定积分的存在性定理.docx

1、定积分的存在性定理第五章第二讲、定积分的存在性定理定理 1.2. 设函数 y = f (x) 为定义在闭区间a,b上的有界函数。则 f (x)在a,b上可积当且仅当对于 0，可以找到区间a,b的一个分割T a = x x x x = b，使得:0 1 n 1 n n f nx (M m ) x i i x ,x x ,x ii 1 i 1 i1 i i1 i= = = 0，可以找到区间a,b的一个分割T a = x x x x = b，使得:0 1 n 1 n ， 这 里n fi= x 1i i = ，x x x i i i 1i 1 i i 1 i 及M , =sup , f (x) x x

2、 x x x ， i M x x m x x1 1 = 称为函数在区间fm , =inf , f (x)x x x x x i , i i , i i i i i 1 1 , x x 上i 1 i的振幅。注意到| f | f 总是成立的，故对上述分割我们有i i 。n f n fi= x i= x 0，可以找到区间a,b的一个分割T ，使得1T x fi i1可以找到区间a,b的一个分割T ，使得2T x gi i2于是 T +T f gx T +T f x + T +T gx T f x + T gx 0。记I1, , Ik 为闭区间a,b的闭子区间，两两不交，点ai 含于 Ii 的内部，且

3、满足(| I | | I |)(M m)+ + 1 k2设 J1, ,Jm ，k 1 m k +1为a,b挖去I 后剩下的闭区间，函数iy = f x 在这些闭区间上连续，于是在这些闭区间上可积。从而( )由定理 1.2，在每个 Js 上存在一个分割Ts 使得 fxi iTs2(k 1)+设T = T1 + + Tm ，它是a,b的一个分割，对这个分割我们有 m k f = f 0 ， 设 分 割T a = x x x x = b 满 足:0 1 n 1 nT = x i n 。max :1 i则有 n f n= = = x ( f (x ) f (x ) x ( f (b) f (a) i

4、i i i1 ii 1 i 1故 f (x)在a,b上可积。证毕。b ，我们称函数 f (x)为被积函 注记 2.1. （I）对于定积分 ( )f x dx a数， f (x)dx 为被积表达式，变量 x 为积分变量，a 与b 分别为积分下限与上限，a,b为积分区间（II）我们约定下面的记号a a b 及 ( ) ( )f x dx = f x dx = f x dx( ) 0a b a例子 2.1. 求由曲线 y = f (x) = x2 ，x 轴及直线 x=1所围成的面积 A 。解：由第一讲问题 1.1，我们已知1 2A = x dx 。因为定理 2.1 告诉0我们这个定积分存在。这样我们

5、可以取一个特别的分割T1 2 n 1 n: 0 1 = ，即将区间 0,1 进行 n 等分，并取n n n n = ,i i 1 i in n n 。则1T x= = 对应的和为in2 i 1 1 n(n 1)(2n 1)+ + n nf ( ) x = = (1 2 n ) + + + =2 2 2 i ii 1 i 1 n n n 6n= = 3 3 于是，我们有n(n 1)(2n 1) 1+ + 1 2A x dx= lim = .n6n 330注记 2.2. 由于已经知道定积分1 2 存在，故按照定义我们只需x dx0取一列特别的分割Tk ,k =1, 2, （满足 T 0 ），在每个分割的每k个小区间内取特别的点，再对这个分割对应的和，然后取极限即可得到积分值。例子 2.2.