例6如图,点P是△ABC内的任意一点,证明AB+AC>PB+PC.
【分析】此题是证明线段不等的问题,证明时需要利用三角形的三边关系,把AB,AC放在公式大量一边,把PB,PC放在公式小量一边;直观上我们会发现AB+AC>BC,PB+PC>BC,但通过这两个式子不能说明AB+AC与PB+PC的大小;这里的四条线段不在同一三角形中,因此,我们要设法制造新的三角形,将其转化到同一三角形中,或将其部分和转化到同一三角形中;考虑到延长BP,可将部分和进行转化,再利用不等式的性质即可得证.
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思考:
还有没有其他的作辅助线的方式,进行转化.
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活动四练习巩固(检测目标1、2、3、4)
1.(目标1,2)三角形的三边分别为4,6,a.
(1)第三边a的取值范围为_______;
(2)a为偶数时,则a的取值为______;
(3)若三角形的周长为奇数,则满足条件的三角形共有______个.
2.(目标1)
(1)已知等腰三角形的两边长分别是9cm和5cm,求此三角形的周长;
(2)已知等腰三角形的两边长分别是9cm和2cm,求此三角形的周长.
3.(目标1,4)已知a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,a为方程|a-4|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
4.(目标3)已知如图,P为△ABC中的任意一点,求证:
(1)PA+PB+PC>
(AB+BC+AC);
(2)AB+AC+BC>PA+PB+PC.
活动五归纳总结,方法提升
(一)归纳总结
1.三角形的三边关系的内容及理论依据.
2.三角形按边如何分类?
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(二)方法提升
1.研究三角形的三边关系,我们用到了什么思想方法?
这种数学方法在解决问题时有什么优势?
2.研究三角形的分类,我们又用到了什么思想方法?
应注意什么?
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【达标检测】
1.(目标1)以下列长度的三条线段为边,能组成三角形吗?
(1)6,8,10;
(2)三条线段之比为4:
5:
6;
(3)a+1,a+2,a+3,(a>0);
(4)a+1,a+6,5.
2.(目标1)有长度为5,7,9,13的四条线段,从中任意取出三条线段,能构成多少个三角形?
3.(目标2)
(1)在△ABC中,已知AB=3,BC=7.求AC的取值范围;
(2)已知三角形的三边长分别为2,a-1,4,求a的取值范围;
(3)若三角形的三边长分别是a,a-1,a+1,求a的取值范围.
4.(目标3)已知a,b,c为△ABC的三边,化简:
|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a+b|.
5.(目标2)已知△ABC是等腰三角形.
(1)如果它的两边长分别为8和3,求周长;
(2)如果它的周长为18,一条边的长为4,求腰长;
(3)周长是24,腰长是底边长的2倍,求腰长;
(4)周长是24,底边长为x,求x的取值范围.
【能力提升】
1.(目标2)如果等腰三角形的周长为C,那么腰长x的取值范围是________.
2.(目标2)已知a,b,c分别为△ABC的三边长,且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6.
(1)求c的取值范围;
(2)若△ABC的周长为18,求c的值.
3.(目标2)已知△ABC的三边长均为整数,△ABC的周长为奇数.
(1)若AC=8,BC=2,求AB的长;
(2)若AC-BC=5,求AB的最小值.
4.(目标1)已知三角形的周长是36cm,其中三边长的比值是3:
4:
5,求三角形的三边长.若三角形的面积是54
,则三角形的三条高线长能否构成一个三角形?
说明原因.
5.(目标3)如图,线段AB,CD相交于点O,判断AB+CD与AD+BC的大小关系,并加以证明.
【拓展延伸】
1.(目标3)草原上的四口油井,位于如图所示的A,B,C,D四个位置,现在要建立个维修站H.H建在何处,才能使它到四个油井的距离之和HA+HB+BC+HD最小?
说明理由.
2.(目标1)在同一平面内,用3根和5根火柴棒在不折断的情况下首尾顺次相接,分别摆成三角形,现把这两个三角形根据三边火柴的根数分别记为(1,1,1)和(2,2,1).
(1)现有12根火柴,请你摆一摆,分别画出符合条件的所有三角形,并标出各边三角形的火柴根数.
(2)如果有18根火柴,你能摆成几种三角形?
请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形.(不要求画图)
3.(目标3)观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论.
(1)如图1,在△ABC中,P为