微分选择填空题题库.docx

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微分选择填空题题库

1、方程M（x,y）dxN（x,y）dy0有只含x的积分因子的充要条件是

（）。

有只含y的积分因子的充要条件是。

2、为黎卡提方程，它有积分因子。

3、为伯努利方程，它有积分因子。

4、若Xi（t），X2（t）J||，Xn（t）为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性

无关的充要条件是。

5、形如■勺方程称为欧拉方程。

6、若（t）和（t）都是x'A（t）x的基解矩阵，则⑴和（t）具有的关

系是。

7、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为时,

（x）

零解是稳定的，对应的奇点称为。

（y）

2、黒P（x）y2Q（x）yR（x）

4、w[xi（t）,x2（t）J||,xn（t）]0

6、（t）（t）c

7J-1

、零

稳定中心

1、形如的方程，称为变量分离方程，这

里•f（x）.（y）分别为的连续函数。

2、形如的方程，称为伯努利方程，这里

P（x）.Q（xI为x的连续函

数.n0.1是常数。

引入变量变换，可化为线性方程。

3、如果存在常数L0,使得不等式对于所有

（X,yj,（x,y2）R都成立，L称为利普希兹常数。

函数f（x,y）称为在R

上关于y满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里

a1,a2,是常数。

5、设（t）是xAx的基解矩阵，（t）是xA（t）xf（t）的某一解，则

它的任一解（t）可表为-。

3f（x,yi）f（x,y?

）Lyiy?

5、（t）（t）（t）

2、当（

）时，方程M（x,y）dxN（x,y）dy0称为恰

当方程，或称全微分方程。

3、函数f（x,y）称为在矩形域r上关于y满足利普希兹条件，如果

4、对毕卡逼近序列，k（x）ki（x）（）。

5、解线性方程的常用方法有

（）。

6、若Xi（t）（i1,2，，n）为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。

7、方程组xA（t）x

（）。

8、若⑴和⑴都是xA（t）x的基解矩阵，则（t）和（t）具有关系：

（）。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）

时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。

10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当

（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为

（）。

当（）时，零解是不稳定的，对应的奇

点称为（）。

11、若⑴是xA（t）x的基解矩阵，则xA（t）xf（t）满足xg的

解（）。

2、yx

3、存在常数L>0,对于所有（xi，yi），（x2,y2）R都有使得不等式

f（Xi,yi）f（X2,y2）Lyi讨2成立

ML」

4、k!

5、常数变异法、待定系数法、幕级数解法、拉普拉斯变换法

x（t）CiXi（t）

6、ii，其中Ci，C2，,Cn是任意常数

7、n个线性无关的解xi（t）,x2（t）,冷⑴称之为xA（t）x的一个基本

解组

8、（t）=（t）c（atb）c为非奇异常数矩阵

9、等于零稳定中心

1.dxP（x）yQ（x）称为一阶线性方程，它有积分因子ePg，其

通解为。

2.函数f（x,y）称为在矩形域r上关于y满足利普希兹条件，如果

3.若（x）为毕卡逼近序列n（x）的极限，则有

（x）n（x）。

dy22

4.方程dxy定义在矩形域R:

2x2,2y2上，则经过点（0,

0）的解的存在区间是

5.函数组et,et,e2t的伏朗斯基行列式为

6.若Xi（t）（i1,2,,n）为齐线性方程的一个基本解组，x（t）为非齐线性

方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为。

7.若（t）是x'A（t）x的基解矩阵，贝y向量函数⑴二是

x'A（t）xf（t）的满足初始条件仏）0的解；向量函数（t）=

是xA（t）xf（t）的满足初始条件

（t°）

的解。

若矩阵A具有n个线性无关的特征向量

W,V2,M，它们对应的特

征值分别为1,2,n，那么矩阵

（t）=

是常系数线性方程

组x'Ax的一个基解矩阵。

9.满足的点（x,y），称为驻定方程组。

P（x）dxP（x）dx

ye（Q（x）edxc）

2.f（x,y）在R上连续，存在L0，使f（x，y1）f（x,y2）Ly1y2

对于任意（x,y1）,（x,y2）R

MLn

（n1）!

eltvi,e2tv2,,e%

9.X（x,y）0,Y（x,y）0

1、当时方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0称为恰当

方程，或称全

微分方程。

2、为齐次方程。

3、求二f（x,y）满足（X。

）y0的解等价于求积分方程

■勺连续解。

4、若函数f（x,y）在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则

吐f（xy）

方程dx'的解y=（X'Xo’yo）作为x,Xo,y0的函数在它的存在

范围内是。

5、若X1（t）,x2（t）,...x3（t）为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的

充要条件是。

6、方程组X，A（t）x的之为X，A（t）x的一个基本

解组

7、若⑴是常系数线性方程组x/Ax的基解矩阵，则expAt

8满足■勺点（x，y），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部时,

零解是稳定

的，对应的奇点称为。

M（x,y）N（x,y）

1、yx

dyf（y）

2、dxx

3、y=yo+xof（x，y）dx

4、连续的

5、wXl（t）,X2（t,）,…，Xn（t）0

6、n个线性无关解

7、（t）（0）

8X（x,y）=0,Y（x,y）=0

9、为零稳定中心

1.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个.（A）

n（B）n-1（C）n+1（D）n+2

2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条

件.

（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分

3.方程dX1y过点（!

1）共有（）个解.

（A）一

（B）无数

（C）两

（D）三

<：

：

yxx

4.方程dx

-（）

奇解.

（A）有一个

（B）有两个

（C）无

（D）有无数个

.y匚

5.方程dx

的奇解是（

）.

（A）y

x（B）y1

（C）y1

（D）y0

1、称为一阶线性方程，它有积分因

子,其通解

为。

2、函数f（x,y）称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果

3、若Xi（t）,X2（t）,,Xn（t）为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件

4形如的方

程称为欧拉方程。

5、若⑴和⑴都是x'A（t）x的基解矩阵，则⑴和⑴具有的关

系：

。

6、若向量函数g（t；y）在域r上，则方

dyg（t;y）,（to；to,yo）y。

占

程组dt的解存在且惟一。

7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实

部，零解是稳定的，对应的奇点称

为。

P（x）yQ（x）P（x）dx

1、形女口dx的万程，e，

P（x）dxP（x）dx

ye（Q（x）edxc）

2、存在常数L0，使得（X1,y1）,（x2,y2）R,有

f（x,yjf（x,y2）L%y?

3、

WXi（t）,X2（t）,

Xn（t）0

4、

ndnyn

xdxnaiX

1dn1ydy

n1an1xany0

dxdx

5、

（t）（t）C

（C为非奇异方程）

6、

连续且关于

y满足利普希兹条件

7、等于零，稳定中心

dyysinxex

1.方程dx的任一解的最大存在区间必定

是.

2.方程y4y0的基本解组是.

3.向量函数组丫1（X），丫2（x）,,«&）在区间|上线性相关的

件是在区间I上它们的朗斯基行列式W（x）0.

4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的

条件.

5.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.

6.向量函数组Yl（X），Y2（X）,，丫n（x）在其定义区间|上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式W（x）0,xI.

1.（,）

2.sin2x,cos2x

3.必要

4.充分

5.n

6.必要

1、dx呻称为齐次方程，dxP（x）『Q（x）yR（x）称为黎卡提方

程。

2、如果f（x,y）在r上连续且关于y满足利普希兹条件，则方程

dXf（X，y）存在唯一的解y（x），定义于区间XX。

h上，连续且满

maxRf（x，y）

hmin（a,——）M

足初始条件（Xo）yo，其中M，

3、若人⑴。

1，2，……，n）是齐线性方程的n个解，w（t）为其伏朗

斯基行列式，贝Sw（t）满足一阶线性方程w（t）a1（t）w（t）0。

5、若⑴和⑴都是xA（t）x的基解矩阵，则⑴和⑴具有关系

（t）（t）c。

6、方程M（x,y）dxN（x,y）dy0有只含x的积分因子的充要条件是

MNMN

/、yx/、

（）。

有只含y的积分因子的充要条件是m（y）。

7、方程dx

y21

2经过（0,0）点的解在存在区间是（，）。

1.称为一阶线性方程，它有积分因—

子，其通解

为。

2.称为黎卡提方程，若

它有一个特解y（x）,则经过变换

可化为伯努利方程。

3.若（X）为毕卡逼近序列n（X）的极限，则有（X）—n（X）

4.若Xi（t）（i=1,2,—,n）是齐线形方程的n个解，w（t）为其伏朗斯基行列式，—则—Wt）满足一阶线性方程。

5.若人⑴（i=i,2,—,n）是齐线形方程的一个基本解组，X（t）为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为。

6.如果A（t）是nxn矩阵，f（t）是n维列向量，则它们在atb上满足

时，方程组X，=A（t）x+f（t）满足初始条件x（t0）=的解在atb上存在唯一。

7.若（t）和（t）都是X/=A（t）X的基解矩阵，则（t）与

（t）具有关系：

8若（t）是常系数线性方程组xAx的基解矩阵，则该方程满足

初始条件（to）的解（t）二

9.满足点（X，y）,

称为方程组的奇点。

10.当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部

时，零解是稳定

的，对应的奇点称为

1.若y=y«x）,y=y2（x）是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为.

业x2y2

2.方程dxy满足解的存在唯一性定理条件的区域

是.

鱼f（xy）

3.fy（x,y）连续是保证方程dx'初值唯一的条

件.

一条积分曲线.

A（x）Y

4.线性齐次微分方程组dx）的一个基本解组的个数不能

多于

个，其中xR，丫Rn.

5.二阶线性齐次微分方程的两个解yi（x）,y2（x）成为其基本

解组的充要条件是.

型sinxcosy

6.方程dxy满足解的存在唯一性定理条件的区域

是.

x2tanV

7.方程dx的所有常数解是.

8.方程xsinydxycosxdy0所有常数解是.

9.线性齐次微分方程组的解组丫1（x），丫2（x）,，丫n（x）为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式W（x）0.

10.n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个.

7ykk0,1,2,

■•9

1.G[yi（x）y2（x）]%（x）2.xoy平面3.充分4

8.vk,k

0,1,2,；或x2k，k0,1,2,

9.充分必要

10.n

性无关

6.xoy平面

1、方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0有只含x的积分因子的充要条件是

N（x）

（yx

），有只含y的积分因子的充要条件是

M（y）

）。

2、求dx=f（x,y）

满足

（X0）y0的解等价于求积分方程

f（x,y）dx

（y=yo+xo）o

dy22

3、方程dXXy定义在矩形域R：

-2x2,2y2上，则经过点

x—（0,0）的即位存在区间是（44）。

4、若X（t）（l=1,2,,n）是齐线性方程的n个解，W（t）为伏朗斯

基行列式，则W（t）满足一阶线性方程（W（t）+ai（t）W（t）=0）。

5、若Xi（t）,X2（t）,Xn（t）为n阶齐线性方程的n个解，则它

们线性无关的充要条件是（W[X（t）,X2（t）,Xn（t）]0）。

6、在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A（t）X+f（x）,X（t0）=的近

k（t）（[A（s）ki（s）f（s）]ds

似解时，则t0

（型）n业y2x20

1微分方程（dx）dxy的阶数是

2若M（x,y）和N（x,y）在矩形区域R内是（x,y）的连续函数，且有连续

的一阶偏导数，则方程M（x,y）dxN（x,y）dy0有只与y有关的积分因子

的充要条件是

3称为齐次方程•

4如果f（x，y）则

dyf（xy）

dx（，y）存在唯一的解y（x）,定义于区间xxoh上，连续且满

足初始条件y0（X0）,其中

5对于任意的（x，yi）,（x，y2）r（r为某一矩形区域）,若存在常数

N（N0）使,则称f（x,y）在R上关于y满足

利普希兹条件.

理x2y2

6方程dxy定义在矩形区域R：

2x2,2y2上,则经过

点（0,0）的解的存在区间是

7若Xi（t）（it2,•.…n）是齐次线性方程的n个解，w（t）为其伏朗斯基行列

式，则w（t）满足一阶线性方程

8若xi（t）（i1,2,…n）为齐次线性方程的一个基本解组，x（t）为非

齐次线性方程的一个特解，则非齐次线性方程的所有解可表为

9若（X）为毕卡逼近序列n（x）的极限，则有（X）n（x）

10称为黎卡提

M-）（-1）（y）

dy形如dx

时）的方程

在R上连续且关于

y满足利普希兹条件

min（a,

f（x,yi）

f（x,y2）

Ny1y2

MLn

a1（t）w0

CjXjx

h（n1）!

形如dx

辨别题

dy2

p（x）y

q（x）yr（x）的方程

指出下列方程的阶数，是否是线性方程:

（12%）

dy2y）dxy

（2）dx

xsiny

（3）

d4y

dx4

2器

d2y

dx2

（4）

xxx

2严

1dsr

（6）

x2dy

ydx0

2、填空题（8%）

xtany

（1）.方程dxy的所有常数解是.

（2）.若y=yi（x），y=y2（x）是一阶线性非齐次方程的两个不同解,

则用这两个解可把其通解表示为.

（3）.若方程Mx,y）dx+N（x,y）dy=0是全微分方程，同它

的通积分是.

（4）.设Mxo,y0）是可微曲线y=y（x）上的任意一点，过该点的

切线在x轴和y轴上的截距分别是.

3、单选题（14%）

（1）.方程yhydx（XIny）dy0是（

（B）两个解

（D）三个解

（A）一个解

（C）无数个解

（3）.方程x（y2-1）dx+y（x2-1）dy=0的所有常数解是（

3.单选题

（1）.B

（2）.C（3）.A（4）.B（5）.A（6）.

B7.A

1.形如为变量可分离方程，它有积分因

子。

2.当时方程Mx,ydxNx,ydy0称为恰当方

程，或全微分方程。

且它只含x的积分因子的充要条件是

。

有只含y的积分因子的充要条件是

3.称为伯努利方程，它有积分因子

离方程。

5.称为黎卡提方程，若它有一个特解yx，

则经过变换，可化为伯努利方程。

6.函数fx，y称为在矩形域r上关于y满足利普希兹条件，如果存在

常数L>0,使xy,x,y2R，使不等式。

7.如果fx,y，则2fx,y存在唯

解JX,定义于区间xX。

h上，连续且满足初始条件y0X。

，其

中h

8.设yx是方程dx

fxy

的定义于区间x0xx0h上，满足初始

条件y0x0,的解，则yx是积分方程

定义于X。

XX。

h上的连续解

9.微分方程的某

个解称为奇解，如

.也就是说奇解是这样的一个解,

它上面的每一点唯一性都不成立。

i0.方程dxilnx满足条件yi

解的存在区间

矽f

i、dx

xy的方程

Mx,y

NX,y

Mx,yNx,y

Mx,y

Nx,y

3、

dXpxy

4、

坐标平移

aix

biy

5、

乎pxy2

6、

fx,yifx,y2

Lyi

min

7、在r上连续且关于y利普希兹条件

a,-

yyofx,ydx

9、在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在

10、ox

dy2t

1.方程dx%any的所有常数解是.

2.方程x（y1）dxy（x1）dy0的常数解是.

3.一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的

一条曲线.

4.方程yy0的基本解组是.

二、选择题

1.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个.

（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+2

2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件.

（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非

充分

业.'1y2（—1）

3.方程dx'7过点（2,）共有（）个解.

（A）一（B）无数（C）两（D）三

4.方程dxyxx（）奇解.

（A）有一个

（B）有两个

（C）无

（D）有无数个

dy、

5.方程dx

'的奇解是（）.

（A）yx

（B）y1

（C）y1

（D）y0

一、填空题

1ykk0,1,2,

2.y1,xi

4.cosx,sinx

选择题

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