全等三角形.docx

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全等三角形

三角形全等的判定

教学目标：

1、知识与技能：

（1）知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

（2）知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

（3）能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

2、过程与方法：

学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣

3、情感态度与价值观：

（1）通过感受全等三角形的对应美，激发学生热爱科学勇于探索的精神；

（2）通过自主学习，体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新、多方位审视问题的创造技巧．

教学重点：

探究全等三角形的性质

教学难点：

发现并掌握简单图形沿一个方向平移后覆盖次数的规律，并能根据规律解决简单的实际问题。

教学过程：

一、提出问题，创设情境

观察下列图案，说出它们有什么共同的特点？

（都有形状、大小相同的图形）问题：

你还能举出生活中一些实际例子吗？

（窗户、奥运五环）

1．动手操作：

把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全

一样吗？

把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？

一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的．

2．从同一张底片冲出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够重合吗？

3．获取概念

让学生用自己的语言叙述：

全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．

[生1]形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．

[生2]怎样就能说明形状、大小相同呢？

难道只看着相同就行吗？

我认为这样不便于操作．

[生3]要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．

[师]很好．于是我们可以得出全等形的准确定义：

能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．

导入新课

多媒体课件播放：

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

学生不难得出：

△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．

（注意强调学生书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

[师]于是我们得到启示，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

【教学过程设计】：

观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

得到全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等．

全等三角形的对应角相等．

[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

问题：

△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，请同学们思考通过怎样变换可以使两三角形

重合？

[生]将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合．

[师]如何翻折呢？

能不能具体点．

[生]沿过O的一条线翻折就可以了．

[师]你分析得很精彩．那么我们现在来找对应边和对应角就容易多了．请同学们说说看．

[生]∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．

总结：

两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．

[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

分析：

对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．

根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

用方法

（1）我们可以得到AB与AC是对应边，AE与AD是对应边，那么剩下的BE与CD一定是对应边了．

用方法

（2）我们可以得到∠BAE和∠CAD是对应角．

解：

对应角为∠BAE和∠CAD．

对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD．

[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）[生1]我是这样考虑的，借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边．而AB与AE显然不重合，所以AB与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角，∠ACB与∠AED是对应角．所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED．

[师]你分析得很有道理，并且思路非常清晰，值得大家学习．不过不要忘记全等三角形这个前提，好吗？

[生2]我和他的想法不一样，我的做法是沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC翻折180°后，它正好和△ADE重合．这时就可找到对应边为：

AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED．

[师]“生2”同学从运动的角度很轻松地解决了问题．可见图形转换的奇妙．我们是不是要为他鼓掌啊

【教学反思】

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．

最后提醒大家注意的是找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1．翻转法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：

沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

全等三角形的判定

（1）

教学目标

1、知识与技能目标:

掌握“边边边”条件的内容，并能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.

2、过程与方法目标:

经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,并初步体会分类思想,分析问题和解决问题的能力.

3情感态度与价值观目标:

通过画图、比较、验证，养成注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。

教学重点、难点:

重点：

利用边边边证明两个三角形全等

难点：

探究三角形全等的条件

教学过程

（一）复习提问

1、什么叫全等三角形？

2、全等三角形有什么性质？

3、若△ABC≌△DEF,点A与点D,点B与点E是对应点,试写出其中相等的线段和角.

（二）新课讲解:

问题1：

如图:

在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,则△ABC和△DEF全等吗?

问题2:

△ABC和△DEF全等是不是一定要满足AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F这六个条件呢？

若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件,这两个三角形全等吗?

一个条件可分为：

一组边相等和一组角相等

两个条件可分为：

两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等

探究一：

1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。

①只给一条边：

②只给一个角：

2.给出两个条件：

①一边一内角：

②两内角：

②两内角：

③两边：

问题3：

两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？

满足三个条件有几种情形呢？

3.给出三个条件

三个条件可分为：

三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一角相等

例：

画△ABC,使AB=2,AC=3,BC=4

画法:

1画线段BC=4

2分别以A、B为圆心，以2和3为半径作弧，交于点C。

则△ABC即为所求的三角形

把你画的三角形与其同桌所画的三角形剪下来，进行比较，它们能否互相重合？

归纳：

有三边对应相等的两个三角形全等.

可以简写成“边边边”或“SSS”

用数学语言表述：

在△ABC和△DEF中

AB=DE

BC=EF

CA=FD

∴△ABC≌△DEF（SSS）

（三）题例训练:

例1如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。

求证：

△ABD≌△ACD

证明：

∵D是BC中点

BD=CD

在△ABD和△ACD中：

AB=AC（已知）

AD=AD（公共边）

BD=CD（已证）

∴△ABD≌△ACD（SSS）

证明的书写步骤：

①准备条件：

证全等时把要用的条件要先证好；

②三角形全等书写步骤：

1写出在哪两个三角形中

2摆出三个条件用大括号括起来

3写出全等结论

练习：

p37、1

小结：

1、本节所讲主要内容为利用“边边边”证明两个三角形全等。

2证明三角形全等的书写步骤。

3证明三角形全等应注意的问题。

全等三角形的判定

（2）

教学目标：

1、知识与技能：

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等。

　　2、过程与方法：

经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力。

在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．

　　3、情感目标：

通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

教学重点：

利用边角边证明两个三角形全等

教学难点：

探究三角形全等的条件

教学过程：

一、复习导入：

上节课我们学习了全等三角形的一个判定，sss，我们一起复习一下

二、探究新知：

问题1　先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？

画法：

（1）画∠DA′E=∠A；

（2）在射线A′D上截取A′B′=AB，在射线A′E上截取A′C′=AC；（3）连接B′C′．现象：

两个三角形放在一起能完全重合．说明：

这两个三角形全等．归纳概括“SAS”判定方法:

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．几何语言：

在△ABC和△A′B′C′中，

也就是，三角形的两条边的长度和它们的夹角大小确定了，这个三角形形状、大小就确定了。

例　如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？

证明：

在△ABC和△DEC中，

∴　△ABC≌△DEC（SAS）．∴　AB=DE（全等三角形的对应边相等）．

因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决。

思考：

两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的条件能判定两个三角形全等吗？

如图，把一长一段的两根木棍的一端固定在一起，摆出ΔABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到ΔABD，这个实验说明了什么。

ΔABC与ΔABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB.,AC=AD,∠B=∠B,但ΔABC与ΔABD不全等，这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。

三、巩固练习：

P39练习2

四、小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？

用“SAS”判定三角形全等应注意什么问题？

（3）到现在为止，你学到了几种证明两个三角形全等的方法？

全等三角形的判定（3）

教学目标：

一、 教学目标 

 知识与技能 ：

1.掌握已知三角形的两个角及其夹边作三角形的方法.

2. 掌握三角形全等的判定方法“ASA”.和“AAS”

      3. 能利用全等三角形的判定方法“ASA”和“AAS”解决简单实际问题.  

过程与方法 ：

      经历探究全等三角形判定方法“ASA”和“AAS”的过程，运用操作确认、归纳结论的思想方法. 

情感、态度与价值观 ：

      通过探究全等三角形判定方法“ASA”和“AAS”的过程，进一步感受通过操作确认、提出猜想的方法在研究数学问题中的重要作用.

教学重点：

理解两种判定方法，并掌握用这两种方法证明两个三角形全等．教学难点：

灵活运用三角形全等条件证明．

一、提出问题，创设情境

1．复习：

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

三种：

①定义；②SSS；③SAS．2

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

问题1：

三角形中已知两角一边有几种可能？

1．两角和它们的夹边．2．两角和其中一角的对边．

二、探究新知

问题：

先任意画出一个ΔABC，再画一个ΔA’B’C’，使A’B’=AB,∠A’=∠A,∠B’=∠B（即两角和它们的夹边放分别相等）把画好额ΔA’B’C’剪下来，放到ΔABC上，它们全等吗？

画一个ΔA’B’C’，使A’B’=AB,∠A’=∠A,∠B’=∠B

（1）画A’B’=AB

（2）在A’B’同旁画∠DA’B’=∠A,∠EB’A’=∠B,A’D，B’E相交于点C’

给出了画ΔA’B’C’的方法，你是这样画的吗？

探究此问题，反应了什么规律？

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”）

也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了。

例1

如图，点D在AB上，点E在AC上，BA=AC，∠B=∠C．求证：

AD=AE．证明：

在△ABE和△ACD中，

∴　△ABE≌△ACD（ASA）．∴　AE=AD．

例2在ΔABC和

DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF,求证ΔABC≌ΔDEF

因此，我们可以得到下面的结论：

两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边或“AAS”）

也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了。

三、小结：

（1）本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？

分别是什么？

它们之间有什么共同点和区别？

（2）本节课学习的两种方法能否用“两角一边相等，则三角形全等”来代替？

全等三角形的判定（4）

教学目标：

知识与技能：

1．探索并理解“HL”判定方法．2．会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等．

过程与方法：

经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过

情感态度价值观:

在学习过程中，通过交流合作，体会成功的喜悦。

教学重点：

理解并运用“HL”判定方法．

教学难点：

利用公理来判定两个直角三角形全等

教学过程：

一、创设情境

问题1　如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？

（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？

二、探究新知

问题2　任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？

　画法：

（1）画∠MC＇N=90°；

（2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC；（3）以B＇为圆心，AB为半径画弧，交射线C＇N于点A＇；（4）连接A＇B＇．现象：

两个直角三角形能重合．说明：

这两个直角三角形全等．　斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．几何语言：

∵　在Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中，　AB=A＇B＇，BC=B＇C＇，∴　Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇（HL）．

例1　如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证：

BC=AD．证明：

∵　AC⊥BC，BD⊥AD，∴　∠C和∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，AC=BD，∴　Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴　BC=AD（全等三角形对应边相等）．

三、巩固提升

练习2练习2　如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF．求证：

AE=DF．

四、小结：

（1）“HL”判定方法应满足什么条件？

与之前所学的四种判定方法有什么不同？

（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？

角的平分线的性质

（1）

教学目标：

知识与技能：

1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法；2、理解角的平分线的性质并能初步运用。

3．能用角的平分线的性质解决简单问题．

过程与方法：

通过经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，提高学生用数学知识解决问题的能力。

情感态度与价值观：

提高探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。

教学重点：

掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。

教学难点：

1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。

教学过程：

一、创设情境

问题1　在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？

用量角器度量，也可用折纸的方法．

追问1　你能评价这些方法吗？

在生产生活中，这些方法是否可行呢？

追问2　下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线．你能说明它的道理吗？

追问3　从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？

如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？

已知：

∠AOB

求作：

∠AOB的平分线

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N

（2）分别以点M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，画弧在∠AOB的内部相交于点C

（3）画射线OC，射线OC即为所求

利用尺规作角的平分线的具体方法:

问题2　利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？

如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？

在OC上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？

猜想：

角的平分线有以下性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

已知：

∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：

PD=PE．

追问2　由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？

（1）明确命题中的已知和求证；

（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

追问3　角的平分线的性质的作用是什么？

主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．

三、巩固提升练习1　下列结论一定成立的是（3）．

（1）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE．

（2）如图，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE．（3）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D．若PD=3，则点P到OB的距离为3．

练习2　如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：

EB=FC．

四、小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？

（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？

在应用这一性质时要注意哪些问题？

角的平分线的性质

（2）

教学目标：

知识与技能：

1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理.　2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．

过程与方法：

通过经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，提高学生用数学知识解决问题的能力。

情感态度与价值观：

提高探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。

教学过程：

一、问题引入：

问题1　如图，要在S区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20000）？

二、探究新知

我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？

利用三角形全等，可以得到

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

按照上述证明命题的步骤，自己证明一下这个结论。

根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何处了。

追问　这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？

这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．

三、巩固提升

练习

四、小结