专题三 归纳猜想型问题.docx
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专题三归纳猜想型问题
专题三归纳猜想型问题
【基础演练】
1．（2013·内江）如图，已知直线l：
y＝x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为______________．
解析 ∵直线l的解析式是y＝x，
∴∠NOM＝60°.
∵点M的坐标是（2，0），NM∥x轴，点N在直线y＝x上，
∴NM＝2，
∴ON＝2OM＝4.
又∵NM1⊥l，即∠ONM1＝90°，
∴OM1＝2ON＝4OM＝23.
同理，OM2＝4OM1＝24OM，
OM3＝4OM2＝4×42OM＝26OM，
…
OM10＝220OM＝221.
∴点M10的坐标是（221，0）．
答案 （221，0）
2．（2013·聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n＋1（n为自然数）的坐标为________（用n表示）．
解析 由图可知，n＝1时，4×1＋1＝5，点A5（2，1），
n＝2时，4×2＋1＝9，点A9（4，1），
n＝3时，4×3＋1＝13，点A13（6，1），
所以，点A4n＋1（2n，1）．
答案 （2n，1）
3．（2012·沈阳）有一组多项式：
a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为________．
解析 ∵第1个多项式为a1＋b2×1，
第2个多项式为a2－b2×2，
第3个多项式为a3＋b2×3，
第4个多项式为a4－b2×4，
…
∴第n个多项式为an＋（－1）n＋1b2n，
∴第10个多项式为a10－b20.
答案 a10－b20
4．（2010·丽水）已知a≠0，S1＝2a，S2＝，S3＝，…，S2010＝，则S2010＝________（用含a的代数式表示）．
解析 根据题意，可得S2＝，S3＝＝2a，S4＝，S5＝2a，…；
进而可得，当下标为奇数时，结果为2a；当下标为偶数时，结果为；
故S2010＝
答案
5．（2012·青岛）问题提出：
以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m＋n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：
以△ABC的三个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：
以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P，Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：
一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨假设点Q在△PAC内部，如图②；
另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨假设点Q在PA上，如图③.
显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个不重叠的小三角形．
探究三：
以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P，Q，R，共6个点为顶点可把△ABC分割成________个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
探究四：
以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m＋3）个顶点可把△ABC分割成________个互不重叠的小三角形．
探究拓展：
以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m＋4）个顶点可把四边形分割成________个互不重叠的小三角形．
问题解决：
以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m＋n）个顶点可把△ABC分割成________个互不重叠的小三角形．
实际应用：
以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
（要求列式计算）
解 探究三：
如图，三角形内部的三点共线与不共线时都分成了7部分．
答案 7；分割示意图（答案不唯一）
探究四：
三角形内部1个点时，共分割成3部分，3＝3＋2（1－1），
三角形内部2个点时，共分割成5部分，5＝3＋2（2－1），
三角形内部3个点时，共分割成7部分，7＝3＋2（3－1），
…
所以，三角形内部有m个点时，3＋2（m－1）或2m＋1.
探究拓展：
四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为4＋2（m－1）或2m＋2；
问题解决：
n＋2（m－1）或2m＋n－2；
实际应用：
把n＝8，m＝2012代入上述代数式，得
2m＋n－2＝2×2012＋8－2＝4024＋8－2＝4030.
6．（2010·宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x＋y的值．
解
（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为V＋F－E＝2；
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
（2）由题意得：
F－8＋F－30＝2，解得F＝20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2＝36（条棱），
那么24＋F－36＝2，解得F＝14，
∴x＋y＝14.
【能力提升】
7．（2012·绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn－1Dn－2的中点为Dn－1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn－1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ）
A.B.C.D.
解析 由题意得，AD＝BC＝，AD1＝AD－DD1＝，AD2＝，AD3＝，…，
ADn＝，又APn＝ADn，
故AP1＝，AP2＝，AP3＝，…，APn＝，故可得AP6＝.
答案 A
8．（2012·安徽）在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，
（1）当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：
m
n
m＋n
f
1
2
3
2
1
3
4
3
2
3
5
4
2
5
7
3
4
7
猜想：
当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n的关系式是________（不需要证明）；
（2）当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．
解
（1）表格中分别填6，6
m
n
m＋n
f
1
2
3
2
1
3
4
3
2
3
5
4
2
5
7
6
3
4
7
6
f与m，n的关系式是：
f＝m＋n－1.
故答案为f＝m＋n－1.
（2）m，n不互质时，猜想的关系式不一定成立，如下图：
9．（2011·衢州）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？
请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2＝________；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3，继续操作下去…，则第10次剪取时，S10＝________；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
图1
解
（1）解法1：
如图甲，由题意，得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝12＝1，
如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，
∴3x＝2，
解得x＝，
∴S正方形PMNQ＝（）2＝，
又∵1＞，
∴甲种剪法所得的正方形面积更大．
说明：
图甲可另解为：
由题意得点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，S正方形OFDE＝1.
解法2：
如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，
如图乙，设MN＝x，则由题意得AM＝MQ＝QP＝PN＝NB＝MN＝x，
则3x＝2，
解得x＝，
又∵1＞，
即EC＞MN.
∴甲种剪法所得的正方形面积更大．
（2）S2＝，S10＝.
（3）解法1：
探索规律可知：
Sn＝
剩余三角形面积和为2－（S1＋S2＋…＋S10）＝2－（1＋＋…＋）＝.
解法2：
由题意可知，
第一次剪取后剩余三角形面积和为2－S1＝1＝S1
第二次剪取后剩余三角形面积和为S1－S2＝1－＝＝S2，
第三次剪取后剩余三角形面积和为S2－S3＝－＝＝S3，
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为S9－S10＝S10＝.
10．（2010·嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn，Cn在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）．
解
（1）设PQ与B1C1交于点D，连接B1O.
∵△PB1C1是等边三角形，
∴A1D＝PB1·sin∠PB1C1＝a1·sin60°＝a1，
B1D＝a1，∴OD＝A1D－OA1＝a1－1，
在△OB1D中，OB12＝B1D2＋OD2，
即12＝（a1）2＋（a1－1）2，
解得a1＝；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接B2O.
∵△A2B2C2是等边三角形，
∴A2E＝A2B2·sin∠A2B2C2＝a2·sin60°＝a2，B2E＝a2.
∵△PB1C1是与△A2B2C2边长相等的正三角形，
∴PA2＝A2E＝a2，
OE＝A1E－OA1＝a2－1，
在△OB2E中，OB22＝B2E2＋OE2，
即12＝（a2）2＋（a2－1）2，
解得a2＝；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接B
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