学年八年级数学下册 182 特殊的平行四边形学案新版新人教版doc.docx
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学年八年级数学下册182特殊的平行四边形学案新版新人教版doc
2019-2020学年八年级数学下册18.2特殊的平行四边形学案（新版）新人教版
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．（重难点）
一、自主学习案
回顾平行四边形有哪些性质？
然后填空。
1．平行四边形的对边__________相等。
表示方法：
若四边形ABCD是平行四边形，则___________;
2．平行四边形的对角__________相等。
表示方法：
若四边形ABCD是平行四边形，则___________;
3．平行四边形的对角线________。
表示方法：
在□ABCD中，AC与BD相交于O，则______________
4．平行四边形的对称性：
平行四边形是___对称图形，而不是______对称图形，对角线的交点是平行四边形的_________
.
二、课堂探究案
（一）操作探究
1．思考：
拿一个活动的平行四边形，轻轻拉动一个顶点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？
为什么？
当平行四边形移动到一个角是直角时，这时的图形是________形。
归纳：
矩形定义：
__________________________________叫做矩形（通常也叫_________）．
2．矩形的性质：
矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：
矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．
（二）合作探究
1．如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？
将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？
2．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有
AO=BO=CO=DO=
AC=
BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半．
（三）应用探究
1．例：
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.
求矩形对角线的长.
2.已知：
如上图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB。
求证：
△AOB是等边三角形。
（注意表达格式完整性与逻辑性）
拓展与延伸：
本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？
三、随堂达标案
1．填空：
（1）矩形的定义中有两个条件：
一是，二是．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、
．
2．下列说法错误的是（）．
A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等
C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
3．矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．
A、2对B、4对C、6对D、8对
4．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为_________cm，cm，cm，cm．
5．已知：
如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
6．已知：
如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC。
求证：
EA=ED.
四、课堂小结
1.__________________________________叫做矩形.
2.矩形的性质：
①__________________________________
②_________________________________
3.直角三角形的性质：
_________________________________
五、学习反思
18.2.1矩形
（二）
学习目标：
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，培养分析能力，
3．矩形的判定．（重点）
4．矩形的判定及性质的综合应用．（难点）
一、自主学习案
1．矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．
2．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．
3．想一想：
矩形有哪些性质？
在这些性质中那些是平行四边形所没有的？
列表进行比较.
平行四边形
矩形
边
角
对角线
二、课堂探究案
（一）【解决问题】
自学教材54页.
1．矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
请说出最基本的方法:
矩形具有平行四边形不具有的性质是：
_____________________________
2．思考：
小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？
看看谁的方法可行？
（得到矩形的一个判定）
3．做一做：
按照画“边―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?
说明理由.（探索得到矩形的另一个判定）
（二）【知识归纳】
1．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形不具有的性质是：
2．怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
总结：
矩形的判定方法．矩形判定方法1：
______________________________
矩形判定方法2：
_______________________________
（三）【知识探究】
矩形判定定理的应用
例2.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数.
三、随堂达标案
1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；
⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：
；
⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：
；
2．已知：
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：
四边形EFGH是矩形．
3．已知：
如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
4．已知：
如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形CBE是等边三角形，求证：
四边形ABCD是矩形。
四、课堂小结
1．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形不具有的性质是：
2．怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
总结：
矩形的判定方法．矩形判定方法1：
______________________________
矩形判定方法2：
_______________________________
五、学习反思
18.2.2菱形
（一）
学习目标：
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；（重点）
3．会用这些性质进行有关的论证和计算，菱形的性质及菱形知识的综合应用．会计算菱形的面积．（难点）
一、自主学习案
自学课本55-56例题以上的内容，完成下列问题：
？
如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来.
菱形
平行四边形
的平行四边形叫做菱形，生
活中的菱形有.
二、课堂探究案
（二）【性质探究】
1．你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有
的性质吗？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开，观察得到的图形并回答下列问题。
①它是轴对称图形吗？
有几条对称轴？
对称轴之间有什么位置关系？
②图中有哪些相等的线段？
③图中有哪些相等的角？
④菱形被它的两条对角线分成几个特殊形状的三角形？
菱形性质：
菱形具有____________________的一切性质；
菱形的四条边都___________
菱形的两条对角线互相__________，并且每一条对角线___________
（三）【知识探究】
例3.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
三、随堂达标案
1.木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长，道理_______________________________．
2．菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______，面积是______．
3．下面性质中，菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．是中心对称图形
C．是轴对称图形 D．对角线互相平分
4．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:
2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________．
5．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线AC长10cm.求：
（1）对角线BD的长度；
（2）菱形ABCD的面积．
6．已知：
如图，菱形ABCD中，
E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：
∠AEF=∠AFE．
四、课堂小结
1．菱形的定义：
2．菱形的性质：
边：
_____________
_____________；
对角线：
______________________________________________________
对称性：
.
五、学习反思
18.2.2菱形
（二）
学习目标：
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算.
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
3．菱形的两个判定方法．（重点）
4．判定方法的证明方法及运用．（难点）
一、自主学习案
知识回顾：
1．菱形的定义：
2．菱形的性质有哪些？
3．运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？
二、课堂探究案
（一）【自主探究】
1.菱形的判定方法
（1）（定义）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.探究菱形的判定方法
（2） 操作：
用一长一短两根木条，
在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（二）【合作探究】
1．认真仔细阅读课本P57-一58，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”尝试逻辑推理证明：
⑴这个命题的前提是什么？
结论是什么？
已知：
如图在□ABCD中，
求证：
.
⑵利用菱形的定义进行证明.
2．探究菱形的判定方法3:
四边相等的四边形的菱形?
C
已知：
求证：
证明：
（三）【应用探究】
例4．如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证:
四边形ABCD是菱形.
三、随堂达标案
1．判断:
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形.（）
（2）对角线互相平分的四边形是菱形.（）
（3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形.（）
（4）两组对边分别平行，且对角线互相垂直的四边形是菱形.（）
（5）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形.（）
（6）两条邻边相等，且一条
对角线平分一组对角的四边形是菱形.（）
2．把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，试探究重叠部分ABCD的形状，并说明理由.
3．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD、PC相交于点P.
（1）猜想：
四边形PCOD是
什么特殊的四边形？
试证明你的猜想.
（2） PO与CD有怎样的关系？
四、课堂小结
菱形的判定方法1.
2.
3.
五、学习反思
18.2.3正方形
学习目标：
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
3．正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．（重点）
4．正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．（难点）
一、自主学习案
1．复习
性质
判定方法
矩形
边：
角：
对角线：
对称性：
1.
2.
3.
菱形
边：
角
对角线：
对称性：
1.
2.
3.
2．通过你以前学到的知识说说什么样的图形叫正方形？
（小组互议互评）
二、课堂探究案
（一）【操作探究】
1．正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．试用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形来．
3．通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形？
4．你再想想，具备什么条件的菱形是正方形？
5．通过1、3、4我们发现：
正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意思：
（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）
（二）【归纳探究】
1．通过上图，我们发现：
正方形具有的性质，同时又具有
的性质．
2．归纳正方形的所有性质：
性质
判定方法
正方形
边：
角
对角线：
对称性：
（三）【应用探究】
例1（教材P58的例5）求证：
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：
四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：
△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，∴ =，AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
思考：
图中共有多少个等腰直角三角形?
你从本题中得到什么结论
？
三、随堂达标案
1．正方形的定义：
有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．
2．正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．
3．正方形的判定：
（1）____________________________________的平行四边形是正方形；
（2）____________________________________的矩形是正方形；
（3）____________________________________的菱形是正方形；
4．对角线________________________________的四边形是正方形
F
5．已知：
如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF。
求证：
∠AFE＝∠AEF。
四、课堂小结
1.__________________________________叫做矩形.
2．矩形的性质：
①__________________________________
②_________________________________
3．直角三角形的性质：
_________________________________
五、学习反思
实验探究与数学活动
学习目标：
1．能折出60°，30°，15°的角，了解黄金矩形的相关知识；
2．通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特殊的三角形、四边形等知识的认识；
3．经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动过程，积累数学活动经验.（重点）
4．折纸做60°，30°，15°的角，欣赏黄金矩形．（难点）
一、自主学习案
折纸是一门艺术，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、小船等．我们知道，折纸往往用矩形纸片开始，今天我们用数学眼光来玩折纸，看看折叠矩形能得到什么艺术品.学生拿出准备好的纸片，自学数学活动.
二、课堂探究案
（一）【自主探究】
问题1：
在一张矩形纸片上，你怎么折出一个45°的角？
用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？
问题2：
你能通过折纸的方法，折出30°的角吗？
怎样折？
你能精确折出30°的角吗？
（二）【合作探究】
活动1利用折纸得到60°、30°、15°的角
1.对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平.
2．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到线段BN.
3．观察所得到的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？
你能证明吗？
4．在图中，你能找出所有30°的角吗？
60°的角呢？
还有其他度数的角吗？
活动2黄金矩形
世界艺术珍品——维纳斯女神她是公元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，她的上半
身和下半身的比值接近0.618.
上海东方明珠电视塔高468m,上球体到塔底部的距离大约是289m.两者之比约为0.618.
1．能否用折纸的方法得到黄金矩形？
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平.
图2
图1
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平.
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折倒图3所示的AD处.
图4
图3
第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形（图4）.
2．你能说明矩形BCDE为什么是黄金矩形吗？
（提示：
设MN=2）
证明:
设正方形MNCB中,MN=2，
则NC=BC=2,∠ACB=90°，
∴AC=1，
∴在Rt△ABC中，AB=
∵AD=AB=
∴CD=AD-AC=
∴
即矩形BCDE的宽与长的比为
三、随堂达标案
探究黄金矩形的尺规作图法；
你还能折出新的作品并说明这样折的道理吗？
请试一试！
四、课堂小结
1.通过本节课的学习，你利用折纸可以做什么？
2.在推理论证的过程中,我们用到了哪些以前学过的知识？
3.在本节课的学习中,你体会到了哪些数学思想方法？
五、学习反思
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