综合法求二面角解析.docx

1、综合法求二面角解析综合法求二面角方法:1 垂线法：在一半平面上找一点作另一半平面的垂线，过垂足作交线的垂线, 连接两垂足2寻求一平面与两半平面均垂直，交线所成的角3射影:4 转化为两个二面角求解1.在边长为1的菱形ABCD, ZABC=6Q ,把菱形沿对角线胚折起，使折起后BD=,则二而角B-AC-D的余弦值为 ()2.如图所示，四棱锥P-馭7?的底而個是边长为1的菱形，乙BCD= 60 ,疋是G?的中点，用丄底而馭D PA=y3(1)证明：平而磁丄平而刊5：(2)求二而角ABP的大小.(1)证明 如图所示，连接助，由如?是菱形且Z56P=60知,砲是等边三角形.因为疋是切的中点，所以BE L

2、CD.久ABH CD、所以盛LE3又因为用丄平面ABCD、BEu 平而 ABCD,所以用丄眩而PACAB=A.因此亦丄平而PAB.又B比平而PBE、所以平面磁丄平面PAD.解由（1）知，亦丄平而用5刊t平而Q所以PBA.BE.又AB1BE,所以上翊是二而角ABEP的平而角.在 Rt用5中，讼ZPBA=E 则ZPBA=6Q 故二而角ABE-P的大小是603如图.在三棱锥P磁中，用丄底而PA=AB. ZABC=&y , Z5C4=90o，点0、 厅分别在棱丹、PC匕且DE/BC.（1）求证：證丄平面刊C是否存在点疋使得二而角A-DE-P为直二而角并说明理由.证明/!丄底Ifil ABC. 用丄处又

3、ZBCA=90 , :.ACLBC.又 9：acqpa=a9 :.BC平面用C（2）解:DEHBC、又由（1）知.兀丄平而用G :.DEL平而用（: 又&=平而 PAC、PEu 平而 PAC.:.DELAE, DELPE.Z.AEP为二而角A-DE-P的平而角.用丄底而月万G 用丄月G:.ZPAC= 90在棱牝上存在一点伐使得 AELPC.这时 ZAEP=90 故存在点E、使得二而角ADE尸为直二而角.4如图所示，三棱锥磁中，。是M的中点，PA=PB=PC=5, AC=22. AB=yL BC=y6.(1)求证：刃丄平面MG(2)求二而角P-AB-C的正切值.(1)证明连接助，Q是 M的中点，

4、PA=PC=y.:.PDLAC.9：AC=2y2. AB=y/29 BC=&,:.Aff+BC=AC A ZABC=9Q,即曲丄肚:.BD=AC=yl2=AD.切=所一初=3,丹=点，:.PD-BU=PB. :.PDLBD.: ACCBD=D, 刃丄平而解取丽的中点伐连接、PE、由三为朋的中点知眩必VJ55C, :. ABX.DE.:PDJ平而月万G :.PDLAB.又 ABIDE, DECPD=D. M丄平面磁，:.PELAB.:.APED是二而角PABC的平而角.在加中，de=bc=-, PD= ZPDE=9L ,PD r/. tanZ/P=/2.nF y二而角LAB-C的正切值为花5如图

5、所示，月反P是正方形，0是正方形的中心，尸0丄底面ABCD.底而边长为是/V的中点.(1)求证：PA/W BDEx(2)求证：平而用C丄平而应厅；(3)若二面角E-BD-C为30 ,求四棱锥尸一月磁的体积.(1)证明连接防如图所示.V 0.疋分别为?1G PC的中点，C.OE/PK.J OEu而磁,阳而磁,用面 BDE.证明 T POA. |fi| ABCD、:. POL BD.在正方形破P中，BDJLAC,又 9：POQAC=O.:.BDL 面 PAC.又: 而 BDE、而用Q丄而磁：解取仇冲点尸，连接空:E为PC中点,肘为的中位线，:.EF/PO, 又 ABCD.:EFL 而月万GZ： O

6、FLBD, :. OELBD.:乙EOF为二而角E-BD-C的平而角，:乙EOF=30 在 Rt耐中，少=1&切7=日，:.EF=OF- tan 30：.OP=2EF=钗亦番=柳.6.如图，直三棱柱ABC-AG中，AC=BC吕AA, D是棱血的中点，DCBD.(1)证明：DCBC；(2)求二面角A-BD-Q的大小.込12-(1)证明 由题设知，三棱柱的侧而为矩形.由于。为曲，的中点，椒DC= DG.AC=AA 可得DG+dC=CG，所以QG丄DC而QG丄加，CDQBD= D、所以2?G丄平而 BCD.(2)解 DC丄BC、QG丄反=万Q丄平而 ACC.ABCA.AC.A因为应t平而磁，所以DG

7、丄处中点Q过点0作OHLBD于点弘 连接GO，GH,儿G=3C= G0丄凡3，而儿5G丄而 凡5ZRG0丄而 凡助，又:Dg 面凡加，:.G01BD,又 V OHLBD. :.BDL而 G0A G/fc 而UOH、：BDICH 得点与点D重合，且DO是二而角A-BD-C的平而角，设 AC=a,则 G*芈a, C、D=pa=2Cg ZG.D0=3,故二而角人一BD- G 的大小为307.（2010江西理数）如图ABCD与都是边长为2的 正三角形，平而MCD丄平而BCD, AB丄平而BCD, AB = 2羽（1） 求点A到平面MBC的距离;（2） 求平而ACM与平而BCD所成二而角的正弦值。【解析

8、】本题以图形拼折为载体主要考査了考査立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二而角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取G?中点Q连OB、OM.则OBICD、曲LCD.又平而MCQ丄平面BCD,则切丄平而BCD 9所以切的 A. B、0、M共而延长月弘 相交于佼 则ZAEB就是 册与平面万G?所成MO / AB , M0 丄丄空2 2匕_mbc =叫一肚=* =岂匕ACM BCD由 知，0是亦的中点，则应切是菱形.作BFLEC于尸，连 胪 则处丄EG Z旳就是二而角4EC-B的平而角，设为&因为Z5120 ,所以Z56760 BF = BC sin

9、60 =73 ,n AB n 2/5tan 0 = = 2 , sin & = BF 5所以，所求二而角的正弦值是迫.8.（广东10） 18（本小题满分14分）如图5, ABC是半径为&的半圆，为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点.平而AEC 外一点 F 满足 FB = DF = yf5a , FE二点 a .（1） 证明：EB丄FD；（2） 已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得 2 ?BQ = FE、FR =二尸3,求平面BED与平而RQD所 成二而角的正弦值.证明，（1）连结CF.因为丽C是半径为j的半圆，/C为直径，点E为BC的中点，所以朋丄AC.在RtKBC

10、E中，EC = ML十詔=賦十/ =、屁.在BD且中，二DF二 區,所以序门严是等腰三角形，且点C罡底边3D的中 轧所以CF丄加.在CEF中，閱2二6屮二（屆丫十（2匕）2二謂2十匚厅2,所以随站是总即 CF 丄 EC.由C去丄加，CF丄酣,且CEVBD = C, .FC丄平面BED,而Eu平面BED , 丄册，:.BE丄平面而HQu平BDF, :. SB丄眄(2)设平而BED与平面RQD的交线为DG .2 2由 BQ二-FE, FR二-FB 知，QRII EB .3而EB u平而BDF ,. QR II平而BDF ,而平而BDF A平面RQD = DG .:.QRWDGWEB.由（1）知，B

11、E丄平而BDF、：DG丄平|fij BDF ,而DRu平而BDF , BDu平而BDF , DG 丄 DR,DG 丄 D0, Z/SB是平而BED仃平而R0D所成 丽角的丫而角.在 RtABCF 中，CF = Jef2 _ BC2 = J（怎疔 _/ = 2a FCsin 乙 RBD =BF2a _ 25a x/5cos ZRBD = JlsE ZRBD =12在KBDR中，由盘尺=_用卫知,3由正弦定理知,RD = JED25 + BR2 一 2SD- BR g/RBD彳（2疔+ （孚尸22纠击=普 由正弦定理知，BR _ RD 乙RDE 一沁乙R8D/5 2sin ZRDB =亍兄2何V2

12、9 29 a3229BED jTRQD 曲角的匸弘值是盘9.（11新课标）18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底而ABCD为平行四边形，ZDA3二60S AB2AD9 PD设平而的法向量为二(”Z),则 /fPB = 0底面ABCD.(I)证明：PA丄BD；(II)若PD二AD,求二面角A-PB-C的余弦值.【命题意图】本题考查了线而、线线垂直的判左与性质、利用向量法求二而角的方法, 是容易题目.【解析】(I ) ZD4B二60, AB二2AD,由余弦泄理得BD二忑AD ,. BD2 + AD2 = AB2, . BD 丄 AD,又: PD 丄而 ABCD, :. BD 丄 PD, :. BD 丄面PAD, :. PA 丄 ED(II)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线D4为x轴正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则A 1, 0, 0),设平而PBC的法向量为/n=(x2, y2, z?),则(mBC = 0mPB = 0x2 = 0I /!=( VJ , 1, y/3)9故二而角A-PB-C的余弦值为一兰2注意：本题可以把二而角A-PB-C转化为两个二而角的和即二而角A PB D与直二而 角D PB C的和，而二而角A PBD用综合法易求。