学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第一章 11 112 弧 度 制.docx
《学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第一章 11 112 弧 度 制.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第一章 11 112 弧 度 制.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第一章11112弧度制
1．1.2 弧度制
预习课本P6～9，思考并完成以下问题
（1）1弧度的角是如何定义的？
（2）如何求角α的弧度数？
（3）如何进行弧度与角度的换算？
（4）以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
1．角的单位制
（1）角度制：
规定周角的
为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
（2）弧度制：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．
（3）角的弧度数的求法：
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝
.
[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2rad的单位“rad”可省略不写，只写2.
2．角度与弧度的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π_rad
2πrad＝360°
180°＝π_rad
πrad＝180°
1°＝
rad≈0.01745rad
1rad＝
°≈57.30°
度数×
＝弧度数
弧度数×
°＝度数
3．弧度制下的弧长与扇形面积公式
公式
度量制
弧长公式
扇形面积公式
角度制
l＝
S＝
弧度制
l＝α·r
（0<α<2π）
S＝
lr＝
αr2
（0<α<2π）
[点睛] 由扇形的弧长及面积公式可知：
对于α，r，l，S“知二求二”，它实质上是方程思想的运用．
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）1弧度＝1°.（ ）
（2）每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．（ ）
（3）用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）×
2．若α＝kπ＋
，k∈Z，则α所在的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第一、三象限D．第一、四象限
答案：
C
3．半径为1，圆心角为
的扇形的面积是（ ）
A．
B．π C．
D．
答案：
D
4．
（1）
＝________；
（2）－210°＝________.
答案：
（1）120°
（2）－
角度与弧度的换算
[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
（1）72°；
（2）－300°；（3）2；（4）－
.
[解]
（1）72°＝72×
＝
.
（2）－300°＝－300×
＝－
.
（3）2＝2×
°＝
°.
（4）－
＝－
°＝－40°.
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：
度数×
＝弧度数，弧度数×
＝度数．
[活学活用]
将下列角度与弧度进行互化：
（1）
π；
（2）－
；（3）10°；（4）－855°.
解：
（1）
π＝
×180°＝15330°.
（2）－
＝－
×180°＝－105°.
（3）10°＝10×
＝
.
（4）－855°＝－855×
＝－
.
用弧度制表示角的集合
[典例] 已知角α＝2005°.
（1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z,0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限的角；
（2）在[－5π，0）内找出与α终边相同的角．
[解]
（1）2005°＝2005×
rad＝
rad
＝
rad，又π<
<
，
∴角α与
终边相同，是第三象限的角．
（2）与α终边相同的角为2kπ＋
（k∈Z），
由－5π≤2kπ＋
＜0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0）内与α终边相同的角是－
，－
，－
.
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α（k∈Z）时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
[活学活用]
1．将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________．
解析：
因为－1125°＝－4×360°＋315°，
315°＝315×
＝
，
所以－1125°＝－8π＋
.
答案：
－8π＋
2．用弧度表示终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合．
解：
如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－
，
而75°＝75×
＝
，
∴终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
.
扇形的弧长公式及面积公式
题点一：
利用公式求弧长和面积
1．已知扇形的半径为10cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
解：
已知扇形的圆心角α＝60°＝
，半径r＝10cm，则弧长l＝α·r＝
×10＝
（cm），于是面积S＝
lr＝
×
×10＝
（cm2）．
题点二：
利用公式求半径和弧度数
2．扇形OAB的面积是4cm2，它的周长是8cm，求扇形的半径和圆心角．
解：
设扇形圆心角的弧度数为θ（0<θ<2π），弧长为lcm，半径为rcm，
依题意有
由①②，得r＝2，∴l＝8－2r＝4，θ＝
＝2.
故所求扇形的半径为2、圆心角为2rad.
题点三：
利用公式求扇形面积的最值
3．已知扇形的周长是30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？
最大面积是多少？
解：
设扇形的圆心角为α（0<α<2π），半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r，
从而S＝
lr＝
（30－2r）r＝－r2＋15r＝－
2＋
，所以，当r＝
cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为
cm2.
弧度制下涉及扇形问题的攻略
（1）明确弧度制下扇形的面积公式是S＝
lr＝
|α|r2（其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角）．
（2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解．
[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
层级一 学业水平达标
1．把50°化为弧度为（ ）
A．50 B．
C．
D．
解析：
选B 50°＝50×
＝
.
2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（ ）
A．16πB．32π
C．16D．32
解析：
选C 弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，
即S＝
lr＝16.
3．角α的终边落在区间
内，则角α所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
选C －3π的终边在x轴的非正半轴上，－
的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（ ）
A．
πB．－
π
C．
πD．－
π
解析：
选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了
周，转过的弧度为－
×2π＝－
π.
5．下列表示中不正确的是（ ）
A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上的角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线y＝x上的角的集合是
解析：
选D 终边在直线y＝x上的角的集合应是
.
6．－135°化为弧度为________，
化为角度为________．
解析：
－135°＝－135×
＝－
π，
π＝
×180°＝660°.
答案：
－
π 660°
7．扇形的半径是
，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
解析：
60°＝
，扇形的面积公式为S扇形＝
αr2＝
×
×（
）2＝π.
答案：
π
8．设集合M＝
，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.
解析：
由－π<
－
<π，得－
.
∵k∈Z，∴k＝－1,0,1,2，
∴M∩N＝
.
答案：
9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解：
设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.
根据扇形面积公式S＝
lR，得1＝
l·R.
联立
解得R＝1，l＝2，
∴α＝
＝
＝2.
10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．
（1）－1725°；
（2）－60°＋360°·k（k∈Z）．
解：
（1）－1725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋
＝－10π＋
，是第一象限角．
（2）－60°＋360°·k＝－
×60＋2π·k＝－
＋2kπ（k∈Z），是第四象限角．
层级二 应试能力达标
1．下列转化结果错误的是（ ）
A．60°化成弧度是
B．－
π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－
π
D．
化成度是15°
解析：
选C 对于A,60°＝60×
＝
；对于B，－
π＝－
×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×
＝－
π；对于D，
＝
×180°＝15°.故C错误．
2．集合
中角的终边所在的范围（阴影部分）是（ ）
解析：
选C 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋
≤α≤2mπ＋
，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋
≤α≤2mπ＋
，m∈Z，所以选C.
3．若角α与角x＋
有相同的终边，角β与角x－
有相同的终边，那么α与β间的关系为（ ）
A．α＋β＝0B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ（k∈Z）D．α－β＝2kπ＋
（k∈Z）
解析：
选D ∵α＝x＋
＋2k1π（k1∈Z），β＝x－
＋2k2π（k2∈Z），∴α－β＝
＋2（k1－k2）·π（k1∈Z，k2∈Z）．
∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.
∴α－β＝
＋2kπ（k∈Z）．
4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（ ）
A．
B．
C．
D．2
解析：
选C 如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为
R，所以圆弧长度为
R的圆心角的弧度数α＝
＝
.
5．若角α的终边与
π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与
角的终边相同的角是____________．
解析：
由题意，得α＝
＋2kπ，∴
＝
＋
（k∈Z）．令k＝0,1,2,3，得
＝
，
，
，
.
答案：
，
，
，
6．已知一扇形的圆心角为
rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．
解析：
设扇形内切圆的半径为r，
∵扇形的圆心角为
，半径为R，
∴S扇形＝
×
R2＝
R2.
∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，
∴R＝r＋2r＝3r，∴r＝
.
∵S内切圆＝πr2＝
R2，
∴S内切圆∶S扇形＝
R2∶
R2＝2∶3.
答案：
2∶3
7．已知α＝1690°，
（1）把α写成2kπ＋β（k∈Z，β∈[0,2π））的形式；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且θ∈（－4π，4π）．
解：
（1）1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋
π.
（2）∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋
π（k∈Z）．
又θ∈（－4π，4π），∴－4π<2kπ＋
π<4π.
解得－
（k∈Z
升级会员 