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一、填空题

1.平面与直线平行的直线方程是___________

2.过点且与向量平行的直线方程是________________

3.设，且，则__________

4.设，则____________

5.设平面通过原点，且与平面平行，则

6.设直线与平面垂直，则

7.直线，绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________

8.过点且平行于向量及的平面方程是__________

9.曲面与平面的交线在面上的投影方程为__________

10.幂级数的收敛半径是____________

11.过直线且平行于直线的平面方程是_________________

12.设则

13.设则

14.设则____________________

15.设则_____________

16.设则______________

17.曲线，在对应的处的切线与平面平行，则__________

18.曲面在点处的法线与平面垂直，则______________

19.设，，则=________，=____________

20.求通过点和轴的平面方程为________________

21.求过点且垂直于平面的直线方程为_______________

22.向量垂直于向量和，且与的数量积为，则向量=___________________

23.向量分别与垂直于向量与，则向量与的夹角为_______________

24.球面与平面的交线在面上投影的方程为______________

25.点到直线：

的距离是_________________

26.一直线过点且平行于平面：

，又与直线：

相交，则直线的方程是__________________

27.设

28.设知量满足，则

29.已知两直线方程，，则过且平行的平面方程是__________________

30.若，，则，____________

31.______________.=_________________

32.设

33.设则

34.由方程确定在点全微分______

35.，其中可微，则

36.曲线在平面上的投影曲线方程为_________________

37.过原点且垂直于平面的直线为__________________

38.过点和且平行于轴的平面方程为_________________

39.与平面垂直的单位向量为______________

40.,可微，则

41.已知，则在点处的全微分

42.曲面在点处的切平面方程为

43.设由方程，求=________________

44.设，其中二阶可导，具有二阶连续偏导数有=___________________

45.已知方程定义了，求=_____________

46.设，，，其中，都具有一阶连续偏导数，且，求=______________________

47.交换积分次序_______________________________

48.交换积分次序=___________________

49.其中

50.，其中D是由两坐标轴及直线所围

51.，其中D是由所确定的圆域

52.，其中D：

53.，其中D是由所围成的区域

54.＝

55.

56.设L为，则按L的逆时针方向运动一周所作的功为

57.曲线点处切线方程为______________________

58.曲面在（2，1，3）处的法线方程为_____________________

59.，当p满足条件时收敛

60.级数的敛散性是__________

61.在x=-3时收敛，则在时

62.若收敛，则的取值范围是_________

63.级数的和为

64.求出级数的和=___________

65.级数的和为_____

66.已知级数的前项和，则该级数为____________

67.幂级数的收敛区间为

68.的收敛区间为，和函数为

69.幂级数的收敛区间为

70.级数当a满足条件时收敛

71.级数的收敛域为______

72.设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为_____

73.展开成x+4的幂级数为，收敛域为

74.设函数关于的幂级数展开式为__________，该幂级数的收敛区间为________

75.已知，则______

76.设y,那么_____________，_____________

77.设是由及所围成的闭区域，则_______________

78.设是由及所围成的闭区域，则_______________

79.________________,其中为圆周

80.________________,其中是抛物线上从点到点的一段弧。

二、选择题

1.已知与都是非零向量，且满足，则必有（）

（A）；（B）；（C）（D）

2.当与满足（）时，有；

；（为常数）；∥；．

3.下列平面方程中，方程（）过轴；

（A）；（B）；（C）；（D）．

4.在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是（）；

（A）椭球面；（B）椭圆抛物面；（C）椭圆柱面；（D）单叶双曲面

5.直线与平面的位置关系是（）．

（A）垂直；（B）平行；（C）夹角为；（D）夹角为．

6.若直线（2+5）+（-2）+4=0与直线（2-）+（+3）-1=0互相垂直，则（）：

（A）.=2（B）.=-2（C）.=2或=-2（D）.=±2或=0

7.空间曲线在面上的投影方程为（）

（A）；（B）；（C）；（D）

8.设，则关于在0点的6阶导数是（）

（A）．不存在（B）．（C）．（D）．

9.设由方程所确定，其中可微，为常数，则必有（）

（A）（B）

（C）（D）

10.设函数，则函在处（）（A）．不连续（B）．连续但不可微（C）．可微（D）．偏导数不存在

11.设函数在点处偏导数存在，则在点处（）

（A）.有极限（B）.连续（C）.可微（D）.以上都不成立

12.设，则（）

（A）.-x4y2（B）.-x4y22xy（C）.-x4y2（-2t）（D）.-x4y2（-2x2y）

13.已知在处偏导数存在，则

（A）.0（B）.（C）.（D）.

14.设，则在点关于叙述正确的是（）

（A）连续但偏导也存在（B）不连续但偏导存在

（C）连续但偏导不存在（D）不连续偏导也不存在

15.函数极限（）

（A）.0（B）.不存在（C）.无法确定（D）.以上都不成立

16.设，则

（A）（B）

（C）（D）

17.关于的方程有两个相异实根的充要条件是（）

（A）.-（B）.-≤k≤

（C）.1≤（D）.1≤

18.函数，则函在处（）

（A）.不连续（B）．连续但不可微（C）.可微（D）.偏导数不存在

19.设=，则

=（）

（A）.+（B）．

（C）.（D）.

20.函数在点处（）

（A）.不连续（B）．连续且偏导数存在（C）.取极小值（D）.无极值

21.设,则=（）

（A）.0（B）．1（C）.（D）.

22.设则

+

=（）

（A）.（B）．（C）.（D）.

23.若函数在点处取极大值，则（）

（A）.,

（B）．若是内唯一极值点，则必为最大值点

（C）.

D、以上结论都不正确

24.判断极限

（A）.0（B）．1（C）.不存在（D）.无法确定

25.判断极限

（A）.0（B）．1（C）.不存在（D）.无法确定

26.设可微，，则

（A）.1（B）．-1（C）.2（D）.-2

27.设，其中是由方程确定的隐函数，则

（A）.0（B）．-1（C）.1（D）.-2

28.设是次齐次函数，即，其中为某常数，则下列结论正确的是（）

（A）（B）．

（C）.（D）.

29.已知，其中是正方形域：

，则（）

（A）.B．（C）.（D）.

30.设，其中是由以及围成在，则

（A）.（B）．（C）.（D）.

31.设，，则下列命题不对的是：

（）

（A）.（B）．

（C）.（D）.

32.设是连续函数，当时，，则

（A）.2（B）．1（C）.0（D）.

33.累次积分可写成（）

（A）.（B）．

（C）.（D）.

34.函数的极值为（）

（A）.极大值为8（B）．极小值为0（C）.极小值为8（D）.极大值为0

35.函数在附加条件下的极大值为（）

（A）.（B）．（C）.D．1

36.，其中由所确定的闭区域。

（A）.（B）．（C）.（D）.0

37.，其中的大小关系为:

（）。

（A）.（B）.（C）.（D）.无法判断

38.设连续,且,其中D由所围成,则

（A）.（B）.（C）.（D）.

39.的值是（）

（A）（B）（C）（D）

40.设是所围成区域,是由直线和轴,轴所围成的区域，则

（A）（B）0（C）（D）2

41.半径为均匀球壳对于球心的转动惯量为（）

（A）0（B）（C）（D）

42.设椭圆：

的周长为，则（）

（A）（B）（C）（D）

43.下列级数中收敛的是（）

（A）（B）（C）（D）

44.下列级数中不收敛的是（）

（A）（B）（C）（D）

45.下列级数中收敛的是（）

（A）（B）（C）（D）

46.为正项级数，下列命题中错误的是（）

（A）如果，则收敛。

（B），则发散

（C）如果，则收敛。

（D）如果，则发散

47.下列级数中条件收敛的是（）

（A）（B）（C）（D）

48.下列级数中绝对收敛的是（）

（A）（B）（C）（D）

49.当收敛时，与（）

（A）必同时收敛（B）必同时发散（C）可能不同时收敛（D）不可能同时收敛

50.级数收敛是级数收敛的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

51.为任意项级数，若且，则该级数（）

（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定

52.下列结论中，正确的为（）

（A）若发散，则发散；（B）若收敛，则发散

（C）若收敛，则收敛；

（D）若与发散，则发散

53.函数的麦克劳林展开式前三项的和为（）

（A）；（B）；（C）；（D）

54.设，，则下列命题正确的是（）．

（A）若条件收敛，则与都收敛；

（B）若绝对收敛，则与都收敛；

（C）若条件收敛，则与的敛散性都不定；

（D）若绝对收敛，则与的敛散性都不定.

55.设,则（）

（A）与都收敛.     （B）与都发散.

（C）收敛,而发散.  （D）发散,收敛

56.75、若在处收敛,则此级数在处（）

（A）条件收敛,   （B）绝对收敛,   （C）发散,  （D）收敛性不确定

57.设幂级数的收敛半径为3,则幂级数的必定收敛的区间为（）

（A）（－2,4）     （B）[－2,4]    （C）（－3,3）    （D）（－4,2）

58.若幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛开区间为（）（A）（B）（C）（D）

59.级数的收敛区间（）

（A）（4，6）（B）（C）（D）[4，6]

60.若级数的收敛域为，则常数=（）

（A）3（B）4（C）5（D）以上都不对

61.若幂级数在处收敛，则该级数在处（）

（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定

62.函数展开成的幂级数为（）

（A）（B）（C）（D）

63.函数展开成的幂级数是（）

（A）（B）（C）（D）

64．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（）

（A），，（B），，

（C），，（D），，

65．向量与轴垂直，则（）

（A）（B）（C）（D）

66．设，则有（）

（A）（B）（C）（D）

67．直线与直线关系是（）．

（A）垂直；（B）平行；（C）重合；（D）既不平行也不垂直．

68．柱面的母线平行于（）

（A）轴（B）轴（C）轴（D）面

69．设均为非零向量，则（）

（A）（B）（C）（D）

70．函数的定义域为（）

（A）（B）

（C）（D）或

71．，则

（A）（B）（C）（D）

72．下列各点中，是二元函数的极值点的是（）

（A）（B）（C）．（D）

73．（）

（A）（B）（C）（D）

74．设是由，所围成的闭区域，则（）

（A）（B）（C）（D）0

75．设是由所确定的闭区域，则（）

（A）2（B）（C）（D）0

三、计算题

1、下列函数的偏导数

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

（9）；（10）；

（11）；（12）（13）；（14）；

（15）（为常数）；（16）且为常数。

（17）；求

2．设，求及。

3．设，验证。

4．求下列函数在指定点的全微分：

（1），在点；

（2），在点；

（3），在点和。

5．求下列函数的全微分：

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）。

6．验证函数在原点连续且可偏导，但它在该点不可微。

7．验证函数的偏导函数在原点（0，0）不连续，但它在该点可微。

8．计算下列函数的高阶导数：

（1），求；

（2），求；

（3），求；

（4），求；

（5），求；

（6），求。

（7），求；

9.计算下列重积分:

（1）,其中是矩形闭区域:

（2）,其中是矩形闭区域:

 ,

（3）,其中是顶点分别为 （0,0）,和的三角形闭区域.

（4）,其中是由两条抛物线,所围成的闭区域.

（5）,其中是由所确定的闭区域.

（6）改换下列二次积分的积分次序

①

②

③

（7） 

（8）

（9）,其中是由圆周所围成的区域.

（10）,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.

（11）,其中是由直线,及曲线所围成的闭区域

（12） ,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.

（13） ,其中是由直线,,,所围成的闭区域.

（14）,其中是圆环形闭区域:

（15） ,其中是平行四边形闭区域,它的四个顶点是,,和.

（16） ,其中是由两条双曲线和,直线和所围成的在第一象限内的闭区域.

（17） ,其中是由轴,轴和直线所围成的闭区域

（18） ,其中为椭圆形闭区域

（19） 化三重积分为三次积分,其中积分区域分别是

（1） 由曲面及平面所围成的闭区域在一卦限内的闭区域。

（2） 由曲面（c>0）,,所围成的在第一卦限内的闭区域.

（20）计算,其中为平面,,,所围成的四面体.

（21）计算,其中是由平面,,,以及抛物柱面所围成的闭区域.

（22）计算,其中是由锥面与平面所围成的闭区域.

（23）利用柱面坐标计算下列三重积分

（1）,其中是由曲面及

    所围成的闭区域

（2）,其中是由曲面

   及平面所围成的闭区域

（24）利用球面坐标计算下列三重积分

（1）,其中是由球面所围成的闭区域.

（2）,其中闭区域由不等式, 所确定.

25.选用适当的坐标计算下列三重积分

（1）,其中为柱面及平面

,所围成的在第一卦限内的闭区域

（2）,其中是由球面

    所围成的闭区域

 （3）,其中是由曲面

    及平面所围成的闭区域.

 （4）,其中闭区域由不等式

    ,所确定.

26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积

（1）及

     （含有轴的部分）.

（2）及

二.曲线积分

1．计算下列对弧长的曲线积分

（1）,其中为圆周,

（2）,其中为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段

（3）,其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界.

（4）,其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

（5）,其中为曲线,,上相应于从0变到2的这段弧.

（6）,其中为折线,这里,,,依次为点（0,0,0）,（0,0,2）,

（1,0,2）,（1,3,2）.

（7）,其中为摆线的一拱,

（8）,其中为曲线,

2．计算下列对坐标的曲线积分

（1）,其中是抛物线上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧

（2）,其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）.

（3）,其中为圆周（按逆时针方向绕行）.

（4）,其中为曲线,,上对应从0到的一段弧.

（5）,其中是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线

（6）,其中是抛物线上从点到点（1,1）的一段弧.

3.计算,其中是

（1） 抛物线上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧.

（2） 从点（1,1）到点（4,2）的直线段

（3） 先沿直线从点（1,1）到点（1,2）,然后再沿直线到点（4,2）的折线.

（4） 曲线,上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧.

4.把对坐标的曲线积分划成对弧长的曲线积分,其中为

（1） 在面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）

（2） 沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）

（3） 沿上半圆周从点（0,0）到点（1,1）

5.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性.

（1）,其中是由抛物面和所围成的区域的正向边界曲线.

（2）,其中是四 

  个顶点分别为（0,0）,（2,0）,（0,2）和（2,2）的正方形区域的正向

  边界.

6.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积

（1） 星形线,

（2） 椭圆

7.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关,并计算积分值

（1）

（2）

8.利用格林公式,计算下列曲线积分

（1）,其中为三顶点分别为（0,0）,（3,0）,（3,2）的三角形正向边界

（2）,其中为正向星形线

 （3）,其中为在抛物面上由点（0,0）到的一段弧

 （4）,其中是在圆周上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧

9.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求这样的一个

（1）

（2）

 （3）

第三部分级数

1.判别下列级数的收敛性

（1）

（2）

（3）

（4）

2.用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性

（1）

（2）

（3）

（4） 

3.用比值审敛法判别下列级数的收敛性

（1）

（2）

（3）

4．用根值审敛法判别下列级数的收敛性

（1）

（2）

 （3）,其中,,,均为

   正数.

5.判别下列级数的收敛性

（1）

（2）

 （3）

 （4） 

6.判别下列级数是否收敛?

如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?

（1）

（2）

 （3）

 （4）

7.求下列幂级数的收敛区间

（1）

（2）

 （3）

 （4）

 （5）

  （6）

8.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数.

（1）

（2）

  （3）

9.将下列函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.

（1）

（2）

 （3）

 （4）

10.将展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.

11.将函数展开成的幂级数.

12.将函数展开成的幂级数.

13.将函数展开成的幂级数.

14.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值.

（1）（误差不超过0.0001）;

（2）（误差不超过0.00001）

 （3）（误差不超过0.0001）

15.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值.

（1）（误差不超过0.0001）

16.将函数展开成的幂级数

17.下列周期函数的周期为,试将展开成傅里叶级数,

如果在上的表达式为

（1）   

（2） 

 （3） （为常数,且

     ）

18.将下列函数展开成傅里叶级数

（1）   

（2）

19.将函数展开成傅里叶级数.

20.设是周期为的周期函数,它在上的表达式为

 将展开成傅里叶级数.

21.将函数展开成正弦函数

22.将函数 分别展开成正弦技术和余弦级数

23.将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）

（1） 

（2）

 （3）

24.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数

（1）

（2）  

25.设是周期为2的周期函数,它在上的表达式为,

试将展开成复数形式的傅里叶级数.

26．设是周期为的周期函数,已知它的傅里叶级数的复数形式为

试写出的傅里叶级数的实数形式（即三角形式）

四、证明题

1．三角形的三条垂线交于一点。

（提示：

用向量方法）

2．设其中是导数存在的一元函数，证明函数满足方程

。

3．证明不存在。

4．设证明

5．证明：

曲面的任一切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。

6．设，

证明：

但不连续。

7．证明不等式

。

8．证明曲线积分与路径无关，其中是由点

（1，0）到（1，1）的曲线，并计算的值。

9．若级数收敛，证明收敛。

10.已知级数和都收敛，证明级数绝对收敛。

五、应用题

1．求曲线与平面平行的切线。

2．用对称式方程及参数方程表示直线

3．曲面在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。

4．求曲面及所围成的立体的体积。

5．求由曲面及所围成图形的体积。

6．求位于两圆和之间的均匀薄片的重心位置。

7．试分解已知正数为三个正数之和，而使它们的倒数之积最小。

8．在第一卦限内作椭球的切平面，使得切平面与三坐标面围成的体积最小，求切点的坐标。

9．设生产某种产品必须投放入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q为产出量，若生产函数，其中为正常数，且假设两种要素的价格分别为试问，当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。

10．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为，销售量分别为需求函数及总成本函数分别为，试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？

最大总利润为多少？

11．求级数的和。

12．计算积分的近似值。

13．将函数展开的幂级数。

14．设有一个无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm,内高为20cm，内半径为4cm,

求容器外壳体积的近似值。

15．设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算。

十你若真见过那些强者打拼的样子，就一定会明白，那些人之所以能达到别人到不了的高度，全是因为他们吃过许多别人吃不了的苦。

这世上从来就没有横空出世的运气，只有不为人知的努力。