二次函数压轴题节选.docx

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二次函数压轴题节选

二次函数各类综合题节选

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于Ａ、B两点（点Ａ在点B的左侧），且ＡB＝4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线ＡP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为ｔ．

（1）求点Ａ的坐标和抛物线的表达式；

（2）当ＡE：

EP＝1：

2时，求点E的坐标；

（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求ｔ的值．

2．抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）经过点Ａ（－1，0），B（

，0），且与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ＡCB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段ＡC上，且DE⊥ＡC，当△DCE与△ＡOC相似时，求点D的坐标．

3．如图1，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点Ａ（－1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图2，过点Ａ作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段ＡD下方的一个动点，连结PＡ，EＡ，ED，PD，求四边形EＡPD面积的最大值；

（3）如图3，连结ＡC，将△ＡOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△Ａ′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．

4．已知：

二次函数y＝ax2＋2ax－4（a≠0）的图象与x轴交于点Ａ，B（Ａ点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ＡBC的面积为12．

（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；

（2）点D在y轴上，当以Ａ、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标；

（3）点D的坐标为（－2，1），点P在二次函数图象上，∠ＡDP为锐角，且ｔan∠ＡDP＝2，求点P的横坐标．

5．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于Ａ，B两点（点Ａ在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与B，C两点重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点F，设点P的横坐标为m（0＜m＜3）

（Ⅰ）当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形；

（Ⅱ）设△BCF的面积为S，求S的最大值．

6．在直角坐标平面内，直线y＝

x＋2分别与x轴、y轴交于点Ａ、C．抛物线y＝－

＋bx＋c经过点Ａ与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线ＡC的上方．

（1）求上述抛物线的表达式；

（2）联结BC、BD，且BD交ＡC于点E，如果△ＡBE的面积与△ＡBC的面积之比为4：

5，求∠DBＡ的余切值；

（3）过点D作DF⊥ＡC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△ＡOC相似，求点D的坐标．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝

x2＋bx＋c的图象与x轴交于点Ａ（2，0）、B（－4，0），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，四边形PBQD能否成为矩形？

若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；

（3）在抛物线上有一点M，过点M、Ａ的直线MＡ交y轴于点C，连接BC，若∠MBO＝∠BCO，请直接写出点M的坐标．

8．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过Ａ（－1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C，M为抛物线的顶点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部（不包含边界），求m的取值范围；

（3）点P是抛物线上一动点，PQ∥BC交x轴于点Q，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋

m的顶点为Ａ，与y轴交于点B．当抛物线不经过坐标原点时，分别作点Ａ、B关于原点的对称点C、D，连结ＡB、BC、CD、DＡ．

（1）分别用含有m的代数式表示点Ａ、B的坐标．

（2）判断点B能否落在y轴负半轴上，并说明理由．

（3）连结ＡC，设l＝ＡC＋BD，求l与m之间的函数关系式．

（4）过点Ａ作y轴的垂线，交y轴于点P，以ＡP为边作正方形ＡPMN，MN在ＡP上方，如图②，当正方形ＡPMN与四边形ＡBCD重叠部分图形为四边形时，直接写出m的取值范围．

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋1交y轴于点为Ａ，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．

（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当抛物线过点（1，－2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y＝－x2＋2x的位置，求平移的方向和距离；

（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ＡDH＝∠ＡHO，求m的值．

11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于Ａ（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是直线ＡC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ＡCP的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点Q是直线ＡC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△ＡOC相似？

若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

12．如图，抛物线y＝

x2＋bx＋c过点Ａ（0，－6）、B（－2，0），与x轴的另一交点为点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）将直线ＡC向下平移m个单位，使平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，求m的值及点M的坐标；

（3）抛物线上是否存在点P，使△PＡC为直角三角形？

若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

13．在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2＋bx＋8过点（－2，0）．

（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；

（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点Ａ，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若ＡC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2＋bx＋c过点B、C且与x轴的另一个交点为Ａ．

（1）求直线BC及该抛物线的表达式；

（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（3）如果点F在y轴上，且∠CDF＝45°，求点F的坐标．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，Ａ、B、C三点分别为坐标轴上的三个点，且OＡ＝1，OB＝3，OC＝4．

（1）求经过Ａ、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以Ａ、B、C、P为顶点的四边形为菱形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点M为该抛物线上一动点，在

（2）的条件下，请求出当|PM－ＡM|为最大值时点M的坐标，并直接写出|PM－ＡM|的最大值．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝

＋bx＋c与x轴交于点Ａ（－2，0）和点B，与y轴交于点C（0，－3），经过点Ａ的射线ＡM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且

．

（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；

（2）求∠FＡB的余切值；

（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，

且∠ＡFP＝∠DＡB，求点P的坐标．

17．如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋2ax＋c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点Ａ，它的坐标是（－3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4

（1）求抛物线的表达式；

（2）求∠CＡB的正切值；

（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ＡBP＝∠CＡO，试直接写出点P的坐标．

18．已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点Ａ（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且ＡC＝ＡB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结ＡP，且线段CP是线段CＡ、CB的比例中项，求ｔan∠CPＡ的值；

（3）在

（2）的条件下，联结ＡM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠ＡEM＝∠ＡMB？

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

19．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝

＋bx＋c点经过Ａ（1，0）、B（0，2）．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C，第四象限内的点D在该抛物线的对称轴上，如果以点Ａ、C、D所组成的三角形与△ＡOB相似，求点D的坐标；

（3）设点E在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1，联结ＡE、BE，求sin∠ＡBE．

20．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x＝－1．

（1）求函数解析式；

（2）若图象与x轴交于Ａ、B（Ａ在B左）与y轴交于C，顶点D，求四边形ＡBCD的面积．

21．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：

满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：

当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y＝－x＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y＝x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y＝

是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？

请判断并说明理由；

（2）如果已知二次函数y＝x2－4x＋k是闭区间[2，ｔ]上的“闭函数”，求k和ｔ的值；

（3）如果

（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，Ａ为此二次函数图象的顶点，B为直线x＝1上的一点，当△ＡBC为直角三角形时，写出点B的坐标．

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）与x轴交于Ａ（－2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OＡ．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）直线y＝kx＋1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝

，试求m的最大值及此时点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？

如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

23．如图，二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于Ａ、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：

PD＝1：

2，ｔan∠PDB＝

．

（1）则Ａ、B两点的坐标分别为Ａ（　　，　　）；B（　　，　　）；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上找一点M使|MC－MB|的值最大，则点M的坐标为　　．

24．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为Ａ，且与y轴交于点C（0，4）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC