度九年级中考数学专题复习探究正方形中的十字架模型含答案.docx
《度九年级中考数学专题复习探究正方形中的十字架模型含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《度九年级中考数学专题复习探究正方形中的十字架模型含答案.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
度九年级中考数学专题复习探究正方形中的十字架模型含答案
2020年度九年级中考数学专题复习探究正方形中的“十字架模型”
一、考题研究
在特殊的四边形问题中翻折的问题是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都比较常见，能否采用合适的方法求出线段长，或者是利用面积之间关系求线段之间关系，这就是我们今天重点学习的一个模型“十字架模型”
二、知识回顾
1、全等三角形的性质与判定
2、相似三角形的性质与判定
3、矩形和正方形的性质与判定
4、图形的变换--轴对称
三、十字架模型
【十字架模型】--正方形
第一种情况：
过顶点
在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证
BAF≌△ADE（ASA）
所以AE=BF
第二种情况：
不过顶点
在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：
EG⊥FH，可得EG=FH
也可以如下证明
在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：
EG⊥FH，可得EG=FH
【导入】如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为______．
【分析】过点G作GHAD于H，根据翻折变换的性质可得GFAE，然后求出GFHD，再利用“角角边”证明ADE和GHF全等，根据全等三角形对应边相等可得GFAE，再利用勾股定理列式求出AE，从而得解．
【解答】法一：
解：
如图，过点G作GHAD于H，则四边形ABGH中，HGAB，
由翻折变换的性质得GFAE，
QAFGDAE90，AEDDAE90，
AFGAED，
Q四边形ABCD是正方形，
ADAB，
HGAD，
在ADE和GHF中，
GHFD
AFGAED，
GHAD
ADEGHF（AAS），GFAE，
Q点E是CD的中点，1
DECD2，2
在RtADE中，由勾股定理得，AEAD
2
DE
2
4
2
2
2
25，
GF的长为25．
故答案为：
25．
【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
法二：
分析：
连接AE，求解FG相当于求AE。
线段AE是直角△ADE的斜边，运用勾股定理求解即可解：
连接AE，由对称的性质可得：
FG⊥AE且FG平分线段AE
由十字架模型可得：
FG=AE=
AD2+AE2
=
42+22=25
【十字架模型】--矩形
在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：
AE⊥BF，探究AE与BF的关系；
可证：
△ADE∽△BAF
所以
AEADbb
==AE=
BFBAaa
gBF
在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：
EG⊥FH，探究EG与FH的关系
【解答】
可证：
△ADN∽△BAM
∴
∴
EGANADb
===
FHBMBAa
b
EG=gFH
a
但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系
可证△EOH∽△GOF
但是
EGAD
与的关系不再相等FHBA
四：
十字架模型的应用
【例1】
（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BFAE，那么BF与AE相等吗？
为什么？
（2）如图2，在RtABC中，BABC，ABC90，D为BC边的中点，BEAD于点E，交AC于F，求AF:
FC的值；
（3）如图3，RtACB中，ABC90，D为BC边的中点，BEAD于点E，交AC于F，若AB3，BC4，求CF．
【分析】
（1）先判断出ABAD，再利用同角的余角相等，判断出ABFDAE，进而得出ABFDAE，即可得出结论；
（2）构造出正方形，同
（1）的方法得出ABDCBG，进而得出CG即可得出结论；
1
2
AB，再判断出AFB∽CFG，
（3）先构造出矩形，同
（1）的方法得，BADCBP，进而判断出ABD∽BCP，即可求出CP，再同
（2）的方法判断出CFP∽AFB，建立方程即可得出结论．
【解答】解：
（1）BFAE，理由：
Q四边形ABCD是正方形，
ABAD，BADD90，
BAEDAE90，
QAEBF，
BAEABF90，
ABFDAE，
BADADC90
在ABF和DAE中，ABAD
，
ABFDAE
ABFDAE，
BFAE，
（2）在
（1）十字架模型的启发下，我们补全图形，过点A、C分别做AB、BC的垂线，交于点G，延长BF交CG与H，那么就可以证
ABD与△BCH全等，所以BD=CH
补全图形后，借助八字形相似，即可得出AF：
CF的值
可证△ABF∽△CHF，∴
∵点D为BC边的中点
AFAB
=
CFCH
∴BD=
1
2
BC，又∵BA=BC
∴CH=BD=
1
2
AB
AFAB
∴==2
FC1
AB
2
（3）思方法同上，补图后，先通过证明两个三角形相似，求出CH的长;然后借助“八字型“相似，即可得出AF:
FC＝9:
8;由勾股定理可求AC＝5，那么就可以求出线段CF的值。
2
22
AGN
CF=
8840
AC=5=
171717
【变式】如图1，在正方形ABCD中，E．F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
（1）求证：
AEBF；
（2）将BCF沿BF对折，得到BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sinBQP的值；（3）将ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到AHM（如图3），若AM和BF相交
于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
【分析】
（1）只要证明RtABERtBCF（SAS），即可推出BAECBF，由BAEBEA90，推出CBFBEA90，推出BGE90；
（2）首先证明QFQB，设PFk，则PB2k，在RtBPQ中，设BQx，可得x（xk）4k，推出
5
xk，根据sinBQP2
BP
QB
计算即可．
SANS24
（3）由GN//HM，推出AGN∽AHN，推出AGN（）2，推出AGN（）2，推出S，根据
SAM155
AHM
四边形GHMN的面积S
AHM
S
AGN
计算即可．
【解答】
（1）证明：
如图1中，
QE、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，
k
CFBE，
在RtABE和RtBCF中，ABBC
ABEBCF，
BECF
RtABERtBCF（SAS），BAECBF，
QBAEBEA90，CBFBEA90，BGE90，AEBF．
（2）解：
如图2中，
由题意，FPFC，FPBC90，QCD//AB，
CFBABF，
ABFPFB，
QFQB，设PFk，则PB2k，在RtBPQ中，设BQx，
x2（xk）24k2，
5
xk，
2
sinBQP
BP2k4
．
QB55
2
（3）如图3中，
Q正方形ABCD的面积为4，
22
2
2
边长为2，
QBAEEAM，AEBF，AHAB2，AHM90，GN//HM，
AGN∽AHN，
SAN
AGN（）2，
SAM
AHM
S2
AGN（）2，
15
4
，
S
AGN
5
四边形GHMN的面积S
AHM
S
AGN
1
41
．
55
【例2】【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求
证：
EFAD
；
GHAB
【结论应用】
（2）如图2，在满足
（1）的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上，若的值为；
EF11BN
，则
GH15AM
【联系拓展】
（3）如图3，四边形ABCD中，ABC90，ABAD10，BCCD5，AMDN，点M，N分别在DN
边BC，AB上，求的值．
AM
【分析】
（1）过点A作AP//EF，交CD于P，过点B作BQ//GH，交AD于Q，如图1，易证APEF，GHBQ，PDA∽QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）只需运用
（1）中的结论，就可得到
EFADBN
，就可解决问题；GHABAM
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边
形ABSR是矩形，由
（1）中的结论可得
DNAR
AMAB
．设SCx，DSy，则ARBS5x，RD10y，在RtCSD
中根据勾股定理可得xy25①，在RtARD中根据勾股定理可得（5x）（10y）100②，解①②就可求出
2
2
x
，即可得到AR，问题得以解决．
【解答】解：
（1）过点A作AP//EF，交CD于P，过点B作BQ//GH，交AD于Q，如图1，Q四边形ABCD是矩形，AB//DC，AD//BC．
四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
APEF，GHBQ．
又QGHEF，APBQ，
QATAQT90．
Q四边形ABCD是矩形，DABD90，
DAPDPA90，
AQTDPA．
PDA∽QAB，
APAD
，
BQAB
EFAD
；
GHAB
（2）如图2，
QEFGH，AMBN，
由
（1）中的结论可得
EFADBNAD
，，
GHABAMAB
BNEF11
．
AMGH15
11
故答案为；
15
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．
QABC90，YABSR是矩形，
RS90，RSAB10，ARBS．
QAMDN，
由
（1）中的结论可得
DNAR
．
AMAB
设SCx，DSy，则ARBS5x，RD10y，
在RtCSD中，x
2
y
2
25①，
在RtARD中，（5x）（10y）100②，由②①得x2y5③，
解方程组
x2y225
x2y5
，得
x5x3（舍去），或，
y0y4AR5x8，
DNAR84
．
AMAB105
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用
（1）中的结论是解决第
（2）、（3）小题的关键．
五、总结
模型结论：
在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段①若垂直，则相等②若相等，则垂直
注意：
十字架模型的前提是：
对边取点连线，如图：
EF⊥GH，但是GH并不是对边取点所连线段，所以EF不一定等于GH
在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：
AE⊥BF，探究AE与BF的关系；
可证：
△ADE∽△BAF
所以
AEADbb
==AE=
BFBAaa
gBF
______
六、课后练习
1.如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N
（1）若CMx，则CH或___________（用含x
（2）求折痕GH的长．
的代数式表示）；
【分析】
（1）利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长即可；
（2）首先得出EDM∽MCH，进而求出MC的长，再利用NEG∽DEM，求出NG的长，再利用勾股定理得出GH的长．
【解答】解：
（1）QCMx，BC6，
设HCy，则BHHM6y，
故y2x2（6y）2，
1
整理得：
yx
12
2
3，
QHMCMHC90，EMDMHC，EDM∽MCH，
EDDM
，
MCCH
36x
，
xHC
1
解得：
HCx
3
2
2x，
故答案为：
1
12
x
2
13或x
3
2
2x；
（2）方法一：
2
x
3
Q四边形ABCD为正方形，
BCD90，
设CMx，由题意可得：
ED3，DM6x，EMHB90，故HMCEMD90，
QHMCMHC90，EMDMHC，
EDM∽MCH，
EDDM
，
MCCH
36x
即
x1
12
，
解得：
x2，x6，
12
当x2时，
CM2，
DM4，
在RtDEM中，由勾股定理得：
EM5，NEMNEM651，
QNEGDEM，ND，
NEG∽DEM，
NENG
，
DEDM
1NG
，
34
解得：
NG
4
3
，
由翻折变换的性质，得AGNG
过点G作GPBC，垂足为P，4
则BPAG，GPAB6，3
18
当x2时，CH
x23，123
4
3
，
84
PHBCHCBP62，
33
在RtGPH中，GHGP
2
PH
2
6
2
2
2
210．
当x6时，
则CM6，
点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处．MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长．
所以，GH长为62．
方法二：
有上面方法得出CM2，连接BM，
可得BMGH，
则可得PGHHBM，
在GPH和BCM中
HGPCBM
GPBC，
GPHC
GPHBCM（SAS），GHBM，
GHBM6222210．
升级会员 