初一奥林匹克数学竞赛训练试题集01.docx

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初一奥林匹克数学竞赛训练试题集01

初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1．（4分）设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大公约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（　　）

A．

p≥q≥a＞b

B．

q≥a＞b≥p

C．

q≥p≥a＞b

D．

p≥a＞b≥q

2．（4分）下列四个等式：

=0，ab=0，a2=0，a2+b2=0中，可以断定a必等于0的式子共有（　　）

A．

3个

B．

2个

C．

1个

D．

0个

3．（4分）a为有理数，下列说法中，正确的是（　　）

A．

（a+

）2是正数

B．

a2+

是正数

C．

﹣（a﹣

）2是负数

D．

﹣a2+

的值不小于

4．（4分）a，b，c均为有理数．在下列：

甲：

若a＞b，则ac2＞bc2．乙：

若ac2＞bc2，则a＞b．两个结论中（　　）

A．

甲、乙都真

B．

甲真，乙不真

C．

甲不真，乙真

D．

甲、乙都不真

5．（4分）若a+b=3，ab=﹣1，则a3+b3的值是（　　）

A．

24

B．

36

C．

27

D．

30

6．（4分）a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c的关系是（　　）

A．

互为相反数

B．

互为倒数

C．

相等

D．

无法确定

7．（4分）两个10次多项式的和是（　　）

A．

20次多项式

B．

10次多项式

C．

100次多项式

D．

不高于10次的多项式

8．（4分）在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（　　）

A．

奇数

B．

偶数

C．

负整数

D．

非负整数

二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）

9．（5分）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的

，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的

，则哥哥现在的年龄是　_________　岁．

10．（5分）1.23452+0.76552+2.469×0.7655=　_________　．

11．（5分）已知方程组

，哥哥正确地解得

，弟弟粗心地把c看错，解得

，则abc=　_________　．

12．（5分）若

，则

=　_________　．

13．（5分）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则

的值是　_________　．

14．（5分）满足

的值中，绝对值不超过11的哪些整数之和等于　_________　．

15．（5分）若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于　_________　．

16．（5分）三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，

，b，的形式，则a1992+b1993=　_________　．

三、解答题（共3小题，满分48分）

17．（16分）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．

18．（16分）如果6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m可分解为两个一次因式的积，求m的值，并分解因式．

19．（16分）设a、b、c、d都是正整数，且a2+b2=c2+d2，证明：

a+b+c+d定是合数．

初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1．（4分）设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大公约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（　　）

A．

p≥q≥a＞b

B．

q≥a＞b≥p

C．

q≥p≥a＞b

D．

p≥a＞b≥q

考点：

约数与倍数．3706451

专题：

分类讨论．

分析：

根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系判定即可．

解答：

解：

∵（a，b）=p且[a，b]=q，

∴p|a且p|b，即a|q且b|q．

∴q≥a＞b≥p．故选B．

点评：

本题主要考查最大公约数与最小公倍数，两个数的最大公约数最小是一，最大是其中较小的数，两个数的最小公倍数最大是他们的积，最小是其中较大的数．

2．（4分）下列四个等式：

=0，ab=0，a2=0，a2+b2=0中，可以断定a必等于0的式子共有（　　）

A．

3个

B．

2个

C．

1个

D．

0个

考点：

非负数的性质：

偶次方；有理数的加法；有理数的乘法；有理数的除法．3706451

专题：

计算题．

分析：

按照两数相除商是0，则除数一定是0；两数的积是0，那么其中的一个数必为0；两数的平方和是0，那么两数必都等于0；一个数的偶次方是0，那么这个数一定为0．由此可判断出本题的答案．

解答：

解：

∵

=0，b≠0，∴a必为0，符合题意，故正确；

又∵ab=0，b=0时成立，a未必为0，不符合题意，故错误；

又∵a2=0，a必定=0，符合题意，故正确；

又∵a2+b2=0，则ab必都等于0，故正确；

∴必等于0的式子共有3个，故B、C、D选项错误，

故选A．

点评：

本题主要考查有理数加法、乘法、除法中的特殊结果0的出现原因．

3．（4分）a为有理数，下列说法中，正确的是（　　）

A．

（a+

）2是正数

B．

a2+

是正数

C．

﹣（a﹣

）2是负数

D．

﹣a2+

的值不小于

考点：

有理数的乘方．3706451

分析：

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．02=0．

解答：

解：

A、（a+

）2可为0，错误；

B、a2+

是正数，正确；

C、﹣（a﹣

）2可为0，错误；

D、﹣a2+

的值应不大于

，错误．

故选B．

点评：

此题要注意全面考虑a的取值，特别是底数为0的情况不能忽视．

4．（4分）a，b，c均为有理数．在下列：

甲：

若a＞b，则ac2＞bc2．乙：

若ac2＞bc2，则a＞b．两个结论中（　　）

A．

甲、乙都真

B．

甲真，乙不真

C．

甲不真，乙真

D．

甲、乙都不真

考点：

不等式的性质．3706451

专题：

常规题型．

分析：

若c=0，甲不正确．对于乙，隐含着条件c≠0，则c2＞0，进而推出a＞b，乙正确．

解答：

解：

当c=0时，ac2=bc2，故甲不对；

∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0，∴a＞b，故乙正确．

故选C．

点评：

主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

5．（4分）若a+b=3，ab=﹣1，则a3+b3的值是（　　）

A．

24

B．

36

C．

27

D．

30

考点：

立方公式．3706451

专题：

计算题．

分析：

将a3+b3展开，然后代入题干中a+b及ab的值即可得出答案．

解答：

解：

∵a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）=（a+b）[（a+b）2﹣3ab]

∵（a+b）=3，ab=﹣1，

∴原式=3×12=36．

故选B．

点评：

本题考查立方公式的知识，比较简单，关键是掌握立方公式的展开形式．

6．（4分）a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c的关系是（　　）

A．

互为相反数

B．

互为倒数

C．

相等

D．

无法确定

考点：

代数式．3706451

分析：

由于a+2b+3c=m，a+b+2c=m，则a+2b+3c=a+b+2c，则b与c的关系即可求出．

解答：

解：

由题意得，a+2b+3c=m，a+b+2c=m，

则a+2b+3c=a+b+2c，即b+c=0，b与c互为相反数．

故选A．

点评：

本题考查了代数式的换算，比较简单，容易掌握．

7．（4分）两个10次多项式的和是（　　）

A．

20次多项式

B．

10次多项式

C．

100次多项式

D．

不高于10次的多项式

考点：

整式的加减．3706451

分析：

多项式次数的定义：

多项式中各单项式次数最高的次数，就是多项式的次数，

合并同类项的法则：

字母和字母的次数不变，系数相加作为结果的系数；根据这两方面解答本题．

解答：

解：

根据多项式次数的定义，多项式中各单项式次数最高的项的次数就是多项式的次数，

而同类项相加减时，系数相加减，字母和字母的次数不变，

故多项式相加减时，次数不会高于10次．

故选D．

点评：

本题考查了多项式次数的定义，合并同类项的法则，需要熟练掌握．

8．（4分）在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（　　）

A．

奇数

B．

偶数

C．

负整数

D．

非负整数

考点：

奇数与偶数．3706451

专题：

计算题．

分析：

根据在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变的性质即可得出答案．

解答：

解：

由于在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变，这个性质对n个整数也是正确的，因此，1，2，3，1991，1992的每一个数前面任意添加“+”或“﹣”号，其代数和的奇偶性与﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，

故选B．

点评：

本题考查了整数的奇偶性，难度一般，关键是掌握在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变．

二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）

9．（5分）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的

，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的

，则哥哥现在的年龄是　24　岁．

考点：

一元一次方程的应用．3706451

专题：

应用题；年龄问题．

分析：

要求哥哥现在的年龄，就要先设出未知数，利用9年前两个人之间的年龄关系作为相等关系“九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的

”和“现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的

”列方程求解即可．

解答：

解：

设哥哥现在年龄为X，弟弟现在年龄为

X，

那么哥哥九年前的年龄为X﹣9，弟弟九年前的年龄为

X﹣9．

由题意得：

X﹣9=

（X