基于高中数学公式教学的视角精选doc.docx

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——基于高中数学公式教学的视角

朱丽娟

%1.设计背景

数学学科是大部分学生倍感辛苦的学科。

而高中数学公式是高中数学知识中的重要组成部分。

在高中数学的核心知识点中，基本不等式、两角和与差的三角函数等都是以公式的形式呈现出来的。

由于数学公式用纯数学符号来表示和公式在应用中常有变形，学生学习和应用过程中常有障碍.在数学课堂中，以数学公式教学为载体，排除学生学习的心理和实际障碍，提升学生的数学学习效率有着现实意义。

%1.设计创意

从公式学习的认知分析可知，数学公式的认知过程一般经历获得、证明和应用三个阶段。

因此，公式教学中从三个方面提升数学课堂的效率：

1.公式的引入

通过公式的引入设计，让学生感受到学习公式的必要性和“来龙”。

数学名称常常有着明显的意义，也可以借此让学生了解数学史，激发学习兴趣。

2.公式的发现和推导

公式的获得一般有两种：

一种是呈现式，即教师直接将有待学习的公式呈现给学生，然后探讨证明公式的途经；一种是发生式，即教师创建问题情境，让学生自我探讨、相互讨论，从而发现某个数学公式，再进行推导和证明。

在高中数学公式中，如等差数学和等比数列求和公式的推导和掌握就采用第二种方式。

我校结合兖州教学模式开发课堂资源就取得了一定的效果。

3.公式的掌握

学生对于公式的掌握程度是检验课堂是否真的深入高效的标准。

学生的学习不仅是知识方法数学思想的学习和掌握，更应该是学习学会学习的方法、提高学习的能力的过程。

公式学习给学生提出三条标准：

（1）记得它们，

（2）公式在哪张网络里；（3）公式的形式化和变形是什么。

%1.设计依据

数学公式具有如下特性：

数学公式的网络化特征

数学课程中的数学公式常常以群组的形式出现。

公式的网络关系分为三种：

派生关系、相关并列关系和总括关系。

如两角和与差的三角函数和二倍角公式就是一个派生关系的一个例子。

先从两角和与差的余弦公式开始，推导出正弦和正切，二倍角公式。

也就是说两角和与差的余弦公式就是这组公式的母公式。

数学公式的形式化特性

具体表现为三个方面：

公式中元素符号可以用相应的式子来替代；公式的正逆推演；同一公式的恒等变形。

%1.案例

“三角函数的诱导公式''是“任意角的三角函数"的第三节。

在此之前的内容是任意角的三角函数和同角三角函数的关系。

本节主要内容是三角函数的诱导公式二至六。

学生在

前两节的基础上学习这五组公式，在公式发现和应用过程中，体会数形结合的美妙；也体验着在解决数学问题的过程中如何将己知和未知之间架设合理的桥梁的成功。

当然，这节内容的学习也为后继的三角函数的性质学习、三角函数的求值、化简和三角恒等式的证明打下基础。

本节共两课时，公式二至公式四为第一课时，公式五和公式六为第二课时。

针对上述分析，结合高中数学课程标准和教材，充分考虑高一学生的认知能力和规律，制订如下教学目标、重点和难点：

本节共两课时，公式二至公式四为第一课时，公式五和公式六为第二课时。

针对上述分析，结合高中数学课程标准和教材，充分考虑高一学生的认知能力和规律，制订如下教学目标、重点和难点：

（1）教学目标

知识与技能目标：

掌握三角函数的诱导公式，能正确运用三角函数的诱导公式求任意角的三角函数以及进行简单的三角函数式的化简和证明。

能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式的证明问题。

提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力。

过程与方法目标：

经历借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式的过程;体验通过公式的应用将未知转化为己知、复杂转化为简单的成功；感悟数形结合和化归的思想方法。

通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式

情感与态度价值观目标：

通过构建和谐的课堂教学氛围，激发学生的学习兴趣，调动学习积极性；鼓励学生善于发现、勇于提出问题，乐于探索问题；培养学生善于合作与交流和积极向上的学习态度。

（2）教学重点、难点

重点：

公式的发现——通过多媒体演示探究发现公式；

公式的记忆——分析公式的特征，编成口诀助记忆；

公式的应用——解决简单三角函数的求值和化简.

难点：

关于对称的点和公式五六即的诱导公式的关系；诱导公式结构特征的认识.

2.教学方法和学法指导

根据教材分析和目标及本节课的重难点，坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生在课堂上得到充分的发展”的原则，体现教师主导，学生主体的新课程理念，博采启发教学法、引探教学法、讲授教学法等诸多方法之长,引导学生自主学习、探究学习、合作学习，努力做到教法、学法的最优组合。

同时，为更好地把握教学内容的整体性和联系性，在教学中以问题为核心构建课堂教学，培养学生的问题意识，孕育创新精神，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，使他们经历观察、猜测、推理、交流、反思等理性思维活动的基本过程，切实改进学生的学习方式。

具体地体现以下几个特点：

（1）充分利用数形结合，促使学生从感性认识上升到理性认识。

高一学生正处于从以形象思维为主要思维方式向以抽象思维为主要思维形式过渡的重要阶段。

同时，数形结合也是高中数学的重要思想方法和解题策略之-O因此，数学教学中要充分重视数形结合的作用。

通过多媒体演示单位圆中的角的终边和三角函数线的对称和变化的图像，让学生在观察、分析中获得大量的感性认识，进而发现并理解三角函数的诱导公式。

（2）重视学生的主体参与。

学生是学习的主体，教学是为了让学生会学。

不管对象是数学知识，还是其他学科，学生在今天学习数学的过程中经历的数学发现、体验的数学成功、感悟的数学思想，对于他都是一生享用不尽的财富。

因此，学生对于诱导公式的发现,发展和应用等每个教学环节，都应通过学生自主、合作、探究交流的过程来完成。

（3）注重信息的反馈和课堂的生成。

学生的学习过程是通过揭示矛盾、解决矛盾的反复过程得以完成的。

因此，根据教学信息反馈的理论，当学生接触新知一三角函数的诱导公式时，要通过学生的发声思维和技能训练来充分暴露他们所遇到的矛盾和障碍，并在师生、生生的数学交流中，实现学生知识结构顺应和同化。

4.教学过程

本节课设置了如下环节，具体如下：

（1）情境创设，启发思维

通过三角函数的定义，可以推导三角函数的诱导公式一：

终边相同的角同一三角函数值相等。

即有：

（公式一）

从这一组公式的推导，可以引导学生认识到数学定义的重要，特别是思考一些问题觉得难以下手时，“回到定义中去''是一•个不错的策略。

引导反思：

问题1——利用诱导公式

（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到0〜2兀后，又将如何将0〜2兀间的角转化到。

〜呢？

方法：

设0°

贝1」90。

〜180。

间角，可写成180°-a；

180。

〜270。

间的角，可写成180°+a；

270。

〜360。

间的角，可写成360°-a.

（2）公式推导，发现新知

问题2——试说出诱导公式一的结构特征和你对于的理解？

问题3——两个角的终边除了相同之外，还有哪些特殊的对称关系？

学生活动：

独立思考

教师活动：

提问

设计意图：

三角函数这一章的学习处处体现了数学中的对称美，并且学生己有学习三角函数线的铺垫，学生的己有知识完全能使得他们可以想到：

终边有关于轴、轴以及原点对称这几种情况。

这里通过问题出的设计，促进学生发现新知和探究新知。

问题4——如果角的终边和角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值有什么关系？

学生活动：

合作探究，相互进行数学交流，尝试推导公式。

教师活动：

运用多媒体给出终边关于轴对称的与，引导学生观察和猜想,并引导他们大胆的表达。

30°

（1）设置如下小问题：

★30°与（-30°）角的终边关系如何？

（关于x轴对称）

★设30。

与（一30。

）的终边分别交单位圆于点p、p，，则点p与p，的关系如何?

★设点p（x,y）,则点p，的坐标怎样表示？

[p'（x,—y）]

★sin（-30°）与sin30°的值关系如何？

（2）引导学生从特殊到一般化

★与角的终边位置关系如何？

★设与角的终边分别交单位圆于点p、p，，则点p与"位置关系如何？

★设点p（x,y）,那么点p，的坐标怎样表示？

★与，与，与关系如何？

★经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？

其公式结构特征如何？

（公式二）

设计意图：

诱导公式二的推导事实上是起一个教师引领下的学生主体活动的模式。

先是从特殊入手，然后再一般化，并进行验证。

这样的两部程序符合学生的认知规律和认知特点。

同时，数学学科本身的抽象性使得其并不好学，所以，充分考虑学生的因素，尽量做到从直观入手，从具体开始。

在此过程中，学生也可以体会到数形结合带来的直观和简便。

同时，公式的发现过程也遵循了数学研究的基本模式之一：

归纳一猜想一证明。

问题5——如果角的终边和角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值有什么关系？

学生活动：

小组讨论，探究结果

教师活动：

引导反思——在得到公式三四后，引导反思如何从变量的角度看待公式二三四；如何看待各个公式中的符号变化。

（公式三）

（公式四）

问题6——如果角的终边和角的终边关于对称，那么与的三角函数值有什么关系？

学生活动：

小组合作探究

教师活动：

引导知识回顾，发声思维和推导的方向性。

设计意图：

根据维果斯基最近发展区理论，学生的发展有两种水平：

一,种是学生的现有水平，另一种是学生可能的发展水平。

两者之间的差距就是最近发展区。

教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区，然后在此基础上进行下一个发展区的发展。

对于问题五，除了用多媒体给出直观的图性之外，还引导学生回顾一下巳有知识：

锐角的三角函数公式即：

（公式五）

问题7——将变为，公式五变形为什么？

（公式六）

学生活动：

独立推导

教师活动：

反馈和答疑

设计意图：

还是维果斯基最近发展区理论。

（2）公式分析，便于掌握

学生学习数学公式，在解题时使用数学公式最大的好处在于简便。

然而数学的公式教学却并不能仅仅停留在让学生记得即可，对公式的熟练运用也不能仅仅依靠大量的重复训练来达到。

否则，在实际教学中，教师看到的将是：

讲得多、做的多、错的多、反复错的现象。

因此，在公式教学课中，除了充分发挥学生的主体作用，在教师引领和组织下发现和探究并证明之外，对公式的理解还需要教师指导下的再加工。

解题训练中的公式使用充分考虑数学技能训练的规律和学生的反思策略的使用。

本环节的设置仍然以问题为中心，以小题训练为载体，实现公式的记忆和形式化。

问题8——将看成是一个锐角，分别是哪些象限的角，它们各自的三角函数符号是什么？

对记忆公式有什么帮助？

学生活动：

找到公式的结构特征：

函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）

教师活动：

若不把看作锐角时，公式仍然适用。

更一般地，将这几组公式的形式化，可以得到：

等等。

设计意图：

公式教学首先应尽量让学生发现和探究以及证明；其次，学生准确的记忆公式，这是进行技能训练的前提，而学习数学必然离不开技能训练；第三，公式中字母的意义，包括字母与式子的代换关系，这是诸多数学公式相同的地方，也是数学化归的重要思想方法的体现和与函数建立联结的桥梁；最后，在技能训练中培养学生的反思策略、技巧和习惯，真正做到解题时有法则可依、有能力运算正确、有意识反思、有希望创新。

（3）例题讲解，强化应用

例题教学是课堂数学技能训练的主阵地，数学技能训练首先要求法则清楚，其次操作规范，第三训练有度，最后解题反思。

依照技能训练的要求，我设置了如下例题。

例1求值：

这道题目充分体现了公式的使用和作用——大化小，负化正，化到特殊值。

同时，仅是公式的直接使用。

例2判断下列函数的奇偶性：

例2的设置是三角函数的诱导公式在函数性质中的应用。

例3求证：

例4己知且求的值。

这四个例题层次分明，难度适当，从基本题入手，过渡到变式题。

由于是学生刚刚学习公式，本节课的例题设置中角、名称的变换不宜技巧性过强和过难。

（4）归纳小结，巩固新知

归纳小结是巩固新知不可或缺的环节之一，这个环节对培养学生的无认知能力，自我监控能力和数学交流能力以及关注学生的数学学习情感、意志态度有着重要的作用。

本节课，我采用让学生己谈学习收获的方式对所学知识点进行归纳。

采用让学生自我对比的方式谈谈自己在数学解题时应注意的问题，这有着个体差异性，有利于教师建立多元化的评价体系。

（5）布置作业，提高升华

根据学生的实际情况，作业布置分为必做题和选做题。

设置必做题的目的是:

人人在数学课堂上都有发展，作业面向全体，符合基本的教学要求，注重基础知识、基本技能和基本思想方法。

设置选做题的目的是：

为了一部分学生提升能力、发展智力，加强知识之间的联系。

为此，我设置了如下作业。

必做题：

选做题。

5.板书设计

公式的形式化:

公式的作用:

任意负角的

三角函数

任意正角的

三角函数

0°〜360°间角的三角函数

0°〜90°间角的三角函数

特殊角或查表求值

以上五个环节，环环相扣，层层深入，并充分调动学生的学习主动性和探究热情，使我们的课堂既有着数学思维充分发展，又退去数学的冰冷。

我想这样，既能实现学生的思维发展，提高学生的数学能力，又能使得他们热爱数学。