22
a•b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.
已知a、b、c和实数入，则向量的数量积满足下列运算律：
1a•b=b•a（交换律）;
2
=a•（入b）（数乘结合律）；
（分配律）.
由a•b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a
（入a）・b=^（a•b）
®（a+b）・c=a-c+b-c
特别是：
（1）当az0时，垂直的非零向量b,都有a•b=0.
注意：
已知实数a、b、c（bz0）,则ab=bca=c.但对向量的数量积，该推理不正确，即a•b=b•c不能推出a=c.由上图很容易看出，虽然a•b=b•c,但azc.
对于实数a、b、c有（a•b）c=a（b•c）；但对于向量a、b、c,（a•b）c=a（b•c）不成立.这是因为（a•b）c表示一个与c共线的向量，而a（b•c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以（a•b）c=a（b•c）不成立.
提出问题
1如何理解向量的投影与数量积它们与向量之间有什么关系
2能用“投影”来解释数量积的几何意义吗
从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,
的概念，如下图.
师生活动：
教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向量的数量积的定义，提出注意点“投影”
e叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考
定义：
|b|cos
A投影也是一个数量，不是向量；
B当e为锐角时投影为正值；当e为钝角时投影为负值；当e为直角时投影为
0；当e=0°时投影为|b|；当e=180°时投影为-|b|.
教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义：
数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cose的乘积.
让学生思考：
这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质：
a、b为两个非零向量，e为两向量的夹角，e是与b同向的单位向量.e•a=a•e=|a|cose.
a丄ba•b=0.
当a与b同向时，a•b=|a||b|；当a与b反向时，a•b=-|a||b|.
设
A
B
C
特别地a•a=|a|2或|a|=Ja?
a.
a?
b
D.cose=.
|a||b|
E|a•b|a||b|.
上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示，
在推导过程中理解并记忆这些性质.
讨论结果：
1略.
2向量的数量积的几何意义为数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影
|b|cose的乘积.
三、拓展创新，应用提高
例1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120。
，求a•b
活动:
教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解.
解：
a•b=|a||b|cose
=5X4Xcos120°=5X4X（-）
2
=-10.
例2
任意向量
（1）
（2）
点评：
确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解.
22222我们知道，对任意a,b€R,恒有（a+b）=a+2ab+b,（a+b）（a-b）=a-b.对
a、b,是否也有下面类似的结论
（a+b）2=a2+2a•b+b2；
（a+b）・（a-b）=a2-b2.
解：
（1）（a+b）=（a+b）・（a+b）
=a•b+a•b+b•a+b•b=a2+2a-b+b2；
（2）（a+b）・（a-b）=a•a-a•b+b-a-b-b
=a2-b2.
例3已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求（a+2b）・（a-3b）.
解：
（a+2b）・（a-3b）=a•a-a•b-6b•b
22
=|a|-a•b-6|b|
22
=|a|-|allb|cos0-6|b|
22
=6-6X4Xcos60°-6X4
=-72.
例4已知la|=3,lb|=4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直
解：
a+kb与a-kb互相垂直的条件是（a+kb）・（a-kb）=0,
即a2-k2b2=0.
2222
•/a=3=9,b=4=16,
9
•••9-16k=0.
•••k=±-.
4
3
也就是说，当k=±-时，a+kb与a-kb互相垂直.
4
点评：
本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.
四、小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质，数量积的运算律.
2.教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多解.
课堂作业
1.已知a,b,c是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为（
①|a•b|=|allb|
③a丄b|a+b|=|a-b|
A.1B.2
B.
2•有下列四个命题：
ABC为直角三角形的充要条件是AB•BC=0；
④厶ABC为斜三角形的充要条件是AB•BC丰0.
其中为真命题的是（）
.④
A.①B.②C.3D
3.设lal=8,e为单位向量，a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为（）
4.
第2课时
教学目标
一、知识与技能
1.掌握平面向量数量积运算规律.
2.能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题.
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
二、过程与方法
教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.
三、情感、态度与价值观
通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质.教学重点、难点
教学重点：
平面向量数量积的坐标表示.
教学难点：
向量数量积的坐标表示的应用.
教学关键：
平面向量数量积的坐标表示的理解.
教学突破方法：
教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示•并通过练习，使学生掌握数量积的应用.
教法与学法导航
教学方法：
启发诱导，讲练结合.
学习方法：
主动探究，练习巩固.教学准备
教师准备：
多媒体、尺规.学生准备：
练习本、尺规.
教学过程
一、创设情境，导入新课
前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，那么，能否用坐标表示平面向量的数量积呢若能，如何表示呢由此又能产生什么结论呢本节课
（板书课题）
我们就来研究这个问题.
二、主题探究，合作交流
提出问题：
1已知两个非零向量a=（xi,yi）,b=（X2,y2）,怎样用a与b的坐标表示a•b呢
2怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件
3
提示学生在向
教师可以组织学
你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式师生活动：
教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.
量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充•推导过程如下：
■/a=xii+yij,b=X2i+y2j,
a•b=（xii+yij）•（X2i+y2j）
.2.・.・・2
=xiX2i+xiy2i•j+X2yii•j+yiy2j.
又i=1,j•j=1,i•j=j•i=0,a•b=xiX2+yiy2.
教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：
A.平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，
即a=（xi,yi）,b=（X2,y2）,
贝Ua•b=xiX2+yiy2.
B.向量模的坐标表示
若a=（X，y），则Ia|2=x2+y2，或|a|=Jx2y2.
a=（X2-X1,y2-y
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