小学五年级奥数第30讲 行程问题三含答案分析.docx

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小学五年级奥数第30讲行程问题三含答案分析

第30讲行程问题（三）

一、专题简析：

很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。

列方程解答行程问题的优点是可以使未知道的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们熟悉的数量关系。

因此，对于一些较复杂的行程问题，我们可以用题中已知的条件和所设的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题。

二、精讲精练：

例1A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地，每小时行38千米；半小时后，乙车从B地开往A地，每小时行42千米。

乙车开出几小时后和甲车相遇？

练习一

1、甲、乙两地相距658千米，客车从甲地开出，每小时行58千米。

1小时后，货车从乙地开出，每小时行62千米。

货车开出几小时后与客车相遇？

2、小军和小明分别从相距1860米的两处相向出发，小军出发5分钟后小明才出发。

已知小军每分钟行120米，小明骑车每分钟行300米。

求小军出发几分钟后与小明相遇？

例2一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。

到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时。

求甲、乙两地间的路程。

练习二

1、汽车从甲地开往乙地送货。

去时每小时行30千米，返回时每小时行40千米，往返一次共用8小时45分。

求甲、乙两地间的路程。

2、一架飞机所带的燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米；返回时逆风，每小时可飞1200千米。

这架飞机最多飞多少千米就要往回飞？

例3东、西两地相距5400米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。

甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米。

多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？

练习三

1、A、B、C三地在一条直线上，如图所示：

A、B两地相距2千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时向C地行走，甲每分钟走35米，乙每分钟走45米。

经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点处？

2、东、西两镇相距60千米。

甲骑车行完全程要4小时，乙骑车行完全程要5小时。

现在两人同时从东镇到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？

例4快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米。

途中快车因故停留3小时，结果两车同时到达B地。

求A、B两地间的距离。

练习四

1、甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。

二人同时从A地出发去B地，当乙到达B地时，甲已在B地停留了2分钟。

A地到B地的路程是多少米？

2、甲、乙二人同时从学校骑车出发去江边，甲每小时行15千米，乙每小时行20千米。

途中乙因修车停留了24分钟，结果二人同时到达江边。

从学校到江边有多少千米？

例5一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。

求他后一半路程用了多少时间？

练习五

1、小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米。

求他后一半路程用了多少时间？

2、小华在240米长的跑道上跑了一个来回，已知他前一半时间每秒跑6米，后一半时间每秒跑4米。

求他返回时用了多少秒。

三、课后作业

1、甲、乙两地相距446千米，快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行68千米，慢车每小时行35千米。

中途慢车因修车停留半小时，求共经过几小时两车在途中相遇。

2、师徒二人加工一批零件。

师傅每小时加工35个，徒弟每小时加工28个。

师傅先加工了这批零件的一半后，剩下的由徒弟去加工。

二人共用18小时完成了加工任务。

这批零件共有多少个？

3、老师今年32岁，学生今年8岁。

再过几年老师的年龄是学生的3倍？

4、兄弟二人同时从家往学校走，哥哥每分钟走90米，弟弟每分钟走70米。

出发1分钟后，哥哥发现少带铅笔盒，就原路返回，取后立即出发，结果与弟弟同时到达学校。

他们家离学校有多远？

5、甲、乙两地相距205千米，小王开汽车从甲地出发，计划5小时到达乙地。

他前一半时间每小时行36千米，为了按时到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？

第30周　行程问题（三）

专题简析：

很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。

列方程解答行程问题的优点是可以使未知道的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们熟悉的数量关系。

因此，对于一些较复杂的行程问题，我们可以用题中已知的条件和所设的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题。

例1A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地，每小时行38千米；半小时后，乙车从B地开往A地，每小时行42千米。

乙车开出几小时后和甲车相遇？

分析我们可以设乙车开出后X小时和甲车相遇。

相遇时，甲车共行了38×（X＋0.5）千米，乙车共行了42X千米，用两车行的路程和是259千米来列出方程，最后求出解。

解：

设乙车开出X小时和甲车相遇。

38×（X＋0.5）＋42X=259

解得X=3即：

乙车开出3小时后和甲车相遇。

练习一

1，甲、乙两地相距658千米，客车从甲地开出，每小时行58千米。

1小时后，货车从乙地开出，每小时行62千米。

货车开出几小时后与客车相遇？

解：

设货车开出x小时后与客车相遇.

58×（x+1）+62×x=658

                  120x=600

                         x=5

答：

货车开出5小时后与客车相遇.

2，小军和小明分别从相距1860米的两处相向出发，小军出发5分钟后小明才出发。

已知小军每分钟行120米，小明骑车每分钟行300米。

求小军出发几分钟后与小明相遇？

解：

相遇时间=总路程÷速度和

=3分钟[相遇需要的时间]

分钟

答：

小军出发8分钟后与小明相遇.

3，甲、乙两地相距446千米，快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行68千米，慢车每小时行35千米。

中途慢车因修车停留半小时，求共经过几小时两车在途中相遇。

解：

设共经过x小时后两车再途中相遇，由题意可列方程：

68x+35×（x-0.5）=446

 68x＋35x－17.5=446

         103x=463.5

            x=4.5

答：

共经过4.5小时两车再途中相遇。

例2一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。

到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时。

求甲、乙两地间的路程。

分析如果设汽车从甲地开往乙地时用了X小时，则返回时用了（7.5－X）小时，由于往、返的路程是一样的，我们可以通过这个等量关系列出方程，求出X值，就可以计算出甲、乙两地间的路程。

解：

设去时用X小时，则返回时用（7.5－X）小时。

20X=30（7.5－X）

解得X=4.5

20×4.5=90（千米）

即：

甲、乙两地间的路程是90千米。

练习二

1，汽车从甲地开往乙地送货。

去时每小时行30千米，返回时每小时行40千米，往返一次共用8小时45分。

求甲、乙两地间的路程。

解：

设甲乙两地相距X千米

 x/30 ＋  x/40 ＝8.75

 7x/120 ＝8.75

7x＝120×8.75

x＝150

此题属于追及问题，做此题的关键是设未知数关于全程X的方程，找出等量关系即可列出方程.

2，一架飞机所带的燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米；返回时逆风，每小时可飞1200千米。

这架飞机最多飞多少千米就要往回飞？

解：

设飞出时间为X，则飞回时间是9-X，

1500X=1200×（9-X） 

        X=4

所以飞出是4×1500=6000千米就要往回飞

答：

飞出6000千米就要往回飞

解析

解答此题时要利用飞出去的距离小于等于飞回来的距离时，飞机才能成功飞回原地，利用此关系列出相应的等式即可正确解答问题.

本题考查的是稍复杂的应用题的解答能力，解答此题时要注意飞出去的距离小于等于飞回来的距离时，飞机才能成功飞回原地，利用此关系列出相应的等式即可正确解答问题.

1，师徒二人加工一批零件。

师傅每小时加工35个，徒弟每小时加工28个。

师傅先加工了这批零件的一半后，剩下的由徒弟去加工。

二人共用18小时完成了加工任务。

这批零件共有多少个？

解：

设师傅做了x小时；徒弟做了18－x小时.

        35x=28（18－x）

         35x=28×18－28x

35x+28x=504－28x+28x

         63x=504

             x=8

35×8+28×（18－8）

=280+280

=560（个）

答：

一共有560个.

解析

可以利用方程来解决这个问题，先设师傅做了x小时，徒弟做了18－x小时；然后再找数量关系；发现两人所做的个数相等，所以可以利用这个来建立等式.

本题需要理解题目的意思，能够根据题目的含义找出数量关系；记住方程的结果不能够带单位，但是脱式需要带单位；同时要利用等式的性质进行解答.

例3东、西两地相距5400米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。

甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米。

多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？

分析设行了X分钟，这时甲行50X米，乙行60X米，丙行70X米。

甲和乙之间的距离可用60X－50X表示，乙和丙之间的距离可用5400－70X－50X表示。

由于这两个距离相等，所以有60X－50X=5400－70X－50X，求出此方程的解就得到所求问题。

解：

设X分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。

60X－50X=5400－70X－50X

解得X=40

即：

40分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。

练习三

1，A、B、C三地在一条直线上，如图所示：

A、B两地相距2千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时向C地行走，甲每分钟走35米，乙每分钟走45米。

经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点处？

解：

设经过X分钟B地在甲乙两人之间，根据题意，列方程得45X＝2000－35X，解得X＝25

答：

经过25分钟B地在甲乙两人之间.

解析

设经过X分钟B地在甲，乙两人之间，甲到B的距离＝乙离B的距离，然后解题.

2，东、西两镇相距60千米。

甲骑车行完全程要4小时，乙骑车行完全程要5小时。

现在两人同时从东镇到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？

解：

甲的速度是15，乙的速度是12.

设经过x小时后，乙剩下的路程是甲剩下的路程的4倍.

4＝（60－12x）÷（60－15x）

240－60x＝60－12x

240－60＝60x－12x

180＝48x

x＝3.75

3，老师今年32岁，学生今年8岁。

再过几年老师的年龄是学生的3倍？

解：

设再过x年老师的年龄是学生的3倍.

      32+x=（8+x）×3

      32+x=24+3x

           2x=8

             x=4

答：

再过4年老师的年龄是学生的3倍.

例4快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米。

途中快车因故停留3小时，结果两车同时到达B地。

求A、B两地间的距离。

分析我们可以设快车行驶了X小时，那么，慢车就行驶了（X＋3）小时，利用快、慢两车所行的路程相等这一关系，可以列出方程，通过解方程求出快车所行驶的时间，最后用“速度×时间=路程”这一关系求出A、B两地间的距离。

解：

设快车行驶了X小时。

54X=48×（X＋3）

解得X=24

54×24=1296（千米）

即：

A、B两地相距1296千米。

练习四

1，甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。

二人同时从A地出发去B地，当乙到达B地时，甲已在B地停留了2分钟。

A地到B地的路程是多少米？

乙到B店时,甲已经在B店停留了2分钟 ,则可得：

80*2=160米 ,甲到B店时,乙离B店160米 ,甲每分钟比乙多走：

120-80=40米 ,160/40=4分钟 也就是说,甲从A到B店走了4分钟 ,A、B两店距离为：

4*120=480米

2，甲、乙二人同时从学校骑车出发去江边，甲每小时行15千米，乙每小时行20千米。

途中乙因修车停留了24分钟，结果二人同时到达江边。

从学校到江边有多少千米？

解:

24分钟

小时,

这段时间内甲行了:

（千米）,

乙每小时可以追甲:

（千米）,

6千米的距离乙追上甲需:

（小时）,

从学校到江边的路程是:

（千米）.

答:

从学校到江边要行24千米.

解析

24分钟

小时,这段时间内甲行了

（千米）,乙每小时可以追甲

（千米）,6千米的距离

（小时）,实际上乙行了1.2小时,甲行了

小时,根据速度

时间=路程,用两人任意一个的速度乘所用时间即可得出距离,由此列式解答.

2，兄弟二人同时从家往学校走，哥哥每分钟走90米，弟弟每分钟走70米。

出发1分钟后，哥哥发现少带铅笔盒，就原路返回，取后立即出发，结果与弟弟同时到达学校。

他们家离学校有多远？

解：

哥哥追上弟弟需要的时间：

70×2÷（90－70）

＝140÷20

＝7（分钟）

90×7＝630（米）

或70×（7＋2）

＝70×9

＝630（米）

答：

他们家离学校630米.

故答案为：

630米

根据兄弟二人同时从家往学校走，出发1分钟后，哥哥发现少带了铅笔盒，则原路返回取后立即出发结果与弟弟同时到达学校，可知此时弟弟已经走了2分钟，乘弟弟每分钟走的70米就是哥哥要追赶弟弟的路程，再除以哥哥每分钟追上弟弟的路程即

（90－70）米，就是哥哥第二次出发到达学校所需的时间，最后用哥哥的速度乘时间，或弟弟的速度乘弟弟共用的时间就是他们家离学校的距离.

解析

要求他们家离学校多远，需要知道在哥哥第二次从家出发时，弟弟在哥哥前面多少米，即哥哥总共要追赶弟弟的路程，然后除以哥哥每分钟追上弟弟的路程就是哥哥追上弟弟需要的时间，最后用速度乘时间即可.

例5一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。

求他后一半路程用了多少时间？

分析因为这位同学在前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度，所以前一半时间所跑的路程一定大于半圈180米，即在跑前半圈时的速度都是每秒5米，跑前半圈要用180÷5=36秒。

如果再求出跑一圈的时间，就能求出跑后半圈的时间了。

为了方便计算，我们假设他按题中跑法跑了2圈。

设跑一圈用X秒，则跑二圈共跑720米。

5X＋4X=720

解得X=80

80－36=44（秒）

即：

他后一半路程用了44秒。

练习五

1，小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米。

求他后一半路程用了多少时间？

解：

设跑完一圈所用时间的一半为x秒，可得方程：

8x+6x=420，

解得x=30

则后一半时间他跑的路程为：

6×30=180（米）.

后一半路程用按每秒8米的速度跑的时间为：

（420÷2－180）÷8=3.75（秒）；

所以，后一半路程跑的时间为：

30+3.75=33.75（秒）

答：

后一半路程跑了33.75秒.

故答案为：

33.75秒

2，小华在240米长的跑道上跑了一个来回，已知他前一半时间每秒跑6米，后一半时间每秒跑4米。

求他返回时用了多少秒。

解：

设一半的时间为x秒.

6x＋4x＝360×2

  10x＝720

   x＝720÷10

   x＝72

72×6＝432（米）

 （432－360）÷6

＝72÷6

＝12（秒）

12＋72＝84（秒）

答：

返回时用了84秒.

3，甲、乙两地相距205千米，小王开汽车从甲地出发，计划5小时到达乙地。

他前一半时间每小时行36千米，为了按时到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？

解：

5÷2=2.5（小时）， 

（205-36×2.5）÷2.5， 

=（205-90）÷2.5， 

=115÷2.5， 

=46（千米）； 

答：

后一半时间必须每小时行46千米．

解析

提示1：

要求后一半时间必须每小时行多少千米，就要求出后一半时间行的路程，由“他前一半时间每小时行36千米”，此时，他行了36×2.5=90（千米），剩下205-90=115（千米），即后一半时间行的路程．因此，后一半时间的速度为：

115÷2.5，计算即可． 

提示2：

此题解答的关键是根据前一半时间行的路程，求出后一半时间所行的路程，最后根据关系式“路程÷时间=速度”解决问题．解：

5÷2=2.5（小时）， 

（205-36×2.5）÷2.5， 

=（205-90）÷2.5， 

=115÷2.5， 

=46（千米）； 

答：

后一半时间必须每小时行46千米．