立体几何平行与垂直关系的证明解析版 1.docx
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立体几何平行与垂直关系的证明解析版1
立体几何
题型1:
直线、平面平行的判断及性质
例1.
(1)(优质真题·福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,AB=6,DC=3,
若M为PA的中点,求证:
DM∥平面PBC.
(2)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC的中点,
G为DE的中点.证明:
直线HG∥平面CEF.
例2.如图E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、
C1D1、AA1的中点.
求证:
(1)EG∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
题型2:
直线、平面垂直的判断及性质
例1.如图,在四棱锥PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,
E是PB的中点,F是DC上的点且DF=
AB,PH为△PAD中AD
边上的高.
(1)证明:
PH⊥平面ABCD;
(2)证明:
EF⊥平面PAB.
例2.
(1)[优质真题·辽宁文]如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且
AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD
的中点.
(
)求证:
EF⊥平面BCG;(
)求三棱锥DBCG的体积.
(2)(优质真题·课标全国)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,
∠ACB=90°,AC=BC=
AA1,D是棱AA1的中点.
(
)证明:
平面BDC1⊥平面BDC;
(
)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
【变式训练】
[优质真题·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:
B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.
题型3:
直线、平面平行与垂直关系的综合
例1.
(1)(优质真题·北京)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,
E,F分别为A1C1,BC的中点.
(
)求证:
平面ABE⊥平面B1BCC1;
(
)求证:
C1F∥平面ABE;
(
)求三棱锥EABC的体积.
(2)[优质真题·江苏文]如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB
的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:
(
)直线PA∥平面DEF;
(
)平面BDE⊥平面ABC.
例2.
(1)[优质真题·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱
AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.
(
)求四面体ABCD的体积;
(
)证明:
四边形EFGH是矩形.
(2)(优质真题·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.
将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.
(
)求证:
DE∥平面A1CB;
(
)求证:
A1F⊥BE;
(
)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?
说明理由.
【变式训练】
1.(优质真题·北京文)如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,
平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
2.[优质真题·山东文]如图所示,四棱锥PABCD中,
AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=
AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
BE⊥平面PAC.
3.(优质真题全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(Ⅰ)证明:
BC1∥平面A1CD;
(Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=2
求三棱锥C-A1DE的体积.
4.(优质真题·辽宁)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,