立体几何平行与垂直关系的证明解析版 1.docx

立体几何平行与垂直关系的证明解析版 1.docx

《立体几何平行与垂直关系的证明解析版 1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何平行与垂直关系的证明解析版 1.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

立体几何平行与垂直关系的证明解析版1

立体几何

题型1：

直线、平面平行的判断及性质

例1.

（1）（优质真题·福建改编）如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥DC,AB＝6,DC＝3,

若M为PA的中点,求证：

DM∥平面PBC.

（2）如图,在四面体A－BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC的中点,

G为DE的中点.证明：

直线HG∥平面CEF.

例2.如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、

C1D1、AA1的中点.

求证：

（1）EG∥平面BB1D1D；

（2）平面BDF∥平面B1D1H.

题型2：

直线、平面垂直的判断及性质

例1.如图,在四棱锥PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD＝AD,

E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝

AB,PH为△PAD中AD

边上的高.

（1）证明：

PH⊥平面ABCD；

（2）证明：

EF⊥平面PAB.

例2.

（1）[优质真题·辽宁文]如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且

AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD

的中点.

（

）求证：

EF⊥平面BCG；（

）求三棱锥DBCG的体积.

（2）（优质真题·课标全国）如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,

∠ACB＝90°,AC＝BC＝

AA1,D是棱AA1的中点.

（

）证明：

平面BDC1⊥平面BDC；

（

）平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

【变式训练】

[优质真题·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.

（1）证明：

B1C⊥AB；

（2）若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.

题型3：

直线、平面平行与垂直关系的综合

例1.

（1）（优质真题·北京）如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,

E,F分别为A1C1,BC的中点.

（

）求证：

平面ABE⊥平面B1BCC1；

（

）求证：

C1F∥平面ABE；

（

）求三棱锥EABC的体积.

（2）[优质真题·江苏文]如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB

的中点.已知PA⊥AC,PA＝6,BC＝8,DF＝5.

求证：

（

）直线PA∥平面DEF；

（

）平面BDE⊥平面ABC.

例2.

（1）[优质真题·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱

AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.

（

）求四面体ABCD的体积；

（

）证明：

四边形EFGH是矩形.

（2）（优质真题·北京）如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.

将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.

（

）求证：

DE∥平面A1CB；

（

）求证：

A1F⊥BE；

（

）线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？

说明理由.

【变式训练】

1.（优质真题·北京文）如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD＝2AB,

平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

2.[优质真题·山东文]如图所示,四棱锥PABCD中,

AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=

AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

BE⊥平面PAC.

3.（优质真题全国Ⅱ文）如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.

（Ⅰ）证明：

BC1∥平面A1CD；

（Ⅱ）设AA1=AC=CB=2,AB=2

求三棱锥C－A1DE的体积.

4.（优质真题·辽宁）如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,