总即CF丄EC.
由C去丄加，CF丄酣,且CEV\BD=C,.'.FC丄平面BED,
而E£u平面BED,丄册，
:
.BE丄平面而HQu平^BDF,:
.SB丄眄
（2）设平而BED与平面RQD的交线为DG.
22
由BQ二-FE,FR二-FB知，QRIIEB.
3
而EBu平而BDF,・•.QRII平而BDF,
而平而BDFA平面RQD=DG.
:
.QRWDGWEB.
由
（1）知，BE丄平而BDF、：
・DG丄平|fijBDF,
而DRu平而BDF,BDu平而BDF,
•••DG丄DR,DG丄D0,
•••Z/SB是平而BED仃平而R0D所成丽角的丫而角.
在RtABCF中，CF=Jef2_BC2=J（怎疔_/=2a•
FC
sin乙RBD=—
BF
2a_2
>[5ax/5
cosZRBD=Jl—sEZRBD=
1
2
在KBDR中，由盘尺=_用卫知,
3
由正弦定理知,
RD=JED25+BR2一2SD-BRg/RBD
彳（2疔+（孚尸—22•纠击=普由正弦定理知，
BR_RD乙RDE一沁乙R8D
>/52
sinZRDB=
亍兄2何
V2929
a
3
2^29
\\\BED'jT\\\}RQD^^•曲角的匸弘值是盘—・
9.（11新课标）18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD
中，底而ABCD为平行四边形，ZDA3二60SAB^2AD9PD
设平而的法向量为〃二（”
Z]）,则<
/fPB=0
底面ABCD.
（I）证明：
PA丄BD；
（II）若PD二AD,求二面角A-PB-C的余弦值.
【命题意图】本题考查了线而、线线垂直的判左与性质、利用向量法求二而角的方法,是容易题目.
【解析】（I）•・•ZD4B二60°,AB二2AD,由余弦泄理得BD二忑AD,
・•.BD2+AD2=AB2,.•・BD丄AD,
又•:
PD丄而ABCD,:
.BD丄PD,:
.BD丄面PAD,:
.PA丄ED
（II）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线D4为x轴正半轴建立空间直
角坐标系D-xyz,则A<1,0,0）,
设平而PBC的法向量为/n=（x2,y2,z?
）,则（
m・BC=0
m^PB=0
x2=0
•I/!
=（VJ,1,y/3）9
故二而角A-PB-C的余弦值为一兰2
注意：
本题可以把二而角A-PB-C转化为两个二而角的和即二而角A—PB—D与直二而角D—PB—C的和，而二而角A—PB—D用综合法易求。
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