古典概型.docx
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古典概型
古典概型
适用学科
数学
适用年级
高一
适用区域
通用
课时时长（分钟）
60
知识点
基本事件及其特点
古典概型及其特点
古典概型的应用
教学目标
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率．
教学重点
古典概型的概率
教学难点
古典概型的概率
教学过程
一、课堂导入
问题：
什么古典概型？
古典概型的性质是什么？
二、复习预习
概率的一般加法公式：
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）．
公式使用中要注意：
（1）公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P（A∩B）＝0，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；
（2）要计算P（A∪B），需要求P（A）、P（B），更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；（3）该公式可以看作一个方程，知三可求一．
三、知识讲解
考点1基本事件的特点
1．任何两个基本事件是互斥的．
2．任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
考点2古典概型的两个特点
1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．
[提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：
有限性和等可能性．
考点3古典概型的概率公式
P（A）＝
.
考点4计算古典概型事件的概率的步骤
（1）算出基本事件的总个数n；
（2）求出事件A所包含的基本事件个数m；
（3）代入公式求出概率P.
四、例题精析
考点一基本事件与古典概型的判断
例1袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
（1）有多少种不同的摸法？
如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
（2）若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？
以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【规范解答】解
（1）由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，
故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
（2）由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：
“摸到白球”，B：
“摸到黑球”，C：
“摸到红球”，
又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为
，而白球有5个，
故一次摸球摸到白球的可能性为
，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为
，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．
【总结与反思】古典概型需满足两个条件：
①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．
考点二古典概型的概率
例2某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高（单位：
米）及体重指标（单位：
千克/米2）如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9）中的概率．
【规范解答】解
（1）从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M，其包括事件有3个，
故P（M）＝
＝
.
（2）从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．
设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9）”为事件N，且事件N包括事件有（C，D），（C，E），（D，E）共3个．
则P（N）＝
.
【总结与反思】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
考点三古典概型与统计的综合应用
例3有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
（1）为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
（2）在
（1）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【规范解答】解
（1）由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
（2）记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，
故所求概率P＝
＝
.
【总结与反思】 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．
五、课堂运用
【基础】
1、从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【规范解答】答案 B
解析 基本事件的总数为6，
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，
所以所求概率P＝
＝
，故选B.
2、连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量（m，n）与向量（－1,1）的夹角θ>90°的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【规范解答】答案 A
解析 ∵（m，n）·（－1,1）＝－m＋n<0，∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36（个），符合要求的有（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），…，（5,4），（6,1），…，（6,5），共1＋2＋3＋4＋5＝15（个）．
∴P＝
＝
，故选A.
【巩固】
1、若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【规范解答】答案 D
解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有（丙，丁，戊）这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝
.
2、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【规范解答】答案 D
解析 如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为
＝
.
【拔高】
1、某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标（x，y，z）
（1,1,2）
（2,1,1）
（2,2,2）
（1,1,1）
（1,2,1）
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标（x，y，z）
（1,2,2）
（2,1,1）
（2,2,1）
（1,1,1）
（2,1,2）
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
【规范解答】解
（1）计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为
＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P（B）＝
＝
.
2、一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：
辆）：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：
9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
【规范解答】
解
（1）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得
＝
，所以n＝2000，
则z＝2000－100－300－150－450－600＝400.
（2）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得
＝
，则a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个．
事件E包含的基本事件有
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个．
故P（E）＝
，即所求概率为
.
（3）样本平均数
＝
（9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2）＝9.
设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P（D）＝
＝
，即所求概率为
.
课程小结
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；
第二，本试验的基本事件有多少个；
第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2．确定基本事件的方法
列举法、列表法、树状图法．
3．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．
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