定积分的存在性定理.docx
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定积分的存在性定理
第五章第二讲、定积分的存在性定理
定理1.2.设函数y=f（x）为定义在闭区间[a,b]上的有界函数。
则f（x）在[a,b]上可积当且仅当对于∀ε>0，可以找到区间[a,b]的
一个分割Ta=x:
01n1n
∑∑
nfn
x（Mm）xii[x,x][x,x]i
i1i1i−1ii−1i
=ω∆==−∆<ε
这里
∆=−，
xxx−
iii1
M[,]=sup[,]f（x）
xxxxx
i1ii1i
−∈−及
i1ii1i
−∈−。
m[,]=inf[,]f（x）
xxxxx
由上面这个定理，我们可以得到
定理2.1.若函数f（x）在区间[a,b]上可积.，则函数|f（x）|在区间[a,b]
上也可积。
证明：
因为函数f（x）在区间[a,b]上可积，由定理1.2，对于∀ε>0，
可以找到区间[a,b]的一个分割Ta=x:
01n1n
∑，这里
nf
i=ω∆x<ε
1
ii
∆=−，
xxx−
iii1
i1ii1i
−∈−及
M[,]=sup[,]f（x）
xxxxx
−∈−，iMxxmxx
11
ω=−称为函数在区间
f
m[,]=inf[,]f（x）
xxxxx
[i,i][i,i]
iiii−1−1
[,]
x−x上
i1i
的振幅。
注意到
ω|f|≤ωf总是成立的，故对上述分割我们有
ii
∑∑。
nfnf
i=ω∆x≤i=ω∆x<ε
11
||
iiii
于是，我们证得函数|f（x）|在区间[a,b]上可积。
证毕。
定理2.2.设函数f（x），g（x）在区间[a,b]上可积，则f（x）±g（x）也在
区间[a,b]上可积.
证明：
首先证明f（x）+g（x）在区间[a,b]上可积。
注意到对于任意区间
I⊆ab，我们有
[,]
sup（（）（））sup（）sup（）
x∈Ifx+gx≤x∈Ifx+x∈Igx
infx∈I（f（x）+g（x））≥infx∈If（x）+infx∈Ig（x）
于是
ω+=+−+
fg
sup（f（x）g（x））inf（f（x）g（x））Ix∈Ix∈I
≤+−+=ωf+ωg
（supf（x）supg（x））（inff（x）infg（x））
x∈Ix∈Ix∈Ix∈III
即ωf+g≤ωf+ωg（2.1）
III
因为函数f（x），g（x）在区间[a,b]上可积，由定理1.2，对于∀ε>0，
可以找到区间[a,b]的一个分割T，使得
1
∑
Tω∆x<ε
f
ii
1
可以找到区间[a,b]的一个分割T，使得
2
∑
Tω∆x<ε
g
ii
2
于是
∑∑∑∑∑
T+Tωfg∆x≤T+Tωf∆x+T+Tωg∆x≤Tωf∆x+Tωg∆x<ε
+
2iiiiiiiii
12121212
上面的第一个不等式由（2.1）得到，第二个不等式来自以下事实
对于有界函数h（x），若I⊆J，则ωh≤ωh
IJ
由于f（x）−g（x）=f（x）+（−g（x）），而函数−g（x）区间[a,b]上可积（可以
ω=ω−即可）。
从而通过定义直接推得，或由定理1.2推得，注意
II
fx−gx在区间[a,b]上可积。
证毕。
（）（）
定理2.3.若函数y=f（x）在闭区间[a,b]上连续，或有界只有有
限个间断点或单调有界，则f（x）在[a,b]上可积。
证明：
情形一，函数y=f（x）在闭区间[a,b]上连续。
这种情形在
第一讲中利用一致连续性已经证明。
情形二，函数y=f（x）在闭区间[a,b]上有界只有有限个间断点。
设m≤f（x）≤M，a1,,ak为函数的间断点。
任意确定∀ε>0。
记
I1,,Ik为闭区间[a,b]的闭子区间，两两不交，点ai含于Ii的内部
，且满足
（|I||I|）（Mm）
++−<
1k
ε
2
设J1,,Jm，k−1≤m≤k+1为[a,b]挖去
I后剩下的闭区间，函数
i
y=fx在这些闭区间上连续，于是在这些闭区间上可积。
从而
（）
由定理1.2，在每个Js上存在一个分割Ts使得
∑
ω∆<
f
x
ii
T
s
ε
2（k1）
+
设T=T1++Tm，它是[a,b]的一个分割，对这个分割我们有
εε
∑∑∑∑
mk
ωf∆=ωf∆−<+≤ε
x1x+1|I|（Mm）m
iis=iii=iII+
2（k1）2ii
TT
s
故f（x）在[a,b]上可积。
情形三，函数y=f（x）在闭区间[a,b]单调有界。
任给∀ε>0，设分割
Ta=x:
01n1n
T=∆x≤i≤n<ε。
max{:
1}
i
则有
∑∑
nfn
=∆==−∆<−
ωε
x（f（x）f（x））x（f（b）f（a））
iiii−1i
i1i1
故f（x）在[a,b]上可积。
证毕。
b
∫，我们称函数f（x）为被积函注记2.1.（I）对于定积分（）
fxdxa
数，f（x）dx为被积表达式，变量x为积分变量，a与b分别为积
分下限与上限，[a,b]为积分区间
（II）我们约定下面的记号
aab
∫及∫（）∫（）
fxdx=fxdx=−fxdx
（）0
aba
例子2.1.求由曲线y=f（x）=x2，x轴及直线x=1所围成的面积A。
解：
由第一讲问题1.1，我们已知
12
A=∫xdx。
因为定理2.1告诉
0
我们这个定积分存在。
这样我们可以取一个特别的分割
T
12n1n
−
:
01
<<<<<=，即将区间[0,1]进行n等分，并取
nnnn
η=∈−
ii1i
i
nnn
。
则
1
Tx
=∆=对应的和为
i
n
2
i11n（n1）（2n1）
++
∑∑
nn
f（）x==（12n）
η
∆+++=
222ii
i1i1nnn6n
==33
于是，我们有
n（n1）（2n1）1
++12
Axdx=lim=
=∫.
n→∞
6n3
3
0
注记2.2.由于已经知道定积分
12
∫存在，故按照定义我们只需
xdx
0
取一列特别的分割Tk,k=1,2,（满足T→0），在每个分割的每
k
个小区间内取特别的点，再对这个分割对应的和，然后取极限即
可得到积分值。
例子2.2.
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