高考数学理一轮复习讲义 第8章第4讲 高效演练分层突破.docx

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高考数学理一轮复习讲义第8章第4讲高效演练分层突破

[基础题组练]

1．（2020·河北衡水模拟一）已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，α∥β的充分条件是（　　）

A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥β

C．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β

解析：

选B.对于A，两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，这两个平面可能平行，也可能相交，因此A中条件不是α∥β的充分条件；对于B，因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α，结合n⊥β，知α∥β，因此B中条件是α∥β的充分条件；对于C，由m⊥n，m∥α知n⊂α，或n∥α，或n与α相交，结合n∥β，知α，β可能平行，也可能相交，所以C中条件不是α∥β的充分条件；对于D，由m⊥n，m⊥α知n⊂α，或n∥α，结合n⊥β，知α⊥β，所以D中条件不是α∥β的充分条件．综上可知．选B.

2．（2020·江西红色七校联考）设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

A．若m∥n，n⊂α，则m∥α

B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n

C．若α∥β，m⊥α，则m⊥β

D．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

解析：

选C.若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以选项A不正确；若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m与n异面，所以选项B不正确；若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确．故选C.

3．（2020·湖南长沙模拟）设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：

①若a∥c，b∥c，则a∥b；

②若a∥b，b∥α，则a∥α；

③若a∥α，b∥α，则a∥b；

④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b.

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选A.由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行，相交或异面，故③是假命题；对于④，根据a⊂α，b⊂β，α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选A.

4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

解析：

选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊

BD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊

BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．

5.

在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

①FG∥平面AA1D1D；

②EF∥平面BC1D1；

③FG∥平面BC1D1；

④平面EFG∥平面BC1D1.

其中推断正确的序号是（　　）

A．①③　　B．①④

C．②③　　D．②④

解析：

选A.因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，

因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；

因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；

因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，

所以FG∥平面BC1D1，故③正确；

因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.

6．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

解析：

如图，取CD的中点E，连接AE，BE，

则EM∶MA＝1∶2，

EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB.

因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，

所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.

答案：

平面ABD与平面ABC

7．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

解析：

因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，

所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．

故EF＝

AC＝

.

答案：

8.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.（注：

请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

解析：

连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD＝D，

所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.

答案：

点M在线段FH上（或点M与点H重合）

9.在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.

（1）要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

（2）所画的线与平面ABCD是什么位置关系？

并证明你的结论．

解：

（1）过点P作B′C′的平行线，

交A′B′，C′D′于点E，F，

连接BE，CF.

作图如下：

（2）EF∥平面ABCD.理由如下：

因为BC∥平面A′B′C′D′，

又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，

所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，

又因为EF⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD.

10．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

（1）BE∥平面DMF；

（2）平面BDE∥平面MNG.

证明：

（1）如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，

连接MO，则MO为△ABE的中位线，

所以BE∥MO.

因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，

所以DE∥GN.

因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

因为M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN.

因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG.

因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE∥平面MNG.

[综合题组练]

1．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在的平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选C.由题图，显然①是正确的，②是错的；

对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，

所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，

所以A1D1∥平面EFGH（水面）．

所以③是正确的；

因为水是定量的（定体积V）．

所以S△BEF·BC＝V，

即

BE·BF·BC＝V.

所以BE·BF＝

（定值），即④是正确的，故选C.

2.（2020·江西吉安一模）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（　　）

A.

B．

C.

D．

解析：

选B.如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，

AM⊄平面BDFE，

所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，

所以平面AMN∥平面BDFE，

BD＝

，EF＝

B1D1＝

，DF＝BE＝

，等腰梯形BDFE如图2，

过E，F作BD的垂线，垂足分别为G，H，则四边形EFGH为矩形，所以FG＝

＝

＝

，

故所得截面的面积为

×

×

＝

，故选B.

3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝

BD1.则以下四个说法：

①MN∥平面APC；

②C1Q∥平面APC；

③A，P，M三点共线；

④平面MNQ∥平面APC.

其中说法正确的是________（填序号）．

解析：

①连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，

易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的；

②由①知M，N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，AN⊂平面APC，

所以C1Q∥平面APC是正确的；

③由①知A，P，M三点共线是正确的；

④由①知MN⊂平面APC，

又MN⊂平面MNQ，

所以平面MNQ∥平面APC是错误的．

答案：

②③

4.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝

，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．

解析：

因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

所以B1D1∥PQ.

又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，

设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，

所以△APM∽△DPQ.

所以

＝

＝2，即PQ＝2PM.

又知△APM∽△ADB，

所以

＝

＝

，

所以PM＝

BD，又BD＝

a，

所以PQ＝

a.

答案：

a

5.如图，在四棱锥PABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD的中点．

（1）设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；

（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：

OQ∥平面PAB.

解：

（1）分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；

R∈AB⊂平面PAB，R∈CD⊂平面PCD，

所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，

由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l.

（2）证明：

连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝

AD，

又AO＝

AD，所以BC∥AO，

且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，

所以OC∥AB，则OC∥平面PAB；

又OE为△PAD的中位线，则OE∥AP，

所以OE∥平面PAB，

又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，

所以平面PAB∥平面OEC，

又OQ⊂平面OEC，

所以OQ∥平面PAB.

6．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

（1）证明：

平面A1BD∥平面CD1B1；

（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.

证明：

（1）由题设知BB1綊DD1，

所以四边形BB1D1D是平行四边形，

所以BD∥B1D1.

又BD⊄平面CD1B1，

B1D1⊂平面CD1B1，

所以BD∥平面CD1B1.

因为A1D1綊B1C1綊BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥D1C.

又A1B⊄平面CD1B1，

D1C⊂平面CD1B1，

所以A1B∥平面CD1B1.

又因为BD∩A1B＝B，

所以平面A1BD∥平面CD1B1.

（2）由

（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，

又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，

平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，

所以直线l∥直线BD，

在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，

所以B1D1∥BD，

所以B1D1∥l.