最新湘教版初中数学七年级上册一元一次方程的应用例题与解析.docx

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最新湘教版初中数学七年级上册一元一次方程的应用例题与解析

32　一元一次方程的应用

1．列一元一次方程解应用题

列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程解答，使实际问题得以解决．列一元一次方程解应用

题的步骤是：

（1）审题设元：

弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如，y）表示问题中的未知数；

（2）找等量关系：

分析题意，找出相等关系（可借助于示意图、表格等）；

（3）列方程：

根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；

（4）解方程：

解这个方程，求出未知数的值；

（5）检验作答：

检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）．

解技巧利用一元一次方程巧解应用题

读懂题目，搜集整理相关信息，弄清题目中的已知数和未知数，是用一元一次方程正确解决相关应用问题的前提．根据不同的实际问题，确定恰当的等量关系是解决较复杂问题的关键．对比较贴近生活实际的应用问题，其数量关系不仅多，而且比较隐蔽，因此，对这类应用问题要善于挖掘多种数量关系之间的内在联系．

设未知数一般是问什么就直接设什么．如果直接设未知数有困难，就间接设未知数；设未知数时，必须写清楚未知数的单位，并且要保证前后单位统

一．

【例1】甲队有32人，乙队有28

人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？

分析：

抽调后甲队人数＝甲队原有人数＋调入人数，抽调后

乙队人数＝乙队原有人数－调出人数．在本题中抓住“2倍”便可发现相等关系：

抽调后甲队人数＝抽调后乙队人数×2

解：

设需从乙队抽调人到甲队．根据题意列方程，得32＋＝2（28－）．

解这个方程，得＝8

答：

需从乙队抽调8人到甲队．

2．形积问题

（1）常用的体积公式

长方体的体积＝长×宽×高；

正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；

圆柱体的体积＝底面积×高＝πr2h；

圆锥体的体积＝×底面积×高＝πr2h

（2）常用的面积、周长公式

长方形的面积＝长×宽；

长方形的周长＝2×（长＋宽）；

正方形的面积＝边长×边长；

正方形的周长＝边长×4；

三角形的面积＝×底×高；

平行四边形的面积＝底×高；

梯形的面积＝×（上底＋下底）×高；

圆的面积＝πr2，圆的周长＝2πr

（3）形积变化中的等量关系

形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，但应用题中一定有相等关系．分以下几种情况：

①形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：

变化前图形的体积＝变化后图形的体积．

②形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：

变化前图形的周长＝变化后图形的周长．

③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即为相等关系．

（4）应用题中相等关系的找法

①认真分析题意，找出已知数和未知数；②抓住题目中反映相等关系的关键词．如：

相等、等于、多、少……；③掌握基本问题的常用关系式．如路程＝速度×时间，总价＝单价×数量……；④通过画图、列表等方法找相等关系．

【例2－1】墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示．小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示．小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？

分析：

饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽．根据题意可设长方形的长为，则长方形的周长为2＋2×10，梯形的周长为10＋10＋10＋6＋10＋6＝52则2＋20＝52，从而解得＝16

解：

设小明所钉长方形的长为，根据题意，得

2＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10，

整理得2＋20＝52，解得＝16

由于饰物变化前后长度为10的边没有变化，所以长方形的一边长为10厘米．

答：

长方形的长为16厘米，宽为10厘米．

【例2－2】用一个底面半径是40毫米，高为120毫米的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100毫米的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，则大玻璃杯的液面离杯口还有10毫米，则大玻璃杯的高度是多

少？

分析：

根据“小圆柱体的体积×10＝大圆柱形玻璃杯中水的体积”列方程求解．

解：

设大玻璃杯的高度是毫米，根据题意，得

π·1002（－10）＝π·402

×120×10

解这个方程，得＝202

答：

大玻璃杯的高为202毫米．

【例2－3】内直径为20c的圆柱形水桶中的全部水倒入一个长、宽、高分别为30c20c80c的长方形铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．（π取314）

分析：

由于水的体积不变，可知两个容器的容积相同．所以本题

的相等关系是：

圆柱的体积＝长方体的体积．

解：

设圆柱形水桶高c根据题意，得

π2·＝30×20×80解得＝≈15287

答：

圆柱形水桶高约为15287c

3行程问题

（1）相遇问题

相遇问题是比较重要的行程问题，其特点是相向而行．

相遇问题中的相等关系：

①甲、乙的速度和×相遇时间＝总路程；

②甲行的路程＋乙行的路程＝总路程，即s甲＋s乙＝s总．

（2）追及问题

追及问题的特点是同向而行．追及问题有两类：

①同时不同地，如下图：

等量关系：

乙的行程－甲的行程＝行程差；速度差×追及时间＝追及距离，即s乙－s甲＝s差．

②同地不同时，如下图：

等量关系：

甲的行程＝乙的行程，即s甲＝s乙．

解技巧巧解追及问题

追及问题常从以下几个方面寻找等量关系列方程：

①从时间考虑，若同时出发，追上时两人所用时间相等；②从路程考虑，直线运动，两人所走距离之差等于需要赶上的距离；③从速度考虑，两人的相对速度等于他们的速度的差．

（3）环形跑道问题

一般情况下，在环形跑道上，两人同时出发，第n次相遇有两种情况：

相向而行，路程和等于n圈长；同向而行，路程差等于n圈长．

（4）航行问题

航行问题主要包括轮船航行和飞机航行，对于航行问题，需注意以下几点：

a．顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度；

b．逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度；

c．顺水（风）速度－逆水（风

）速度＝2倍水（风）速度；

d．基本关系式：

往路程＝返路程．

【例3－1】A，B两地相距112千米，甲、乙两人驾车同时从A，B两地相向而行，甲比乙每小时多行4千米，经过两小时后两人相遇，求甲、乙两人每小时各行多少千米？

分析：

本题属于相遇问题，其中的等量关系有：

甲速度＝乙速度＋4，甲行程＋乙行程＝A，B两地距离（112千米）．

解：

设乙每小时行千米，则甲每小时行（＋4）千米．根据题意，得2（＋4）＋2＝112

解这个方程，得＝26

当＝26时，＋4＝30

答：

甲每小时行30千米，乙每小时行26千米．

【例3－2】李成在王亮的前方10米处，若李成每秒跑7米，王亮每秒跑75米，同时起跑，问王亮跑多少米可以追上李成？

分析：

本题是追及问题，属于同时不同地的类型，可根据“王亮跑的路程－李成跑的路程＝10”，列方程求解．

解：

设秒时王亮追上李成，根据题意，得75－7＝10，解得＝20

所以75×20＝150（米）．

答：

王亮跑150米可追上李成．

【例3－3】甲、乙两车自南向北行驶，甲车的速度是每小时48千米，乙车的速度是每小时72千米，甲车开出25分钟后，乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？

分析：

本题是追及问题中同地不同时类型．其相等关系：

甲行程＝乙行程．

解：

设小时后乙车追上甲车，根据题意，得

48＝72

解这个方程，

得＝

答：

小时后，乙车追上甲车．

【例3－4】甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．

（1）如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？

（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？

分析：

（1）属于相遇问题，相等关系：

甲的行程＋乙的行程＝环形跑道一圈的长－8米；

（2）属于追及问题，相等关系：

乙走的路程＝甲走的路程＋两地间的距离．

解：

（1）设经过秒，甲、乙两人首次相遇．

根据题意得8＋6＝400－8，

解这个方程，得＝28

答：

经过28秒两人首次相遇．

（2）设经过秒，甲、乙两人首次相遇，

根据题意得8＝6＋400－8，

解这个方程，得＝196

答：

经过196秒两个人首次相遇．

4储蓄问题

顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，存入银行的时间叫期数，每个期数内的利息与本金的比叫利率，根据利率的定义，每个期数内，＝利率，利息＝本金×利率×期数，本金与利息的和叫本息和，本息和＝本金＋利息．

月利率一般用千分之几表示．

【例4】王老师在银行里用定期一年整存整取的方式储蓄人民币6000元，到期得到本息和6120元，请你求出这笔储蓄的月利率（不计复利，即每月利息不重计息）．

分析：

根据本息和与利息的关系，有：

利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息．

解：

设这笔储蓄的月利率是，那么存了一年是12个月，根据题意，得

6000＋6000×12×＝6120，

解得≈0001667＝1667‰

答：

这笔储蓄的月利率是1667‰

5商品销售问题

（1）与打折有关的概念

①进价：

也叫成本价，是指购进商品的价格．

②标价：

也称原价，是指在销售商品时标出的价格．

③售价：

消费者最终取得商品的价格，或说是商家卖出商品的价格，也叫成交价．

④利润：

商家通过买卖商品所得的盈利，一般以“获利”、“盈利”、“赚”等词表示所得利润．

⑤利润率：

利润占进价的百分比．

⑥打折：

出售商品时，将标价乘以十分之几或百分之几十卖出，即为打几折卖出．

打几折，就是百分之几十或十分之几．如打8折就是以原价的80%卖出，即为原价×80%或原价×08

（2）利润问题中的关系式

①售价＝标价×折扣；

售价＝成本＋利润＝成本×（1＋利润率）．

②利润＝售价－进价＝标价×折扣－进价．

③利润＝进价×利润率；利润＝成本价×利润率；利润率＝＝

【例5－1】某种商品的进价是400元，标价是600元，商店要求以利润不低于5%打折销售，那么售货员最低可以打几折出售此商品？

分析：

利润问题的相等关系是：

商品售价－商品进价＝商品利润．其中商品利润＝进价×利润率，即400×5%而商品售价＝标价×打折数．

解：

设最低可以打折出售．

根据题意，得

600×01－400＝400×5%，解得＝7

答：

售货员最低可以打7折出售此商品．

【例5－2】某书城开展学生优惠售书活动，凡一次购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．李明购书后付了212元，若没有任何优惠，则李明应该付多少元？

分析：

先判断属于哪一种优惠，再根据情况确定相等关系．当购书是200元时，应该付200×09＝180元，李明支付了212元，说明超过了200元，相等关系是：

不超过200元的部分应付款＋超过部分应付款＝实际付款．

解：

因为200×09＝180＞212，

所以购书超过了200元．

设应该付元，根据题意，

得200×09＋（－200）×08＝212

解方程，得＝240

答：

若没有任何优惠，则李明应该付240元．

【例5－3】一件上衣，按成本加5成（即50%）作为售价，后因清仓处理，按售价的8折出售，降价后每件卖72元，问这批上衣每件成本是多少元？

降价后每件是赔还是赚，赔或赚多少元？

解：

设一件上衣的成本为元，根据题意，得（1＋50%）×80%＝72，解得＝60所以72－＝72－60＝12

答：

一件上衣的成本为50元，降价后每件仍可赚12元．

6．几种复杂问题的应用

含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下几种：

（1）按比例分配问题

按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分

别求几个未知数的问题．

比例分配问题中的相等关系