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课堂教学内容：

项目一、绘制与识读正三棱锥的三面投影

课程导入

（一）情境案例方法导入

（二）学习机械制图课程的主要内容

（三）学习本课程后应掌握什么

项目一、绘制与识读正三棱锥的三面投影

教学方法：

电子挂图、板书、演示

通过了解机械制图课程的学习内容、要求及课后应掌握的知识，引入基础模块的“任

务一”的教学——绘制与识读基本体的投影，通过绘制与识读正三棱锥的三面投影实例分

析——相关知识——任务实施——知识拓展等过程学习，结合演示、提问、启发、练习

等教学方法进行教学，从而达到绘制与识读基本体的投影之目的。

教具：

绘图工具﹑多媒体、课件等

目的及要求：

1、了解机械制图课程的学习内容及学习方法

2、掌握绘制与识读基本体投影的方法

重点、难点：

1、点、线、面、体的投影

2、绘制与识读正三棱锥的三面投影

教案体例

项目一×××××××××××××

【任务引入】

【任务分析】

【相关知识】

【任务实施】

【知识拓展】

【思考讨论】

【实训项目】

主意：

1、任务要具体；

2、分析任务要明确；

3、知识组织要围绕解决任务来完成

课堂小结（3分钟）

教学备注

1、正投影的投影特性；三视图的投影规律；三视图的方位关系；

2、点的投影规律；

3、各种位置直线的投影特性：

投影面的平行线：

一斜两平行；投

影面的垂直线：

一点两平行；一般位置直线：

三个投影都是斜线。

4、各种位置平面的投影特性：

投影面的平行面：

一形两线；投影

面的垂直面：

两形一斜线；一般位置平面：

三形

5、直线上的点的投影：

定律（熟记）

6、平面上直线和点的投影：

定律（熟记）

课堂练习及作业布置

【思考讨论】小组讨论

【实训项目】请你完成：

后记：

项目一、绘制与识读基本体的投影

知识目标：

1、熟悉正投影的投影特点；

2、掌握三视图的形成及投影规律；

3、掌握基本体的形体特点、投影特征及投影图的绘制；

4、掌握点、线、面的投影规律及投影特征；

5、掌握基本体表面取点、取线的方法。

技能目标：

1、会识读三视图；

2、会绘制基本体的三面投影。

【任务引入】任务一绘制与识读正三棱锥的三面投影

【任务分析】正三棱锥是常见的基本体之一，是由一个底面为正三角形、测棱面为三个具有公共顶点三角形围成的平面立体。

（动画演示）

正三棱锥立体图

【相关知识】

一、投影法及三视图：

（动画演示下图）

（一）投影法及其分类：

1、投影法的概念为了得到物体的投影，必须具有投射线、物体和投影面三个条件，投射线通过物体向预定平面上投射得到图形的方法叫投影法。

2、投影法的分类其中投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线，这样就使投影法分为中心投影法和平行投影法。

（1）中心投影法：

投射线自一点Ｓ发出，物体投影的大小取决于Ｓ到投影面的距离d和物体相对与投影面的距离,当d一定时，物体离光源Ｓ越近，投影越大。

（2）平行投影法：

投射线为平行线时的投影称为平行投影。

若投射线与投影面倾斜，则为斜投影；若投射线与投影面垂直，则为正投影。

（动画演示）

斜投影法正投影法

斜投影和正投影

（二）正投影的特性：

根据直线或平面与投影面的相对位置关系，正投影具有以下特性：

（动画演示）

1、真实性：

当物体上的平面图形（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）；

2、积聚性：

当物体上的平面图形（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）；（动画演示）

3、类似性：

当物体上的平面图形（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与原形状类似，即凹凸性、直曲性和边数类似，但平面图形变小了，线段变短了。

（动画演示）

积聚性

类似性

二、三视图

（一）三视图的形成

用正投影法绘制的物体的图形称为视图。

为了将物体的形状和大小表达清楚，工程上常采用三面投影图，即三视图。

1、三面投影体系的建立（动画演示）

三面投影体系的建立

三面投影体系有三个互相垂直的投影面组成，他们分别是正立投影面（V面）、水平投影面（H面）、侧立投影面（W面）。

三个投影面的交线称之为投影轴，他们是OX轴、OY轴、OZ轴，三个投影轴互相垂直，其交点O称为原点。

物体在三面投影体系中的投影

2、物体在三面投影体系中的投影：

（动画演示）

将物体放置在三面投影体系中，用正投影的方法向各投影面投射，分别得到物体的

三个正面投影（主视图），水平投影（俯视图）和侧面投影（左视图）。

3、三视图的方位关系（动画演示）

主视图反映了物体的上、下、左、右方位；俯视图反映了物体的前、后、左、右方位；左视图反映了物体的上、下、前、后方位。

如下图所示。

根据投影关系把下列投影摆放到正确的位置。

三视图的方位关系

应用三视图之间的对应关系，可分析出下图所示形体各表面之间的相对位置关系。

（动画演示）

上下左右

前后点的三面投影的形成过程

三、点的投影

（一）点的投影及标记

如下图所示，将空间点S（空间点大写）放在三面投影体系中，过S点分别向三个投影面作垂线，则得其垂足s、s′、s″（投影面上的点小写）三个投影点，即为点S在H面、V面、W面的投影。

其中Sx、Sy、SyH、Sz分别为点S的投影连线与投影轴X、Y、Z的交点。

（二）点的投影规律

1、点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴（即ss′⊥OX），点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴（即s′s″⊥OZ）。

2、点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离，即“影轴距等于点面距”。

（动画演示）

ssy=s′sz=S点到W面的距离Ss″（长对正）

s′sx=s″sy=S点到H面的距离Ss（高平齐）

ssx=s″sz=S点到V面的距离Ss′（宽相等）

3、点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即ssx=s″sz，用45°角分线表明了这样的关系。

（动画演示）

例1已知点A的正面投影和侧面投影，求作其水平投影（下图（a））

例题1图

作图步骤：

根据点的投影规律自正面投影a′作OX轴的垂线，过侧面投影a″作OYW垂线

并延长交45°线于一点，过该点作OYH的垂线，与a′所引的垂线交a，即得点A的

水平投影（图（b））。

（三）点的投影与直角坐标的关系

若将三面投影体系看成空间直角坐标系，则投影面、投影轴和投影原点，即相应地成为坐标面、坐标轴和坐标原点，点到投影面的距离即等于相应的坐标值。

如下图（a）所示。

点A到W面的距离等于X坐标；

点A到V面的距离等于Y坐标；

点A到H面的距离等于Z坐标。

点A空间坐标的规定书写形式为：

A（XA，YA，ZA）。

例2已知点A（20，10，18），求作它的三面投影图。

（动画演示）

例2图

作图步骤（图（b））：

（1）作投影轴;

（2）在OX轴上由O向左量取20，得ax；

（3）过ax作OX轴的垂线，并沿垂线向下量

取axa=10，得a;向上量取axa′=18，得a′；

（4）根据a、a′，求出第三投影a″。

学生分析以下点的投影及其在空间的位置：

B（0,15,20）；C（0,0,25）；

（四）两点的相对位置

1、两点的相对位置的判断

两点的相对位置，是指两点间的左右、前后和上下的位置关系，是由两点的坐标差来确定。

两点的左、右相对位置由x坐标差确定；两点的前、后相对位置由y坐标差确定；两点的上、下相对位置由z坐标差确定。

（动画演示）

图点A、B的相对位置

如上图所示，要判断点A、B的空间位置关系，可以选定点A（或B）为基准，然后将点B的坐标与点A比较。

如：

XBYA表示点B在点A的前方；ZB>ZA表示点B在点A的上方。

2、重影点

当空间两点的某两个坐标相等时，这两点处于某一投影面的同一投射线上，它们在该投影面上的投影重合于一点，则称这两点为该投影面的重影点。

这种点有两对同名坐标相等。

例如下图所示，E、F两点位于垂直V面的投射线上，e′、f′重合，即xE=xF，zE=zF但yE>yF，表示点E位于点F的前方。

利用这对不等的坐标值，可以判断重影点的可见性。

在下图中，E、F为对V面的重影点。

因yE>yF，故点E位于点F的前方，e′可见而f′不可见，不可见的投影另加圆括弧表示，如图中的（f′）。

（动画演示）

图重影点及其可见性的判别

例3已知A（12，11，14），B（12，11，9）的三面投影图，分析两点的重影点位置并判断可见性。

（黑板作图）

分析：

因为XA=XB=12，YA=YB=11，两点位于对H面的同一投射线上，故它们是对H面的重影点，AB两点的水平投影a与b重合。

又因为：

ZA＞ZB则A点在B点之上，a可见，b不可见。

四、直线的投影

由两点定一线的原理推出：

直线的投影可由其两个端点的投影来确定。

直线的投影一般仍为直线。

如下图（a）所示，直线AB的水平投影ab、正面投影a′b′、侧面投影a″b″均为直线。

画直线的投影图时，根据“直线的空间位置由线上任意两点决定”的性质，在直线上任取两点，画出它们的投影图后，再将各组同面投影连线，如下图（b）所示。

如以点A为基准，比较A、B两点的各组坐标值的大小，即可判断直线的空间位置：

AB向右上后方倾斜。

（动画演示）

图直线的投影

空间直线根据对投影面的相对位置不同，在三个投影面体系中的投影可分为以下三类：

投影面平行线：

平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。

投影面垂直线：

垂直于一个投影面（与另外两个投影面必定平行）的直线，称为投影面垂直线。

一般位置直线：

对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。

1、投影面平行线

三种形式：

水平线（//H面）；正平线（//V面）；侧平线（//W面）。

现以正平线为例（AB∥V面）（动画演示），说明投影面平行线的投影特性。

正平线的投影特性

如上图所示，因为AB//V面，ＡＢ∠Ｈ

ＡＢ∠Ｗ，所以其投影特性为：

a′b′=AB（真实性）

　　　ab﹤ＡＢ，a″b″﹤ＡＢ（类似性）

即正面投影反映实长;yA=yB则ab//OX，a″b″//OZ，即水平投影和侧面投影平行于相应的投影轴;实长投影a′b′与OX轴的夹角α等于直线AB对H面的倾角，

a′b′与OZ轴的夹角γ等于直线AB对W面的倾角。

对水平线和侧平线作同样的分析，可得出类似的投影特性，见表2-1。

从表中可看出投影面平行线具有如下共性：

①直线在它所平行的投影面上的投影反映实长。

②直线的其他两个投影平行于相应的投影轴。

③反映直线实长的投影与投影轴的夹角等于直线对相应投影面的倾角。

反之，如果直线的三个投影与投影轴的关系是一斜两平行，则其必定是投影面平行线。

2、投影面垂直线

三种：

铅垂线（⊥H面）、正垂线（⊥V面）和侧垂线（⊥W面）。

下图表示了铅垂线的投影特性。

（动画演示）

铅垂线的投影特性

因AB⊥H，AB∥Ｖ，AB∥Ｗ，故其水平投影ab积聚成一点ａ（ｂ）。

又因直线AB//V面，AB//W面，故

a′b′=AB=a″b″，且a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW。

对正垂线和侧垂线作同样的分析，可以得出类似的投影特性，（同学们自己分析）见下表。

从表中可以看出，投影面垂直线具有如下共性：

①直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点（积聚性）。

②直线的其他两个投影反映实长，且垂直于相应的投影轴（真实性）。

即为：

两平一点

反之，如果直线的一个投影是点，则直线必定是该投影面的垂直线。

3、一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，如下图（a）所示，三棱锥的棱线SA对三个投影面都倾斜，为一般位置直线。

如下图（b）所示为棱线SA的三面投影。

一般位置直线的投影特性为：

（1）三个投影都与投影轴倾斜；

（2）三个投影均小于实长。

读图时，如果直线的三个投影相对于投影轴都是斜线，则该直线必定是一般位置直线。

一般位置直线的投影

五、平面的投影

（一）平面的表示方法

1、用几何元素表示平面

在投影图上表示平面的方法，就是画出确定平面位置的几何元素的投影。

不在同一直线的三点可确定一平面，因此，平面可以用下列任何一组几何要素的投影来表示。

图中各组几何元素所表示的平面可以互相转化。

在投影图中，常以平面图形来表示空间的平面

用几何元素所表示的平面

2、用迹线表示平面

（二）平面的投影

空间平面根据对投影面的相对位置不同，在三个投影面体系中的投影可分为以下三类：

投影面平行面：

平行于一个投影面的平面（亦即垂直于其他两个投影面），称为投影面平行面。

投影面垂直面：

垂直于一个投影面而对其他两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。

一般位置平面：

对三个投影面都倾斜的平面。

1、投影面平行面有以下三种

水平面（∥H）：

平行于H面的平面；

正平面（∥V）：

平行于V面的平面；

侧平面（∥W）：

平行于W面的平面。

下图以水平面为例分析

立体图投影图

投影面平行面的投影特征：

（1）其水平面投影a反映实形；

（2）正面投影a′和侧面投影

a″均积聚成直线，分别平行与OX、OYW轴。

水平面在形体投影中的位置如下图所示。

在形体投影中的位置

2、投影面垂直面有三种如下：

垂直于H面的平面，称为铅垂面；

垂直于V面的平面，称为正垂面；

垂直于W面的平面，称为侧垂面。

立体图投影图

投影面垂直面有以下投影特性：

①H面投影a积聚成一条斜线，与投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的倾角。

②平面的其他两个投影a′、a″均为小于实形，是类似形。

投影面垂直面有以下投影特性：

1平面在所垂直的投影面的投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线，它与投影轴的夹

角分别反映该平面与相应投影面的倾角。

②平面的其他两个投影均为小于实形的类似形。

提示：

读图时，若平面的一面投影为倾斜于投影轴的一条直线，两个投影为类似形，则该平面为投影面垂直面。

3、一般位置平面对三个投影面都倾斜的平面。

下图所示为一般位置平面SAB的立体图及其投影。

一般位置平面的三面投影均为类似形。

读图时，若平面的三面投影均为类似形，则该平面为一般位置平面。

【任务实施】

1、正三棱锥的投影分析：

A、底面：

为水平面，其H面的投影反映实形——三角形；V、W面投影分别为平行于X轴、Z轴的线段；

B、△SAC：

为侧垂面，其左视图积聚为直线，另外两个投影是三角形的类似形；

C、两个一般位置平面：

△SAB、△SBC，它们的三个投影均是三角形的类似形；

2、识读正三棱锥的三面投影：

A、正三棱锥各棱线及底边的识读

正三棱锥各棱线及底边的识读

如上图所示：

1）SA的三个投影均倾斜于投影轴，故SA为一般位置直线，三个投影均不反映实长。

2）SB的水平和正面投影分别平行于OYH和OZ，所以SB为侧平线，其侧面投影反映实长。

3）底边AB为水平线，水平投影反映实长。

4）底边AC的侧面投影为重影点，则AC为侧垂线，其侧面投影积聚为一点。

B、正三棱锥各表面的识读

图示：

正三棱锥由底面（△ABC为正三角形）和三个棱面（△SAB、△SAC、△SBC）组成，三条棱线汇交于锥顶S点。

1）正三棱锥在主视图上的投影是两个

全等的三角形，为一般位置平面，分别是

左右两个棱面△SAB和△SBC的投影，且

为类似形，其重合投影△SAC为侧垂面，

侧面投影积聚成一条直线。

正三棱锥各表面的识读

2）正三棱锥在俯视图上的投影是三个三角形，均为类似形，其底面△ABC的重合投影为水平面，水平投影反映实长。

3）正三棱锥在左视图上的投影是一个三角形，棱面△SAB、△SBC的重合投影为全等三角形，均为一般位置平面。

3、绘制正三棱锥的三面投影。

作图方法与步骤如下图所示

A、先画底面的各投影（反映实形的投影——底面积聚性投影）,如图（a）所示。

B、再画锥顶点各投影,如图（b）所示。

C、最后连接各棱线并判断可见性,如图（c）所示。

【知识拓展】

一、属于直线上的点的投影

1、点属于直线，点的投影必属于该直线的同面投影，并且符合点的投影特性。

如下图所示。

2、点属于直线，点分线段之比等于其各自的投影比。

如下图所示，点C在AB上，则

　　ac：

cb=a′c′：

c′b′=a″c″：

c″b″=AC：

CB。

属于直线的点的投影特性

二、取属于平面的直线和点

1、取属于平面的直线若直线属于平面，应满足下列条件之一：

（1）直线经过平面上的两个点；

（2）直线经过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线。

例1、已知平面△ABC，试作出属于该平面的任一直线（下图示）。

作法1：

根据条件“直线经过平面上的两点”作图（图（a））。

任取属于直线AB的一点M，它的投影分别为m和m′；再取属于直线BC的一点N，它的投影分别为n和n′；连接两点的同面投影。

由于M、N皆属于平面，所以mn和m′n′所表示的直线MN必属于△ABC平面。

作法2：

根据条件“直线经过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线”作图（图（b））。

经过属于平面的任一点M（m，m′），作直线MD（md，m′d′）平行于已知直线BC（bc，b′c′），则直线MD必属于△ABC。

在平面内取直线

2.取属于平面的点点属于平面的条件是：

若点在平面内的一条直线上，则该点必属于该平面。

因此，在属于平面的点，首先应取属于平面的线，再取属于该线的点。

如上图（a）所示，点K属于△ABC平面内的一条直线MN，则点K必属于平面ABC。

例2、已知△ABC平面的点E的正面投影e′，试求它的另一面投影（下图（a））。

分析：

因为点E属于△ABC平面，故过E作属于△ABC平面的一条直线，则点E的两个投影必属于相应直线的同面投影。

作法1（图（b））：

（1）过E和定点B作直线，即过e作直线的正面投影e′b′，交a′c′于d′；

（2）求出水平投影d，连接bd并延长；

（3）然后过e′作OX轴的垂线与bd的延长线相交，交点即为E的水平投影e。

求平面上点的投影

作法2（图（c））所示，学生自行分析。

例3、已知四边形ABCD的正面投影和BC、CD两边的水平投影，试完成四边形的水平投影（图（a））。

分析：

BC和CD是相交二直线，现已知其两面投影，故该平面是已知的。

而点A是属于该平面的一点，故可应用取属于平面的点的方法求点A的水平投影。

例3图完成四边形的水平投影

作图（图（b））：

（1）连接b′d′和bd；

（2）连接a′c′，并与b′d′相交于1′；

（3）由1′引OX轴的垂线，并与bd相交于1；

（4）连接c1并延长，与从a′向OX轴所作的垂线交于a，即为点A的水平投影；

（5）连接ab和ad，即完成四边形ABCD的水平投影。

三、正三棱锥表面取点（动画演示）

已知M、N点属于三棱锥表面，并知m′、n，求作M、N点的其他两面投

影m″和m及n′和n″。

分析：

处于特殊位置表面上的点可利用表面投影的积聚性直接求得（如：

已知

M点的m，求m″和m）；处于一般位置表面上的点，须作辅助线求得（如：

已

知N点的H面投影n，求作n′和n″）

作图：

首先由m′的位置和可见性分析得知，M点位于棱锥表面ΔSAB，是一个一般位置平面，其投影特性是三个投影面的图形均为不反映实形的三角形，没有积聚性。

求M点的投影作图过程是：

过锥顶S做一连接M点的辅助线S1，根据直线属于平面的条件，求出辅助线S1的三面投影，然后根据属于直线的点的投影特性，利用长对正、高平齐的投影对应关系，求出M点的水平投影m及侧

三棱锥表面点的投影

面投影m″。

其次由n的位置和可见性分析可知，N点位于的棱面ΔSAC是一个侧垂面，n″必在棱面△SAC的侧面投影的斜线上，另外两个投影均为不反映实形的三角形。

所以N点的投影作图过程是:

利用平面投影的积聚性，按宽相等的对应关系，求出N点的侧面投影图，再由n和n″，按长对正、高平齐的对应关系求出n′的投影位置。

再来判断M点和N点投影的可见性，由于M点所在平面的投影均可见，所以M点的三个投影均可见。

而N点所在平面的正面投影不可见，故n′不可见。

【思考讨论】小组讨论

1、识读正五棱锥的三面投影；

2、识读圆柱体的三面投影；

3、识读圆台体的三面投影；

4、识读圆球体的三面投影。

【实训项目】请你完成：

1、绘制正五棱锥的三面投影；

2、绘制圆柱体的三面投影；

3、绘制圆台体的三面投影；

4、绘制圆球体的三面投影。

课堂小结（3分钟）

教学备注

1、正投影的投影特性；三视图的投影规律；三视图的方位关系；

2、点的投影规律；

3、各种位置直线的投影特性：

投影面的平行线：

一斜两平行；投

影面的垂直线：

一点两平行；一般位置直线：

三个投影都是斜线。

4、各种位置平面的投影特性：

投影面的平行面：

一形两线；投影

面的垂直面：

两形一斜线；一般位置平面：

三形

5、直线上的点的投影：

定律（熟记）

6、平面上直线和点的投影：

定律（熟记）

课堂练习及作业布置（2分钟）

课堂作业：

习题集

课外作业：

习题集

后记：