奥数新定义运算精.docx

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奥数新定义运算精

奥数定义新运算

我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。

除此之外，还会有什么别的运算吗？

现在我们就来研究这个问题。

这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。

一、定义

1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：

（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。

它是使用特殊的运算符号，如：

*、▲、★、◎、

、Δ、◆、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

2、一般的解题步骤是:

一是认真审题，深刻理解新定义的内容；

二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；

三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

二、初步例题诠释

例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：

　a*b=a×b-a-b。

求12*4的值。

分析与解：

根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12×4-12-4=48-12-4=32

例2、假设a★b=（a+b÷b。

求8★5。

分析与解：

该题的新运算被定义为:

a★b等于两数之和除以后一个数的商。

这里要先算括号里面的和，再算后面的商。

这里a代表数字8，b代表数字5。

8★5=（8+5）÷5=2.6

例3、如果a◎b=a×b-（a+b。

求6◎（9◎2）。

分析与解：

根据定义，要先算括号里面的。

这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。

6◎（9◎2）

=6◎[9×2-（9+2）]

=6◎7

=6×7-（6+7）

=42-13

=29

例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。

求6Δ5。

分析与解：

仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。

因此可以按照这个规律进行解答。

6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070

例5、如果规定

2=1×2×3，

3=2×3×4，

4=3×4×5，……

计算（

-

）×

。

分析与解：

该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为

X=（X-1）×X×（X+1）。

由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。

（

-

）×

=

×

-

×

=

-

×

=

（1-

）

=

×（1-

）

=

×（1-

）

=

×

=

例6、规定a▲b=5a+

ab-3b。

求（8▲5）▲X=264中的未知数。

分析与解：

根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。

（8▲5）▲X=264

（5×8+

×8×5-3×5）▲X=264

45▲X=264

5×45+

×45×X-3X=264

225+

X-

=264

225+

X=264

X=39

X=2

三、边学边试

【例1】A，B表示两个数，定义A△B表示（A+B÷2，

求（1（3△17△29；

（2[（1△9△9]△6。

【分析与解】定义新运算符号“△”表示A△B=（A+B÷2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值.如:

3△17=（3+17÷2=10，再用10与29做运算，10△29=（10+29÷2=19.5

（1原式=[（3+17÷2]△29（2原式={[（1+9÷2]△9}△6

=[20÷2]△29=[5△9]△6

=10△29=[（5+9÷2]△6

=（10+29÷2=7△6

=39÷2=（7+6÷2

=19.5=6.5

【试一试】

1、A，B表示两个数，定义A*B=2×A-B.试求:

（1（8.5×6.9*5（2（119.8-29.8*（13.65+12.35

2、设a▽b=a×b+a-2b，按此规定计算：

（1）8▽1.25（2（4▽2.5▽7

【例2】已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.

求:

（13*3；（24*5；（3若1*x=123，求x.

【分析与解】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。

（1）3*3=3+33+333=369

（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380

（3）提示：

因为1*x=1+11+111+…=123

所以倒着算：

123-1=122122-11=111111-111=0

即：

1+11+111=1*3=123

从而可知x=3

【试一试】

已知5△3=5×6×7，3△6=3×4×5×6×7×8，按此规定计算：

（1）（4△3）+（6△2）

（2）（3△2）×（4△3）

【例3】设A⊕B=2×（A+B）-2×（A÷B），

计算：

（1）（12⊕4）⊕13；

（2）70⊕（18⊕4）。

【分析与解】观察已知等式可知：

“⊕”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。

如：

12⊕4=2×（12+4）-2×（12÷4）=26

（1）原式=[2×（12+4）-2×（12÷4）]⊕13

=[2×16-2×3]⊕13

=26⊕13

=2×（26+13）-2×（26÷13）

=2×39-2×2

=78-4

=74

（2）原式=70⊕[2×（18+4）-2×（18÷4）]

=70⊕[2×22-2×4.5]

=70⊕35

=2×（70+35-2×（70÷35

=206

【试一试】

1、规定a⊙b=（a+b÷（a-b，按此规定计算:

（121⊙5（2（18⊙9⊙2

2、设a#b=5a-2b，计算：

（12.5#8）#19.72

【例4】小辉用电脑设计了A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A:

将输入的数加上5；装置B:

将输入的数除以2；装置C:

将输入的数减去4；装置D:

将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A后面连接装置B，就写成A·B，输入1后，经过A·B输出了3.那么，输入9，经过A·B·C·D输出几?

【分析与解】A·B·C·D=[（9+5÷2-4]×3=9

所以输出的是9

【试一试】

同学们在做这样一个数字游戏:

一张带有数字的卡片在A，B，C，D四位同学间传递，当传递给A时，A将该数字乘5传出，当传递给B时，B将该数字除以2传出，当传递给C时，C将该数字加18传出，当传递给D时，D将该数字减去9后交给主持人，如果一张卡片经过A传递给B记为A→B，那么一张带有18的数字卡片，经过A→B→C→D的传递后交给主持人时卡片上的数字是多少?

【理一理】

新定义运算注意的问题:

（1新定义运算一般不满足运算定律

如:

a△b≠b△aa△（b△c≠（a△b△c

（a*b△c≠（a△c*（b△c

（2“+”“-”“×”“÷”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.

 四、练一练

1、规定a*b=4a-3b，计算：

（1.5*0.8）*0.5

2、设a，b都表示自然数，规定a☆b=3a+b÷2，计算：

（1）5☆6

（2）6☆5

（3）2☆（3☆5）（4）（2☆3）☆5

3、规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：

11*5

4、如果1=1！

，1×2=2！

，1×2×3=3！

，…1×2×3×4×…×99×100=100！

那么1！

+2！

+3！

+4！

+…+100！

的个位数字是几？

5、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“△”表示：

羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△狼=狼。

以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了，小朋友总是希望羊能战胜狼。

所以我们规定另一种运算，用符号“☆”表示：

羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。

这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊，狼和狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而剩下羊了。

对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。

求下列结果：

羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）