小六数学第17讲工程问题.docx

小六数学第17讲工程问题.docx

《小六数学第17讲工程问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小六数学第17讲工程问题.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

小六数学第17讲工程问题

第十八讲工程问题

工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。

工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：

工作量=工作效率×工作时间

工作时间=工作量÷工作效率

工作效率=工作量÷工作时间

工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。

例如，工程的一半表示成，工程的三分之一表示成。

工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。

工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

工程问题可分为两类：

一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。

在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：

一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。

解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。

在解题时，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。

由于工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者间关系的问题。

因此我们就要从题目中发掘出三者之中的两者，特别是找出工作效率，这往往是解题的关键，也是本讲的重点内容。

例1：

甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现领工资共180元，按工作量分配，甲、乙、丙应各领多少元？

　　思路剖析

　　此题看上去有点复杂，其实问题的关键在于求出甲、乙、丙三个各自的工作效率。

　　由已知条件，甲、乙合作6天完成了，故可求出甲、乙两人的工作效率和，即，同样可求出乙、丙两人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和。

从而可求出甲、乙、丙三人各自的工作效率，进而根据他们各自完成的工作天数（即工作量）求出他们应领到的工资。

　　解答

　　因为甲、乙合修了6天完成工作的，所以甲、乙两人的工作效率和为。

　　剩下的工作量为，剩下工作量的为，由乙、丙两天完成，所以乙、丙的工作效率和为。

　　最后剩下的工作量为，由甲、乙、丙三人5天完成，所以甲、乙、丙三个的工作效率和为。

因此，甲的工作效率为。

　　因此，甲的工作效率为，丙的工作效率为，乙的工作效率为。

进而，甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，丙完成的工作量为。

　　所以，甲应领工资，乙应领工资，丙应领工资

例2：

一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。

现由甲、乙、丙三个合作完成此工程。

在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。

问这项工程前后一共用了多少天？

　　思路剖析

　　本题实际上是求丙一共工作了天数，解题的关键在于怎样处理三个人工作时间不一致的问题。

我们可进行如下处理：

以丙的工作天数为所求，把甲、乙两人看作未休息，在工作总量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量，这样就可以看作三个人的工作时间相同，即丙的工作时间，从而求出这个数。

　　解答

　　把这项工程看作“1”，指甲休息2天，乙休息3天的工作量加在总工作量上，看成三人的工作时间与丙相同。

　　答：

完成这项工程前后一共用了17天。

例3：

一项工程，乙队先单独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工程甲队又独做9天才全部完成。

已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍。

甲、乙、丙三队独做，各需要多少天完成？

　　思路剖析

　　已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，按“甲、乙、丙三队共同完成一项工程”为等量关系列方程分别求出甲、乙、丙各完成全部工程的几分之几。

然后用甲、乙、丙完成任务的几分之几：

即甲、乙、丙各自的工作量，分别除以各自的工作时间，就可得到他们各自的工作效率，进而求出甲、乙、丙三队独做各需要多少天。

　　解答

　　设甲队完成了x，则乙队完成了，丙队完成了。

　　因此，甲队独做时间为：

，乙单独做时间为：

，丙队独做时间为：

。

　　答：

甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天。

例4：

一个水池装了一根进水管和3根粗细相同的出水管。

单开一根进水管20分钟可将水池注满，单开一根出水管45分钟可将水池的水放完。

现在水池中有池水，4根水管一起打开，多少分钟后水池的水还剩下？

　　思路剖析

　　由题目条件知，水池原有水，减至，所以水池的水减少了，因此我们要从“放水”这个角度来考虑问题。

由于既有进水，又有出水，所以放水的工作效率应为放水效率与进水效率的差。

　　解答

　　因为一根进水管20分钟可将水池注满，所以它的进水效率为。

一根出水管45分钟可将水池水放完。

所以一根出水管放水效率为。

水池原有水，后减少到，所以放水量为。

4根水管齐开，流水的工作效率为。

所以，花费的时间为。

　　答：

需16分钟。

例5：

2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的，8个蟹将和10虾兵在同样的时间里就能打扫完全部龙宫，如果单让蟹将去打扫与单让虾兵去打扫进行比较，那么要打扫完全部龙宫，虾兵比蟹将要多几个？

　　思路剖析

　　我们把打扫完全部龙宫的工作量看作“1”，那么由题目知，2个蟹将和4个虾兵完成，8个蟹将和10个虾兵完成“1”。

两相比较可知，当把第一个条件转化成2×4个蟹将和4×4个虾兵完成，就能消去蟹将，得出（4×4－10）个虾兵完成。

这既可看作（4×4－10）个虾兵能打扫完全部龙宫的，也可看作（4×4－10）个虾兵占所需虾兵总数的。

根据后者就可以比较简捷地求出单让虾兵打扫需要多少个，进而求出单让蟹将打扫需要多少个，使问题得到解决。

　　解答

　　单让虾兵打扫所需要的个数为

　　单让蟹将打扫所需要的个数为

　　所以，虾兵与蟹将要多30－12=18（个）。

例6：

一比工人到甲、乙两上工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。

上午去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做一天。

那么这批工人有多少人？

　　思路剖析

　　题目本身比较复杂，涉及的“量”与“关系”比较多，然而解题的关键在于抓住“甲工地的工作做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天”找到乙工地剩余工作量相当于甲工地的几分之几。

　　解答

　　根据上午去甲工地人数是去乙工地人数的3倍，可知上午去甲工地人数是这批工人的，去乙工地人数是这批工人的。

又下午去甲工地人数是这批工人，可知去乙工地人数是这批工人的。

　　由此可知，甲工地上、下午所完成的工作量之比是，即上午完成甲工地总工作量的，下午完成甲工地总工作量的。

这样，上午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，下午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，这样乙工地剩余的工作量相当于甲工地的。

　　因为乙工地剩下的工作量还需要4名工人再做1天，所以这批工人数是。

例7：

一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽。

某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管。

又过了同样时间，水池的注了水。

如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？

　　思路剖析

　　一方面，可以根据：

，列出方程来求解。

　　另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效率和，进而求解。

　　解答

　　☆解法一：

设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟，列出方程得：

　　那么注满水池共需

　　☆解法二：

由题目知：

甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：

的水；又关上排水管，同时打开乙管后每分钟注入：

的水。

　　我们又知道这段时间相等。

所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后，水池注入，以后继续注水时间为。

因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4（分钟）。

　　答：

注满水池共用4分钟。

例8：

一件工作，甲做了5小时以后由乙来做，3小时可以完成。

乙做9小时后由甲来做，也是3小时可以完成，那么甲做1小时后由乙来做，多少小时可以完成？

　　思路剖析

　　我们根据题目条件可以利用下面两个等式来解题：

　　甲5小时的工作量+乙3小时的工作量=“1”

（1）

　　甲3小时的工作量+乙9小时的工作量=“1”

（2）

　　比较

（1）式、

（2）式可得：

甲的工作效率是乙的3倍。

因此，甲做了5小时工作后，由乙接做3小时可以完成。

可以看作甲单独做6小时完成全部工作，所以甲的工作效率为，那么乙的工作效率为。

　　解答

　　☆解法一：

因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），甲的工作效率是。

　　所以，乙要完成全部工作还需

　　☆解法二：

因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），乙的工作效率是。

　　所以，乙要完成全部工作还需。

　　点津

　　工程问题往往数量关系复杂，题型多样，富于变化，这就要求我们在解答过程中抓住关键，即工作效率或工作效率和，这也是不易掌握、容易出错的地方。

有的时候工作效率是在题目中直接给出来的，如例2、例4等，而有时工作效率并未直接给出，需要我们根据题意自己确定，如例1等。

这就要求我们费一番脑筋，认真分析数量关系，进而求解。

在学习本讲知识时，还需注意多从不同角度入手考虑问题，试着一题多解，逐步提高解题能力。

A

1．有一项工作，甲单独工作需要6天完成，乙单独工作需要30天完成。

（1）请问：

甲、乙二人合作需要几天完成？

（2）如果甲先单独工作了3天，乙才参加工作，请问：

乙参加进来后几天完成这项工作？

（3）如果甲、乙合做这项工作，但是中途甲休息了一天，请问：

完成这项工作一共用了几天时间？

分析与解答：

（1）因甲单独6天完成这项工作，所以甲的工作效率为，同样乙的工作效率为

甲、乙两人合做的工作效率就应为

+=

所以甲、乙合做需要的天数为

1÷=5（天）

（2）甲先做3天，完成的工作量为×3=,剩余工作量为。

甲、乙合做完成乘余工作所用的时间应为

÷（+）=÷=

（3）甲、乙共同工作，但甲中途休息了一天，可以这样考虑：

假设甲不休息，那么甲、乙两人完成的总的工作量为1+=

因此完成这件工作所花费的时间应为

（1+）÷（+）==

2．一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。

请问：

如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

解答：

共做了6天后，

原来，甲做24天，乙做24天，

现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天。

这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替。

因此甲的工作效率是乙的工作效率的=

如果乙独做，所需时间是

30+30×=50（天）

如果甲独做，所需时间是

50÷=75（天）

答：

甲单独做需要75天，乙单独做需要50天。

3．一件工作，甲5小时先完成了，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙二人合作，请问：

还需要多少时间才能完成？

分析：

这道题是工程问题与分数应用题的复合题。

解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？

解：

甲工作效率：

÷5=

乙工作效率：

（1-）×÷6=

余下部分甲、乙合作需要几小时：

（1-）×（1-）÷（+）=（小时）

答：

还需要小时才能完成任务。

4．某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成。

现在甲先单独做42天，然后再由