导数的综合应用.docx
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导数的综合应用
3.3 导数的综合应用
1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.
2.不等式问题
(1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.
(2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.
3.方程解的个数问题
构造函数,利用导数研究函数的单调性,极值和特殊点的函数值,根据函数性质结合草图推断方程解的个数.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连续函数在闭区间上必有最值.( √ )
(2)函数f(x)=x2-3x+2的极小值也是最小值.( √ )
(3)函数f(x)=+x-1和g(x)=-x-1都是在x=0时取得最小值-1.( × )
(4)函数f(x)=x2lnx没有最值.( × )
(5)已知x∈(0,),则sinx>x.( × )
(6)若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上没有实数根.( × )
1.(2014·湖南)若0A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设f(x)=ex-lnx(0则f′(x)=ex-=.
令f′(x)=0,得xex-1=0.
根据函数y=ex与y=的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1),因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确.
设g(x)=(0又0∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.
又0g(x2),
∴
.
2.(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )
A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)
B.-x0是f(-x)的极小值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f(-x)的极小值点
答案 D
解析 A错,因为极大值未必是最大值.B错,因为函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点.C错,函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称,x0应为-f(x)的极小值点.D对,函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,-x0应为y=-f(-x)的极小值点.
3.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1B.C.D.
答案 D
解析 |MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx(x>0)的最小值,
h′(x)=2x-=,
显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,
也是最小值点,故t=.
4.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式:
y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为( )
A.1百万件B.2百万件
C.3百万件D.4百万件
答案 C
解析 y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),
当00;
当x>3时,y′<0.
故当x=3时,该商品的年利润最大.
题型一 利用导数证明不等式
例1 已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求证:
f(x)≥g(x)(x>0).
(1)解 设两曲线的公共点为(x0,y0),
f′(x)=x+2a,g′(x)=,
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
即
由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去).
即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna.
令h(t)=t2-3t2lnt(t>0),则h′(t)=2t(1-3lnt).
于是当t(1-3lnt)>0,即0时,h′(t)>0;
当t(1-3lnt)<0,即t>
时,h′(t)<0.
故h(t)在(0,
)上为增函数,在(
,+∞)上为减函数,
于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为h(
)=
,
即b的最大值为
.
(2)证明 设F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x>0),
则F′(x)=x+2a-=(x>0).
故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数.
于是F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.
故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0,
即当x>0时,f(x)≥g(x).
思维升华 利用导数证明不等式的步骤
(1)构造新函数,并求其单调区间;
(2)判断区间端点函数值与0的关系;
(3)判断定义域内函数值与0的大小关系,证不等式.
证明:
当x∈[0,1]时,x≤sinx≤x.
证明 记F(x)=sinx-x,
则F′(x)=cosx-.
当x∈(0,)时,F′(x)>0,F(x)在[0,]上是增函数;
当x∈(,1)时,F′(x)<0,F(x)在[,1]上是减函数.
又F(0)=0,F
(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,
即sinx≥x.
记H(x)=sinx-x,
则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx-1<0,
所以H(x)在[0,1]上是减函数,
则H(x)≤H(0)=0,即sinx≤x.
综上,x≤sinx≤x,x∈[0,1].
题型二 利用导数研究函数零点问题
例2 (2013·北京)已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.
(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
解
(1)由f(x)=x2+xsinx+cosx,
得f′(x)=x(2+cosx).
∵y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切.
∴f′(a)=a(2+cosa)=0且b=f(a),
则a=0,b=f(0)=1.
(2)令f′(x)=0,得x=0.
∴当x>0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增.
当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上递减.
∴f(x)的最小值为f(0)=1.
∵函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,
∴当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.
综上可知,b的取值范围是(1,+∞).
思维升华 函数零点或函数图象交点问题的求解,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一.
已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
解
(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a<0时,对x∈R,有f′(x)>0,
∴当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
当a>0时,由f′(x)>0,
解得x<-或x>.
由f′(x)<0,解得-∴当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞),单调减区间为(-,).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,
∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,
f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
由
(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,
在x=1处取得极小值f
(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图象可知:
实数m的取值范围是(-3,1).
题型三 生活中的优化问题
例3 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:
千克)与销售价格x(单位:
元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思维点拨
(1)由x=5时y=11求a;
(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系,利用导数求最值.
解
(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.
(2)由
(1)可知,该商品每日的销售量为
y=+10(x-6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]
=2+10(x-3)(x-6)2,3从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得,x=4时,函数f(x)在区间(3,6)内取得极大值,也是最大值.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.
请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解 设包装盒的高为hcm,底面边长为acm.
由已知得a=x,h==(30-x),0(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,
所以当x=15时,S取得最大值.
(2)V=a2h=2(-x3+30x2),V′=6x(20-x).
由V′=0,得x=0(舍)或x=20.
当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.
此时=.即包装盒的高与底面边长的比值为.
一审条件挖隐含
典例:
(12分)设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3.
(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M.
(2)如果对于任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
审题路线图
(1)存在x1,x2∈[0,2]使得g(