吉林铁道职业技术学院单招数学模拟精彩试题及问题详解1.docx
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吉林铁道职业技术学院单招数学模拟精彩试题及问题详解1
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2016吉林铁道职业技术学院单招数学模拟试题及答案
一．选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
1、数f（x）x1
x
的定义域是
A、xx1或x0B、xx1或x0
C、x1x0D、xx1x0
2、在等差数列
a中，a3=9，a9=3，则a12=
n
A、-3B、0C、3D、6
3、已知实数x、y满足
2220
xyx，则xy的最小值为
A、21B、21C、21D、
21
4、下面给出四个命题：
①直线l与平面a内两直线都垂直，则la。
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于
直线b③过平面a外两点，有且只有一个平面与a垂直。
④直线l同时垂直于平面a、
，则a∥。
其中正确的命题个数为
A、3B、2C、1
D、0
5、二项式
3n
1
（x）
2
2x
的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
A、10B、3C、7
D、5
6、函数
2
f（x）ln（xx）的单调递增区间为
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A、,1
2
B、（-0，1）C、0,1
2
D、1,1
2
7、将长为15的木棒截成长为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则得到的
不同三角形的个数为
A、8B、7C、6D、5
8.在（0,2）内，使sinxcosx成立的x的取值范围为
A、[
3
44
]B、[
5
44
]C、[
57
44
]D、[,
42
]
9．设平面内有△ABC及点O，若满足关系式：
（OBOC）OBOC2OA0，那么
△ABC一定是
A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等腰三角形D、等边三角
形
10．在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球
3
半径r的比值为
A、5B、
3
2
C、10D、
5
2
二．填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题在横线上。
11、
tan
1
a，则sinacosa。
2
12、函数y1x1的反函数为。
13、如图，已知A、B两点分别是椭圆C：
22
xy
221（0）
ab
ab
的
左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若ABBFO，则椭
圆C的离心率e=.
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yx
14、如果变量x,y满足xy1
，则z2xy的最大值为。
y1
15．已知圆C：
2（3）24
xy，一动直线l过A（-1，O）与圆C相交于P、Q两点，
M是PQ中点，l与直线x3y60相交于N，则AMAN。
三．解答题：
本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数
22
f（x）sinxasinxcosxcosx，且f（）1
4
（1）求常数a的值及f（x）的最小值；
（2）当[0,]
x时，求f（x）的单调增区间。
2
17．（本小题满分12分）
如图，在棱长为l的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1中点。
（1）求二面角A1-BD-M的大小；
（2）求四面体A1-BDM的体积；
18．（本小题满分12分）
一袋中放着写有1号至5号的5张纸牌，A、B两人按A、B、A、B，⋯的次序轮流从袋
中不．放．回．的取出1张纸牌，规定先取到5号纸牌者获胜。
（1）求B第一欠取牌就获胜的概率；
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（2）求B获胜的概率。
19．（本小题满分12分）
设数列
a的前n项和
n
n2
s
（1）（2n4n1）1，nN。
n
（1）求数列
a的通项公式an；
n
（2）记
b
n
n
（1）
a
n
，求数列bn前n项和Tn
20．（本小题满分13分）
过双曲线C：
2
x
2
y
21的右顶点A作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、AN交双曲线
m
C于M、N两点，其k1、k2满足关系式k1·k2=-m1+k20，k1k22且k
（1）求直线MN的斜率；
（2）当m2=23时，若
2=23时，若
0
MAN60，求直线MA、NA的方程；
21．（本小题满分14分）
函数
42
f（x）x2ax，g（x）1。
（1）求证：
函数f（x）与g（x）的图象恒有公共点；
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（2）当x（0,1]时，若函数f（x）图象上任一点处切线斜率均小于1，求实数a的取值
范围；
（3）当x[0,1]时，关于x的不等式f（x）g（x）的解集为空集，求所有满足条件的
实数a的值。
参考答案
一．选择题
题号12345678910
答案ABBCDCCACD
二．填空题
11、
2
5
12、
22
（1）
yxxx13、
51
2
14、315、5
三、解答题
16．
（1）∵（）1
f，∴
4
22
sinasincoscos1
4444
∴a2
∴
22
f（x）sinx2sinxcosxcosxsin2xcos2x2sin
（2）
x
4
当2x2k，kz，即
42
xk，kz时
8
sin（2x）取最小值-1，从而f（x）取最小值2。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）
4
（2）令222
kxk即
242
3
kxk；kz
88
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又[0,]
x，∴f（x）在
2
3
[0,]
8
上的单调递增⋯⋯（12分）
17．解：
（1）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为l，取BD中点为O，连结OM，OA1
。
5
∵BM=DM=
2
，A1B=A1D=2
从而A1OBD,MOBD
∴
AOM为=两角A1—BD—M的平面角
1
在A1OM中，
223
OMBMOB
2
22
AOABOB
11
6
2
而
22
AMACCM
1111
3
2
从而由色股定理可知：
0
A1OM90⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）
（2）由
（1）可知
AO面BDM，从而四面体A1-BDM体积
1
111361
VSAO
（2）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）
BDM1
332224
18．解
（1）B第一次取牌获胜的概率为：
411
P⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6
545
分）
（2）B第二次取牌获胜的概率为：
P
4321
5432
∴B获胜的概率为：
4143212
P⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）
5454325
9.解：
（1）数列
n2
a的前n项之和s
（1）（2n4n1）1
nn
在n=1时，
1
a1s1
（1）（241）18
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在n2时，ansnsn1
nnnnnn
212
（1）（241）
（1）[2
（1）4
（1）1]
nnn
（1）4
（1）
而n=1时，
n
a18满足a
（1）4n（n1）
n
故所求数列
n
a通项
（1）4
（1）
ann⋯（7分）
nn
（2）∵
b
n
n
（1）1111
（）
a4n（n1）4nn1
n
因此数列
b的前n项和T
nn
114n
（1））
4n1n1
⋯⋯（12分）
10.解：
（1）C：
2
x
2
y
21
m
的右顶点A坐标为（1,0）
设MA直线方程为yk1（x1），代入
22220
mxym中，整理得
22222
（mk）x2kx（km）0）
111
由韦达定理可知
xx
mA
22
km
1
22
km
1
，而1
x，又
A
2
kkm
12
∴
x
m
222
kmkkkkk
111212
222
kmkkkkk
111212
kk2kk
于是1212
yk（x1）k
（1）
m1m1
kkkk
1212
2kk
由同理可知12
y
n
kk
12
，于是有
yy
mn
∴MN∥x抽，从而MN直线率k
MN=0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）
（2）∵
000
MAN60，说明AM到AN的角为60或AN到AM的角为60。
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kk
则21
1kk
12
3
kk
或12
1kk
12
3
，又
k1k2（33），k1k2
从而
kk
21
33
kk
12
（23）
k
1
则求得
k
2
1
（23）
k
或1
k
2
23
1
因此MA，NA的直线的方程为yx1,y（23）（x1）
或为y（23）（x1），y（x1）⋯⋯（13分）
4221021．解：
（1）即证
xax的实根。
也就是方程
4210
tat有非负实数根。
而
2
4a10
t1t210∴方程
4210
tat恒有正根
∴f（x）与g（x）图象恒有公共点⋯⋯（4分）
（2）由题设知x（0,1]时
3
4xa4x1恒成立
而
3
f（x）4x4ax，∴当0x1时
3
4xa4x1恒成立
即21
ax
4x
而
21
h（x）x
4x
在（0,1]上单调增
∴
ah
（1）
3
4
3
∴a的取值范围为
（,）
4
⋯⋯（8分）
（3）由题设知当x[0,1]时，4x34ax1恒成立
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3
记F（x）4x4ax
若a0则F
（1）4（1a）4不满足条件
故a0而
aa
2
F（x）12x4a12（x）（x）
33
a
①当1
3
a
即0a3时，F（x）在[0,]
3
a
上递减，在[,1]
3
上递增，
于是
a3
F（x）F（）1a
min
34
F（x）maxF（0）,F
（1）max0.44a1a
max
3
4
∴
a
3
4
a
②当1
3
即a3时，F（x）在[0，1]上递减，于是
F（x）F
（1）44a1a
min
F（x）F（0）01
max
5
4
矛盾
综上所述：
3
a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）
4
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