武穴市四科联赛八年级数学竞赛模拟试题及答案.docx

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武穴市四科联赛八年级数学竞赛模拟试题及答案

2018年武穴市四科联赛八年级数学竞赛模拟试题

一．选择题（共5小题，每题5分，共25分）

1．|a﹣b|=|a|+|b|成立的条件是（　　）

A．ab＞0B．ab＞1C．ab≤0D．ab≤1

2．某商品的标价比成本价高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d%可用p表示为（　　）

A．

B．pC．

D．

3．有一种足球由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，则白皮的块数是（　　）

A．22B．20C．18D．16

（第3题图）（第4题图）（第5题图）

4．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（　　）

A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣1）

5．10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：

每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报2的人心里想的数是（　　）

A．1B．2C．﹣3D．﹣1

二．填空题（共5小题，每题5分，共25分）

6．已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc=99，那么|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|的值等于　　．

7．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有

　　个．

（第7题图）（第9题图）

8．设x，y都是有理数，且满足方程

，那么x﹣y的值是　　．

9．如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为图上三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数为　　．

10．已知实数a，b满足

+

=10﹣|b﹣3|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为　　．

三．解答题（共5小题）

11．（8分）在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A、B、C、D四个班级的同学参加演出，已知A、B两个班共16名演员，B、C两个班共20名演员，C、D两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A、B、C、D次序从小到大排列，求各班演员的人数．

12．（8分）对于实数x，符号[x]表示不大于x的最大整数解，如：

[π]=3，[6]=6，[﹣7.5]=﹣8．

（1）若[a]=﹣3，那么a的取值范围是　　；

（2）若[

]=2，求满足条件的所有正整数a．

13．（10分）如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．

求证：

∠BAD=

∠C．

14．（12分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．

（1）求x、y的关系式；

（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．

15．（12分）已知：

在Rt△ABC中，AB=BC．在Rt△ADE中，AD=DE；连接EC，取EC中点M，连接DM和BM．

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图

（1），猜想BM与DM的关系；

（2）如果将图

（1）中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转90°的角，如图

（2），那么

（1）中的结论是否仍然成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

（3）如果将图

（1）中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转大于90°且小于135°的角，如图（3），那么

（1）中的结论是否仍然成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

2018年武穴市四科联赛八年级数学竞赛模拟试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．解：

当a、b异号或a、b均为0时，|a﹣b|=|a|+|b|成立，

∴ab≤0，故选：

C．

【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a、b的关系是解答此题的关键．

2．解：

设成本价是1，则

（1+p%）（1﹣d%）=1．

1﹣d%=

，

∴d%=1﹣

∴d%=

．故选：

A．

【点评】本题主要考查列代数式的知识点，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，这里注意：

保证不亏本，即让售价和成本价持平．

3．解：

设黑色的为x块，白色的是

x，

x+

x=32，

x=12，

x=20，

最后解得12块黑皮，20块白皮．故选：

B．

【点评】本题考查理解题意能力，关键是看到黑皮和白皮的关系，根据题意列方程可求解．

4．解：

矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：

2，由题意知：

①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×

=4，物体乙行的路程为12×

=8，在BC边相遇；

②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×

=8，物体乙行的路程为12×2×

=16，在DE边相遇；

③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×

=12，物体乙行的路程为12×3×

=24，在A点相遇；

此时甲乙回到原出发点，

则每相遇三次，甲乙两物体回到出发点，

∵2017÷3=672…1，

故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是：

第一次相遇地点，

即物体甲行的路程为12×1×

=4，物体乙行的路程为12×1×

=8；

此时相遇点F的坐标为：

（﹣1，1），

故选：

B．

【点评】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．解本题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体回到出发点．

5．解：

设报2的人心里想的数是x，

则报4的人心里想的数应该是6﹣x，

于是报6的人心里想的数是10﹣（6﹣x）=4+x，

报8的人心里想的数是14﹣（4+x）=10﹣x，

报10的人心里想的数是18﹣（10﹣x）=8+x，

报2的人心里想的数是2﹣（8+x）=﹣6﹣x，

∴x=﹣6﹣x，

解得x=﹣3．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：

这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．

二．填空题（共4小题）

6．解：

a+b+c+abc这个式子，在a、b、c都是整数时有如下特性，

a、b、c三个数全为奇数时值为偶数；

只有两个数为奇数时值为偶数；

只有一个数为奇数时值为奇数；

全为偶数时值为偶数；

a+b+c+abc=99，因此只有一个数为奇数，

而偶数质数仅有2一个，

因此不妨设a=b=2，

则c=19，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|=34．

故答案为：

34．

【点评】此题考查了质数与合数的概念，2在解题中起着重要作用．解题时要侧重于逻辑推理，这也是竞赛题的精彩之处．

7．解：

与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，

分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．

【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．

8．解：

原方程

可变形为：

3x+2πx+2y+3πy=24+6π，

即（3x+2y）+π（2x+3y）=24+6π，

∴

，

解得

，

∴x﹣y=18．

故答案填：

18．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于对原方程进行化简运算得到关于未知数的方程组．

9．解：

组成立体图形后，可得△ABC的各边均为正方形的对角线长，那么△ABC为等边三角形，

∴∠ABC的度数为60°．故选：

D．

【点评】本题主要考查等边三角形的性质和展开图折叠成几何体等知识点，解决本题的关键是动手操作得到△ABC各边之间的关系．

10．解：

由

+

=10﹣|b﹣3|﹣|b﹣2|，

得|a﹣1|+|a﹣6|+|b﹣3|+|b﹣2|=10，

又∵|a﹣1|+|a﹣6|≥5，|b+3|+|b﹣2|≥5，

∵|a﹣1|+|a﹣6|=5，|b+3|+|b﹣2|=5，

则1≤a≤6，﹣3≤b≤2，

∴a2+b2=62+32=45，

即a2+b2有最大值为45；

故答案为：

45．

【点评】本题考查了二次根式的化简、绝对值的化简，解决本题的关键是由|a﹣1|+|a﹣6|≥5，|b+3|+|b﹣2|≥5，确定a、b的取值范围．

三．解答题（共5小题）

11．解：

设A、B、C、D四个班级演员的人数分别为a、b、c、d人，

由题意得，a＜b＜c＜d，

a+b=16…①，b+c=20…②，c+d=34…③，

由①、②可得，a=16﹣b，c=20﹣b，

所以得，16﹣b＜b＜20﹣b，

解得，8＜b＜10，即b=9；

把b=9代入以上各式得，

a=7，c=11，d=23；

答：

A、B、C、D四个班级演员的人数分别为7、9、11、23．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的相关知识，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出不等式组解答．

12．解：

（1）∵[a]=﹣3，

∴a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2；

故答案为：

﹣3≤a＜﹣2．

（2）根据题意得：

2≤

＜3，

解得：

2≤x＜5，

∵为正整数，

∴a=2，3，4．

则满足条件的所有正整数a为2，3，4．

【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解．

13．证明：

作∠OBF=∠OAE交AD于F，

∵∠BAD=∠ABE，

∴OA=OB．

又∠AOE=∠BOF，

∴△AOE≌△BOF（ASA）．

∴AE=BF．

∵AE=BD，

∴BF=BD．

∴∠BDF=∠BFD．

∵∠BDF=∠C+∠OAE，

∠BFD=∠BOF+∠OBF，

∴∠BOF=∠C．

∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，

∴∠BAD=

∠C，

【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，常用的判断方法为：

SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：

对应角相等，对应边相等．在证明中还要注意图形中隐藏条件的挖掘如：

本题中的对顶角∠AOE=∠BOF．

14．解：

（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是ax+by=1500，①

由甲商品单价上涨1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得（a+1.5）（x﹣10）+（b+1）y=1529．②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得（a+1）（x﹣5）+（b+1）y=1563.5，③

由①、②、③得

④⑤

④﹣⑤×2并化简，得x+2y=186．

（2）依题意，有205＜2x+y＜210及x+2y=186，54＜y＜

由y是整数，得y=55，从而得x=76．

答：

（1）x、y的关系x+2y=186；

（2）x值为76，y值为55．

【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到