专题三 归纳猜想型问题.docx

1、专题三 归纳猜想型问题专题三 归纳猜想型问题【基础演练】1(2013内江)如图，已知直线l：yx，过点M(2，0)作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，；按此作法继续下去，则点M10的坐标为_解析直线l的解析式是yx，NOM60.点M的坐标是(2，0)，NMx轴，点N在直线yx上，NM2，ON2OM4.又NM1l，即ONM190，OM12ON4OM23.同理，OM24OM124OM，OM34OM2442OM26OM，OM10220OM221.点M10的坐标是(221，0)答案(221，0)2(2

2、013聊城)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，那么点A4n1(n为自然数)的坐标为_(用n表示)解析由图可知，n1时，4115，点A5(2，1)，n2时，4219，点A9(4，1)，n3时，43113，点A13(6，1)，所以，点A4n1(2n，1)答案(2n，1)3(2012沈阳)有一组多项式：ab2，a2b4，a3b6，a4b8，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为_解析第1个多项式为a1b21，第2个多项式为a2b22，第3个多项

3、式为a3b23，第4个多项式为a4b24，第n个多项式为an(1)n1b2n，第10个多项式为a10b20.答案a10b204(2010丽水)已知a0，S12a，S2，S3，S2010，则S2 010_(用含a的代数式表示)解析根据题意，可得S2，S32a，S4，S52a，；进而可得，当下标为奇数时，结果为2a；当下标为偶数时，结果为；故S2 010答案5(2012青岛)问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(mn)个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC的三个顶

4、点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图，显然，此时可把ABC分割成3个互不重叠的小三角形探究二：以ABC的三个顶点和它内部的2个点P，Q，共5个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图分割成的某个小三角形内部不妨假设点Q在PAC内部，如图；另一种情况，点Q在图分割成的小三角形的某条公共边上不妨假设点Q在PA上，如图.显然，不管哪种情况，都可把ABC分割成5个不重叠的小三角形探究三：以ABC的三个顶点和它内部的3个点P，Q，R，共6

5、个点为顶点可把ABC分割成_个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图探究四：以ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m3)个顶点可把ABC分割成_个互不重叠的小三角形探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m4)个顶点可把四边形分割成_个互不重叠的小三角形问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(mn)个顶点可把ABC分割成_个互不重叠的小三角形实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2 012个点，共2 020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算)解探究三：如图，三角形内部的三点共线与不共线时都分成了7部分答案7；分割示意图(答案不唯一)探

6、究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，332(11)，三角形内部2个点时，共分割成5部分，532(21)，三角形内部3个点时，共分割成7部分，732(31)，所以，三角形内部有m个点时，32(m1)或2m1.探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点，则分割成的不重叠的三角形的个数为42(m1)或2m2；问题解决：n2(m1)或2mn2；实际应用：把n8，m2 012代入上述代数式，得2mn222 012824 024824 030.6(2010宁波)十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多

7、面体模型，解答下列问题：(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)四面体44长方体8612正八面体812正十二面体201230你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求xy的值解(1)四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为VFE2；多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)四面体4

8、46长方体8612正八面体6812正十二面体201230(2)由题意得：F8F302，解得F20；(3)有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；共有243236(条棱)，那么24F362，解得F14，xy14.【能力提升】7(2012绍兴)如图，直角三角形纸片ABC中，AB3，AC4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；设Pn1Dn2的中点为Dn1，第n次将纸片折叠，使点A与点

9、Dn1重合，折痕与AD交于点Pn(n2)，则AP6的长为 ()A. B. C. D.解析由题意得，ADBC，AD1ADDD1，AD2，AD3，ADn，又APnADn，故AP1，AP2，AP3，APn，故可得AP6.答案A8(2012安徽)在由mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，(1)当m，n互质(m，n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：mnmnf123213432354257347猜想：当m，n互质时，在mn的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n的关系式是_(不需要证明)；(2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的

10、关系式是否依然成立解(1)表格中分别填6，6mnmnf12321343235425763476f与m，n的关系式是：fmn1.故答案为fmn1.(2)m，n不互质时，猜想的关系式不一定成立，如下图：9(2011衢州)ABC是一张等腰直角三角形纸板，C90，ACBC2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的ADE和BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2

11、_；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3，继续操作下去，则第10次剪取时，S10_；(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和图1解(1)解法1：如图甲，由题意，得AEDEEC，即EC1，S正方形CFDE121，如图乙，设MNx，则由题意，得AMMQPNNBMNx，3x2，解得x，S正方形PMNQ()2，又1，甲种剪法所得的正方形面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，S正方形OFDE1.解法2：如图甲，由题意得AEDEEC，即EC1，如图乙，设MNx，则由题意得AM

12、MQQPPNNBMNx，则3x2，解得x，又1，即ECMN.甲种剪法所得的正方形面积更大(2)S2，S10.(3)解法1：探索规律可知：Sn剩余三角形面积和为2(S1S2S10)2(1).解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为2S11S1第二次剪取后剩余三角形面积和为S1S21S2，第三次剪取后剩余三角形面积和为S2S3S3，第十次剪取后剩余三角形面积和为S9S10S10.10(2010嘉兴)如图，已知O的半径为1，PQ是O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的

13、交点，最后一个AnBnCn的顶点Bn，Cn在圆上(1)如图1，当n1时，求正三角形的边长a1；(2)如图2，当n2时，求正三角形的边长a2；(3)如题图，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示)解(1)设PQ与B1C1交于点D，连接B1O.PB1C1是等边三角形，A1DPB1sinPB1C1a1sin60a1，B1Da1，ODA1DOA1a11，在OB1D中，OB12B1D2OD2，即12(a1)2(a11)2，解得a1；(2)设PQ与B2C2交于点E，连接B2O.A2B2C2是等边三角形，A2EA2B2sinA2B2C2a2sin60a2，B2Ea2.PB1C1是与A2B2C2边长相等的正三角形，PA2A2Ea2，OEA1EOA1a21，在OB2E中，OB22B2E2OE2，即12(a2)2(a21)2，解得a2；(3)设PQ与BnCn交于点F，连接B