最短路径问题.docx
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最短路径问题
第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1三角形的边
学习目标：
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
重点：
利用轴对称解决简单的最短路径问题
难点：
利用轴对称解决简单的最短路径问题
一、知识链接
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？
为什么？
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
（1）三角形的三边关系：
___________________________________；
（2）直角三角形中边的关系：
______________________________.
4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
一、要点探究
实际问题:
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
探究点1：
牧人饮马问题
数学问题:
如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.
想一想：
1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
要点归纳：
（1）作点B关于直线l的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l相交于点C．
则点C即为所求．如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点C使AC+BC最短吗？
证明：
要点归纳:
在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.
典例精析
例1：
如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的
中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5B．5C．4D．不能确定
方法总结：
此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
例2：
如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一
条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3）B．（0，2）
C．（0，1）D．（0，0）
方法总结：
求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
探究点2：
造桥选址问题
实际问题：
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
数学问题：
如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
想一想：
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？
什么图形变换能帮助我们呢？
画一画：
（1）把A平移到岸边.
（2）把B平移到岸边.
（3）把桥平移到和A相连.（4）把桥平移到和B相连.
比一比：
（1）
（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN最短？
要点归纳：
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
证明：
另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
针对训练
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的
是（）
2.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
3.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂（要求：
保留作图痕迹，写出必要的文字说明）?
（2）若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
二、课堂小结
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（ ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点
第1题图第2题图第3题图
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（ ）
A．10B．15C．20D．30
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____米.
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：
DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
拓展提升
6.
（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．
例1、某种出租车的收费标准是：
起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）,超过3km以后,每增加1km,加收2.4元（不足1km按1km计）.某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元,则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是多少千米？
例2、某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。
已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：
甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元。
在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案。
1、一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格为多少元？
2、某城市按以下规定收取每月的煤气费，用气不超过60立方米，按每立方0.8元收；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收，已知小明家某月共缴纳煤气费72元，那么他家这个月共用了多少煤气？
3、中国移动新疆分公司开设适合普通用户的两种通讯业务分别是：
“天山通”用户先缴25元月租，然后每分钟通话费用0.2元；
“神州行”用户不用缴纳月租费，每分钟通话0.4元。
（通话均指拨打本地电话）
（1）设一个月内通话时间约为x分钟，这两种用户每月需缴的费用是多少元？
（用含x的式子表示）
（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯方式费用相同？
（3）若李老师一个月通话约80分钟，请你给他提个建议，应选择哪种移动通讯方式合算一些？
请说明理由
4、中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一，以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二，个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税级数
个人每月应纳税所得额
纳税税率
1
不超过1500元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
3
超过4500元至9000元的部分
20%
4
超过9000元至35000元的部分
25%
5
超过35000元至55000元的部分
30%
6
超过55000元至80000元的部分
35%
7
超过80000元的部分
45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少?
5、为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
档次
每户每月用电数（度）
执行电价（元/度）
第一档
小于等于200
0.55
第二档
大于200小于400
0.6
第三档
大于等于400
0.85
例如：
一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85=357（元）.
某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元。
已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度。
问该户居民五、六月份各用电多少度?
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