6 逻辑代数上命题演算 习题答案.docx

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6逻辑代数上命题演算习题答案

6逻辑代数（上）：

命题演算习题答案

练习6.11.判断下列语句哪些是命题，若是命题其真值是什么？

（1）a+b+c。

（2）x0。

（3）请进！

（4）离散数学是计算机科学与技术专业的基础课程。

（5）2009年7月我们去意大利的米兰旅游。

（6）啊！

这里真漂亮。

（7）今天是星期四吗？

（8）我明天或者后天去天津。

（9）如果买不到飞机票，我就去不了海南。

（10）除非你陪我，否则我不去。

（11）本命题是假的。

（12）如果雪是黑的，太阳从北边升起。

解：

（1）不是命题。

（2）不是命题。

（3）不是命题。

（4）是命题。

真值是1。

（5）是命题。

真值是0。

（6）不是命题。

（7）不是命题。

（8）是命题。

真值是0。

（9）是命题。

真值是1。

（10）是命题。

真值是1。

（11）不是命题，是悖论。

（12）是命题。

真值是1。

2.指出下列语句哪些是原子命题，哪些是复合命题？

并将复合命题形式化。

（1）他去了教室，也去了机房。

（2）今晚我去书店或者去图书馆。

（3）我昨天没有去超市。

（4）我们不能既看电视又看电影。

（5）如果买不到飞机票，我就去不了海南。

（6）小王不是坐飞机去上海，就是坐高铁去上海。

（7）喜羊羊和懒羊羊是好朋友。

（8）除非小李生病，否则他每天都会练习书法。

（9）侈而惰者贫，而力而俭者富。

（韩非：

《韩非子显学》）解：

（1）P：

他去了教室。

Q：

他去了机房。

PQ

（2）P：

今晚我去书店。

Q：

今晚我去图书馆。

PQ（3）P：

我昨天去超市。

P（4）P：

我们看电视。

Q：

我们看电影。

（PQ）（5）P：

我买到飞机票。

Q：

我去海南。

PQ（6）P：

小王坐飞机去上海。

Q：

小王坐高铁去上海。

（PQ）（PQ）或者（PQ）（7）原子命题（8）P：

小李生病。

Q：

小李每天都会练习书法。

PQ（9）P：

侈。

Q：

惰。

R：

贫。

（（PQ）R）（（PQ）R）3.判定下列符号串是否为命题公式。

（1）PQ

（2）（PQR）S（3）（PQ）P（4）P（PQ（5）P（PQ）（PQ）（6）（PQ）（QP）（7）（PR）（PQ）解：

（1）不是

（2）不是（3）是（4）不是（5）是（6）是（7）是4.请给出下列命题公式的真值表。

（1）PQPQ00011011

（2）（PQ）（PQ）PPQ11011100PQPQPQPQ（PQ）（PQ）0011010111001010010000100110（3）（PQ）RP00Q00RPQ（PQ）（PQ）R00110101001111110011010101111111000000111111（4）（PQ）（PQ）PQPQPQ（PQ）（PQ）00110101110100100000（5）（PQ）PP0011Q0101PQ（PQ）P11011111练习6.21.试判定下列各式是重言式、可满足式还是矛盾式。

（1）（PQ）（QP）PQPQQP（PQ）（QP）001011100111由表中最后一列可以看出，原式为可满足式。

10111011

（2）┐P（PQ）P0011由表中最后一列可以看出，原式为重言式。

Q0101┐PPQ┐P（PQ）111100011111（3）Q┐（PQ）PQPQ┐（PQ）Q┐（PQ）00100011101101010000由表中最后一列可以看出，原式为矛盾式。

（4）PQ（PQ）P0011Q0101PQPQ0001PQ（PQ）11111001由表中最后一列可以看出，原式为重言式。

（5）（PQ）（RQ）（（PR）Q）PQRPQRQ（PQ）（RQ）PR（PR）Q（PQ）（RQ）（（PR）Q）000001010011100101110111由表中最后一列可以看出，原式为可满足式。

1111001110111011111110110101111110110011101101112.证明下列逻辑等价式：

（1）AB（AB）（┐A┐B）证明：

方法一（AB）（┐A┐B）（A┐A）（A┐B）（B┐A）（B┐B）T（A┐B）（B┐A）T（┐BA）（┐AB）（BA）（AB）AB方法二：

ABABAB┐A┐B┐A┐B1（（AB）（┐A┐B））1（AB）（（AB）（┐A┐B））1001011010010001100001001111100011由此真值表可见（AB）（（AB）（┐A┐B））是永真式，所以AB（AB）（┐A┐B）成立。

方法三假设为一指派。

若（AB）=1，则（A）=（B）。

（i）若（A）=（B）=0。

则（┐A）=（┐B）=1,从而（┐A┐B）=1，进而（AB）（┐A┐B）=1.（ii）若（A）=（B）=1。

则（AB）=1，进而（（AB）（┐A┐B））=1。

若（AB）=0，则（A）和（B）不相等。

从而（┐A）和（┐B）也不相等。

则（AB）=0且（┐A┐B）=0，从而（（AB）（┐A┐B））=0。

所以（AB）（AB）（┐A┐B）

（2）A（BC）B（AC）证明：

方法一A（BC）┐A（BC）┐A（┐BC）┐B（┐AC）┐B（AC）B（AC）方法二：

ABCBCA（BC）AC0001B（AC）1A（BC）B（AC）11100111111010011110111111110011011101111111100000111111111由此真值表可见A（BC）B（AC）是永真式，所以A（BC）B（AC）成立。

方法三:

假设为一指派。

若（A（BC））=1,分以下二种情况：

（i）（A）=1，则（BC）=1.若（B）=0，则（B（AC））=1.若（B）=1，则（C）=1,从而（B（AC））=1.（ii）（A）=0,则（AC）=1。

从而（B（AC））=1。

若（A（BC））=0,则（A）=1,（B）=1,（C）=0,从而（B（AC））=0。

所以：

A（BC）B（AC）（3）A（BC）（AB）（AC）证明：

（AB）（AC）（┐AB）（┐AC）┐（┐AB）（┐AC）（A┐B）（┐AC）（A┐AC））（┐B┐AC）┐B┐AC┐B（AC）B（AC）（4）┐（┐A┐B）┐（┐AB）A证明：

┐（┐A┐B）┐（┐AB）（AB）（A┐B）A（B┐B）ATA3.证明下列逻辑蕴涵式：

（1）ABAB证明：

（方法一）假设任一指派，使得（AB）=1，要证（AB）=1。

由于（AB）=1，于是（A）=（B）=1从而得到（AB）=1。

故ABAB得证。

（方法二）AB（AB）（┐A┐B）AB（方法三）由于A0011所以AB（AB）是永真式，所以ABAB。

（2）（AB）AA证明：

假设任一指派，使得（A）=0，要证（（AB）A）=0。

由于（A）=0，于是无论B为真还是为假，都有（AB）=1。

从而（（AB）A）=0。

故（AB）AA得证。

B0101ABAB0001AB（AB）11111001（3）（AB）（AC）（BC）C证明：

（方法一）假设任一指派，使得（C）=0要证（（AB）（AC）（BC））=0

（1）若（A）=（B）=0于是（AB）=0，此时（（AB）（AC）（BC））=0

（2）若（A）=1且（B）=0于是（AC）=0，此时（（AB）（AC）（BC））=0（3）若（A）=0且（B）=1于是（BC）=0，此时（（AB）（AC）（BC））=0（4）若（A）=1且（B）=1于是（BC）=（AC）=0，此时（（AB）（AC）（BC））=0故（AB）（AC）（BC）C得证。

（方法二）假设任一指派，使得（（AB）（AC）（BC））=1要证（C）=1。

由于（（AB）（AC）（BC））=1,所以（AB）=1,且（AC）=1且（BC）=1。

由（AB）=1,得到（A）=1或者（B）=1。

（1）若（A）=1，则由（AC）=1得到（C）=1。

（2）若（B）=1，则由（BC）=1得到（C）=1.故（AB）（AC）（BC）C得证。

（方法三）（AB）（AC）（BC）（AB）（┐AC）（┐BC）（AB）（（┐AC）（┐BC））（AB）（（┐A┐B）C）（AB）（┐（AB）C）（（AB）┐（AB））（（AB）C）F（（AB）C）（（AB）C）C4.化简下列各式：

（1）（A┐B）（AB）（┐A┐B）解：

（A┐B）（AB）（┐A┐B）（A（┐BB））（┐A┐B）（AF）（┐A┐B）A（┐A┐B）（A┐A）（A┐B）F（A┐B）A┐B

（2）（┐QP）（PQ）解：

（┐QP）（PQ）（QP）（┐PQ）┐（QP）（┐PQ）（┐Q┐P）（┐PQ）（┐Q┐PQ）（┐P┐PQ）T（┐PQ）（┐PQ）（PQ）（3）（PQ）（┐Q┐P）解：

（PQ）（┐Q┐P）（┐PQ）（Q┐P）（┐PQ）（┐PQ）T（4）B┐（（┐AB）A）解：

B┐（（┐AB）A）B（┐（┐AB）┐A）B（（A┐B）┐A）B（（A┐A）（┐A┐B））B（T（┐A┐B））B（┐A┐B）T（5）（Q（P┐Q）P）┐（QP）解：

（Q（P┐Q）P）┐（QP）（Q（┐P┐Q）P）┐（┐QP）（Q（┐P┐Q）P）（Q┐P）（（Q┐P）（Q┐Q）P）（Q┐P）（（Q┐P）FP）（Q┐P）（（Q┐P）P）（Q┐P）（┐（Q┐P）P）（Q┐P）（┐QPP）（Q┐P）（┐QP）（Q┐P）（┐QQ┐P）（P）Q┐P）FFF练习6.31.把下列各式化为析取范式：

（1）（PQ）R解：

（PQ）R┐（┐PQ）R（P┐Q）R

（2）（┐PQ）R解：

（┐PQ）R┐（┐PQ）R（P┐Q）RP┐QR（3）┐（PQ）（PQ）解：

┐（PQ）（PQ）┐（PQ）（PQ）（┐P┐Q）（PQ）（┐PP）（┐PQ）（┐QP）（┐QQ）F（┐PQ）（┐QP）F（┐PQ）（P┐Q）（4）（┐QP）（P┐Q）解：

（┐QP）（P┐Q）（QP）（┐P┐Q）┐（QP）（┐P┐Q）（┐Q┐P）┐P┐Q2.把下列各式化为合取范式：

（1）（PQ）R解：

（PQ）R┐（┐PQ）R（P┐Q）R（PR）（┐QR）

（2）┐B┐（（┐AB）A）解：

┐B┐（（┐AB）A）┐B（┐（┐AB）┐A）┐B（（A┐B）┐A）（┐B┐A）（A┐B）（┐B┐AA）（┐B┐A┐B）（┐BT）（┐B┐A┐B）T（┐A┐B）（┐A┐B）（3）P（P（PQ））解：

P（P（PQ））┐P（P（PQ）（QP））┐P（P（┐PQ）（QP））（┐PP）（┐P┐PQ）（┐PQP）（4）（P（QR））S解：

（P（QR））S（P（QR）（┐Q┐R））S（PQ┐Q）（PQ┐R）（PR┐Q）（PR┐R）S3.求下列公式的主析取范式、主合取范式，并据主析取范式直接确定使该公式为真指派，据主合取范式直接确定使该公式为假指派。

（1）（PQ）（┐PQR）解：

求主析取范式（PQ）（┐PQR）（PQ（R┐R））（┐PQR）（PQR）（PQ┐R）（┐PQR）使公式为真的指派有：

（1,1,1）、（1,1,0）、（0,1,1）求主合取范式（PQ）（┐PQR）（P┐P）（PQ）（PR）（Q┐P）（QQ）（QR）（PQ）（PR）（┐PQ）Q（QR）（PQ（R┐R））（P（Q┐Q）R）（┐PQ（R┐R））（（P┐P）Q（R┐R））（（P┐P）QR）（PQR）（PQ┐R）（PQR）（P┐QR）（┐PQR）（┐PQ┐R）（PQR）（┐PQR）（PQ┐R））（┐PQ┐R）（PQR）（┐PQR）（PQR）（PQ┐R）（P┐QR）（┐PQR）（┐PQ┐R）使公式为假的指派有：

（0,0,0）、（0,0,1）、（0,1,0）、（1,0,0）、（1,0,1）

（2）┐（PQ）（PQ）解：

求主析取范式┐（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PQP）（PQQ）PQ（P（Q┐Q））（（P┐P）Q）（PQ）（P┐Q）（PQ）（┐PQ）（PQ）（P┐Q）（┐PQ）使公式为真的指派有：

（1,1）、（1,0）、（0,1）求主合取范式┐（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PQP）（PQQ）PQ使公式为假的指派有：

（0,0）（3）P（┐P（Q（┐QR）））解：

求主析取范式P（┐P（Q（┐QR）））P（P（Q（QR）））P（P（（QR））P（PQR）PQR（P（Q┐Q）（R┐R））（（P┐P）Q（R┐R））（（P┐P）（Q┐Q）R）（PQR）（P┐QR）（PQ┐R）（P┐Q┐R）（PQR）（┐PQR）（PQ┐R）（┐PQ┐R）（PQR）（┐PQR）（P┐QR）（┐P┐QR）（PQR）（P┐QR）（PQ┐R）（P┐Q┐R）（┐PQR）（┐PQ┐R）（┐P┐QR）使公式为真的指派有：

（1,1,1）、（1,0,1）、（1,1,0）、（1,0,0）、（0,1,1）、（0,1,0）、（0,0,1）求主合取范式P（┐P（Q（┐QR）））P（P（Q（QR）））P（P（（QR））P（PQR）PQR使公式为假的指派有：

（0,0,0）（4）（P（QR））S解：

求主合取范式（P（QR））S（P（QR）（┐Q┐R））S（PQ┐Q）（PQ┐R）（PR┐Q）（PR┐R）S（PQ┐R）（PR┐Q）S（PQ┐R（S┐S））（P┐QR（S┐S））（（P┐P）（Q┐Q）（R┐R）S）（PQ┐RS）（PQ┐R┐S）（P┐QRS）（P┐QR┐S）（PQRS）（PQ┐RS）（P┐QRS）（P┐Q┐RS）（┐P┐Q┐RS）（┐P┐QRS）（┐PQ┐RS）（┐PQRS）（PQ┐RS）（PQ┐R┐S）（P┐QRS）（P┐QR┐S）（PQRS）（P┐Q┐RS）（┐P┐Q┐RS）（┐P┐QRS）（┐PQ┐RS）（┐PQRS）使公式为假的指派有：

（0,0,0,0）、（0,0,1,0）、（0,0,1,1）、（0,1,0,0）、（0,1,0,1）、（0,1,1,0）、（1,0,0,0）、（1,0,1,0）、（1,1,0,0）、（1,1,1,0）使公式为真的指派有：

（0,0,0,1）、（0,1,1,1）、（1,0,0,1）、（1,0,1,1）、（1,1,0,1）、（1,1,1,1）主析取范式为（┐P┐Q┐RS）（┐PQRS）（P┐Q┐RS）（P┐QRS）（PQ┐RS）（PQRS）4.A、B、C、D四个人中要派两个人出差，按下述三个条件有几种派法？

如何派？

（1）若去则C和D中要去一个人；

（2）B和C不能都去；（3）C去则D要留下。

解：

设A:

A去出差。

B:

B去出差。

C:

C去出差。

D:

D去出差。

将题目中的三个条件进行形式化：

A┐（CD）┐（BC）C┐D于是将下面的命题公式转化为析取范式：

（A┐（CD））┐（BC）（C┐D）（┐A（┐CD）（C┐D））（┐B┐C）（┐C┐D）（┐A（┐CD）（C┐D））（（┐B┐C）（┐B┐D）（┐C┐C）（┐C┐D））（┐A┐B┐C）（┐A┐B┐D）（┐A┐C）（┐A┐C┐D）（┐CD┐B┐C）（┐CD┐B┐D）（┐CD┐C）（┐CD┐C┐D）（C┐D┐B┐C）（C┐D┐B┐D）（C┐D┐C）（C┐D┐C┐D）在析取范式中，有些项不符合题意，已用下划线标出，将这些项从始终删除，得到下式：

（┐A┐C）（┐CD┐B┐C）（┐CD┐C）（┐CD┐B┐C）（┐CD┐C）（C┐D┐B┐D）（┐A┐C）（┐CD┐B）（┐CD）（┐CD┐B）（C┐D┐B）根据此式可以得到以下结论：

可以派B和D，或者A和D，或者A和C。

练习6.41.运用直接证法证明下列各式：

（1）┐（P┐Q）,┐QR,┐R┐P证明：

①┐QR引入前提②┐R引入前提③┐Q由①②析取三段论④┐（P┐Q）引入前提⑤┐PQ由④置换（据┐（AB）┐A┐B）⑥┐P由③⑤析取三段论

（2）J（MN）,（HG）J,HGMN证明：

①J（MN）引入前提②（HG）J引入前提③（HG）（MN）由①②假言三段论④HG引入前提⑤MN由③④假言推理（3）BC,（BC）（HG）HG证明：

①BC引入前提②B由①化简③C由①化简④B┐C由②附加⑤C┐B由③附加⑥CB由④置换⑦BC由⑤置换⑧（CB）（BC）由⑥⑦合取引入⑨BC由⑧置换⑩（BC）（HG）引入前提⑾（HG由⑨⑩假言推理（4）PQ,（┐QR）┐R,┐（┐PS）┐S证明：

①（┐QR）┐R引入前提②┐QR由①化简③QR由②置换④PQ引入前提⑤PR由③④假言三段论⑥┐R由①化简⑦┐P由⑤⑥拒取⑧┐（┐PS）引入前提⑨P┐S由⑧置换⑩┐S由⑦⑨析取三段论2.运用归谬法证明下列各式：

（1）┐（P┐Q）,┐QR,┐R┐P证明：

①P引入结论的否定②┐（P┐Q）引入前提③┐PQ由②置换（据┐（AB）┐A┐B）④Q由①③析取三段论⑤┐QR引入前提⑥┐R引入前提⑦┐Q由⑤⑥析取三段论⑧┐QQ（矛盾）由⑦④合取引入

（2）PQ,（┐QR）┐R,┐（┐PS）┐S证明：

①S引入结论的否定②┐（┐PS）引入前提③P┐S由②置换④P由①③析取三段论⑤（┐QR）┐R引入前提⑥┐QR由⑤化简⑦┐R由⑤化简⑧┐Q由⑥⑦析取三段论⑨PQ引入前提⑩┐P由⑧⑨拒取⑾┐PP（矛盾）由④⑩合取引入3.运用附加前提的方法证明下列各式：

（1）A（BC）,DA,BDC证明：

①D附加前提引入②DA引入前提③A由①②假言推理④A（BC）引入前提⑤BC由③④假言推理⑥B引入前提⑦C由⑤⑥假言推理

（2）A（BC）,（CD）E,┐F（D┐E）A（BF）证明：

①A附加前提引入②A（BC）引入前提③BC由①②假言推理④（CD）E引入前提⑤C（DE）由④置换⑥B（DE）由③⑤假言三段论⑦┐F（D┐E）引入前提⑧┐（D┐E）F由⑦置换⑨（┐DE）F由⑦置换⑩（DE）F由⑦置换⑾BF由⑥⑩假言三段论4.构造下面推理的证明：

只要A曾到过受害者房间并且11点以