高考数学总复习 105 古典概型与几何概型但因为测试 新人教B版.docx
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高考数学总复习105古典概型与几何概型但因为测试新人教B版
高考数学总复习10-5古典概型与几何概型但因为测试新人教B版
1.（2011·浙江文，8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 3个红球记为a，b，c,2个白球记为1,2.则从袋中取3个球的所有方法是abc，ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12.共10个基本事件，则至少有一个白球的基本事件是ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12共9个．[来源:
Z|xx|k.Com]
∴至少有一个白球的概率为
.故选D.
[点评]
（1）A＝“至少有一个白球”的对立事件是B＝“全是红球”，故所求概率为P（A）＝1－P（B）＝1－
＝
.
（2）解决这类问题的基本方法就是给小球编号，用列举法写出基本事件空间
（或用计数原理计算基本事件空间中基本事件的个数），然后数（或求）出所求事件中含的基本事件的个数，再求概率，请再练习下题：
（2011·德州模拟）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 从5个球中任取两个，有C
＝10种不同取法，其中两球同色的取法有C
＋1＝4种，∴P＝
＝
.
2．（文）（2011·福建文，7）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析]
本题属于几何概型求
概率问题，设矩形长为a，宽为b，则点Q取自△ABE内部的概率为
P＝
＝
＝
.
（理）（2010·胶州三中）已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f（x）满足条件
的事件为A，则事件A发生的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由
得，
，画出0≤b≤4,0≤c≤4表示的平面区域和事件A所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P＝
.
3．（文）有5条长度分别为1、3、5、7、9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 构不成三角形的为（1,3,5），（1,3,7），（1,3,9），（3,5,9），（1,5,7），（1,5,9），（1,7,9），能构成三角形的有（3,5,7），（3,7,9），（5,7,9），
∴所求概率为
.
（理）在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 从10个点中任取三个有C
种方法，能构成直角三角形时，必须有两点连线为直径，这样的直径有5条，∴能构成直角三角形5×8＝40个，
∴概率P＝
＝
.
4．（文）（2011·北京学普教育中心联考版）在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为（ ）
A.
B．1－
C.
D．1－
[答案] B
[解析] 以点O为圆心，半径为1的半球的体积为V＝
×
πR3＝
，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：
点P到点O的距离大于1的概率为
P（A）＝1－
＝1－
，故选B.
（理）已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<
VS－ABC的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] 当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－
＝
，故选A.
5．（2011·潍坊二检）若在区间[－
，
]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到
之间的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] 当－
≤x≤
时，由0≤cosx≤
，得－
≤x≤－
或
≤x≤
，根据几何概型的概率计算公式得所求概率P＝
＝
.
6．（2011·山东临沂）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝（m，n）与向量b＝（1，－1）的夹角为α，则α∈（0，
]的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] ∵θ∈
，∴cosθ＝
≥0，
∴m≥n，满足条件m＝n的概率为
＝
，
m>n的概率与m∴m>n的概率为
×
＝
，
∴满足m≥n的概率为P＝
＋
＝
.
7．（2011·浙江宁波八校联考）已知k∈Z，
＝（k,1），
＝（2,4），若
|
|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．
[答案]
[解析] ∵|
|＝
≤4，∴－
≤k≤
，
∵k∈Z，∴k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，
当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由
·
＝0得2k＋4＝0，∴k＝－2，
∵
＝
－
＝（2－k,3），由
·
＝0得k（2－k）＋3＝0，∴k＝－1或3，
由
·
＝0得2（2－k）＋12＝0，∴k＝8（舍去），故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，
∴所求概率p＝
.
8．（文）（2011·如皋模拟）连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P（A）最大时，m＝________.
[答案] 7
[解析] 连续抛掷一枚骰子2次，共有36个基本事件，两次向上的点数之和及次数如表：
和
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
次数
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
显然当两次向上的点数之和为7时概率P（A）最大．
（理）（2010·江苏金陵中学）先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．
[答案]
[分析] 本题有两点要点：
一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．
[解析] 基本事件的总数为6×6＝36.
∵三角形的一边长为5，
∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；
当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况
；
当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种情况；
当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．
故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为
P＝
＝
.
9．（文）从集合{（x，y）|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}内任选一个元素（x，y），则x、y满足x＋y≥2的概率为________．
[答案]
[解析] 即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为
.
（理）（2011·黑龙江五校联考）在体积为
V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于
的概率是________．
[答案]
[解析] 由题意可知
>
，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC与△ABC的高，所以
＝
＝
>
，又
＝
，所以
>
，故所求的概率为
（即为长度之比）．
10．已知函数f（x）＝－x2＋ax－b.
（1）若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；
（2）若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f
（1）>0成立的概率．
[解析]
（1）a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为N＝5×5＝25个．
函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.
因为事件“a2≥4b”包含（0,0），（1,0），（2,0），（2,1），（3,0），（3,1），（3,2），（4,0），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），
所以事件“a2≥4b”的概率为P＝
，
即函数f（x）有零点的概率为
.
（2）a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，
f
（1）＝－1＋a－b>0，即a－b>1，
此为几何概型．如图可知，
事件“f
（1）>0”的概率为P＝
＝
.
11.（文）（2011·金华十校联考）在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 从5个小球中随机取出两个小球，基本事件共10个：
（1,2），（1,3），（1,4），
（1,5），（2,3），（2,4），（2,5
），（3,4），（3,5），（4,5）．其中数字之差的绝对值为2的有：
（1,3），（2,4），（3,5），数字之差的绝对值为4的有：
（1,5），
故所求概率P＝
＝
.
（理）（2011·威海模拟）某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a、b，则椭圆
＋
＝1的离心率e>
的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 当a>b时，e＝
>
⇒
<
⇒a>2b，符合a>2b的情况有：
当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种情况；
当b＝2时，有a＝5,6两种情况，总共有6种情况，则概率是
＝
.
同理当a
的概率也为
，
综上可知e>
的概率为
.
12．（文）m∈{－2，－1,0,1,2,3}，n∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程
＋
＝1有意义，则方程
＋
＝1可表示不同的双曲线的概率为（ ）
A.
B．1
C.
D.
[答案] D
[解析] 由题设知
或
，
1°
时有不同取法3×3＝9种．
2°
时有不同取法2×2＝4种，
∴所求概率P＝
＝
.
（理）从－1、0、1、2这四个数中选出
三个不同的数作为二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] 首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，
∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个．
f（x）若有变号零点，不论a>0还是a<0，均应有Δ>0，即b2－4ac>0，∴b2>4ac.
①首先b取0时，a、c须异号，a＝－1，则c有2种，a取1或2，则c只能取－1，∴共有4种．
②b＝1时，若c＝0，则a有2种，若c＝－1，a只能取2.
若c＝2，则a＝－1，共有4种．
③若b＝－1，则c
只能取0，有2种．
④若b＝2，取a有2种，取c有2种，共有2×2＝4种．
综上所述，满足b2>
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