学年八年级数学下册 182 特殊的平行四边形学案新版新人教版doc.docx
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学年八年级数学下册182特殊的平行四边形学案新版新人教版doc
2019-2020学年八年级数学下册18.2特殊的平行四边形学案(新版)新人教版
1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.(重难点)
一、自主学习案
回顾平行四边形有哪些性质?
然后填空。
1.平行四边形的对边__________相等。
表示方法:
若四边形ABCD是平行四边形,则___________;
2.平行四边形的对角__________相等。
表示方法:
若四边形ABCD是平行四边形,则___________;
3.平行四边形的对角线________。
表示方法:
在□ABCD中,AC与BD相交于O,则______________
4.平行四边形的对称性:
平行四边形是___对称图形,而不是______对称图形,对角线的交点是平行四边形的_________
.
二、课堂探究案
(一)操作探究
1.思考:
拿一个活动的平行四边形,轻轻拉动一个顶点,观察不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?
为什么?
当平行四边形移动到一个角是直角时,这时的图形是________形。
归纳:
矩形定义:
__________________________________叫做矩形(通常也叫_________).
2.矩形的性质:
矩形是一个特殊的平行四边形,它除了具有四边形和平行四边形所有的性质,还有:
矩形的四个角______;矩形的对角线______;矩形是轴对称图形,它的对称轴是____________.
(二)合作探究
1.如图,矩形ABCD,对角线相交于O,观察对角线所分成的三角形,你有什么发现?
将目光锁定在Rt△ABC中,你能发现它有什么特殊的性质吗?
2.如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,由性质2有
AO=BO=CO=DO=
AC=
BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半.
(三)应用探究
1.例:
如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4.
求矩形对角线的长.
2.已知:
如上图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且AC=2AB。
求证:
△AOB是等边三角形。
(注意表达格式完整性与逻辑性)
拓展与延伸:
本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”,你能获得有关这个矩形的哪些结论?
三、随堂达标案
1.填空:
(1)矩形的定义中有两个条件:
一是,二是.
(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、
.
2.下列说法错误的是().
A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等
C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有().
A、2对B、4对C、6对D、8对
4.已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为_________cm,cm,cm,cm.
5.已知:
如图,矩形ABCD中,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
6.已知:
如图,E为矩形ABCD内一点,且EB=EC。
求证:
EA=ED.
四、课堂小结
1.__________________________________叫做矩形.
2.矩形的性质:
①__________________________________
②_________________________________
3.直角三角形的性质:
_________________________________
五、学习反思
18.2.1矩形
(二)
学习目标:
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,培养分析能力,
3.矩形的判定.(重点)
4.矩形的判定及性质的综合应用.(难点)
一、自主学习案
1.矩形是轴对称图形,它有______条对称轴.
2.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若对角线AC=10cm,边BC=8cm,则△ABO的周长为________.
3.想一想:
矩形有哪些性质?
在这些性质中那些是平行四边形所没有的?
列表进行比较.
平行四边形
矩形
边
角
对角线
二、课堂探究案
(一)【解决问题】
自学教材54页.
1.矩形是特殊的平行四边形,怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
请说出最基本的方法:
矩形具有平行四边形不具有的性质是:
_____________________________
2.思考:
小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗?
看看谁的方法可行?
(得到矩形的一个判定)
3.做一做:
按照画“边―直角、边-直角、边-直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?
说明理由.(探索得到矩形的另一个判定)
(二)【知识归纳】
1.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形不具有的性质是:
2.怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
总结:
矩形的判定方法.矩形判定方法1:
______________________________
矩形判定方法2:
_______________________________
(三)【知识探究】
矩形判定定理的应用
例2.如图,在口ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°.求∠OAB的度数.
三、随堂达标案
1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;
⑵摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是:
;
⑶将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:
;
2.已知:
如图,□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H.求证:
四边形EFGH是矩形.
3.已知:
如图 ,在△ABC中,∠C=90°, CD为中线,延长CD到点E,使得DE=CD.连结AE,BE,则四边形ACBE为矩形.
4.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,E为CD中点,三角形CBE是等边三角形,求证:
四边形ABCD是矩形。
四、课堂小结
1.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形不具有的性质是:
2.怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
总结:
矩形的判定方法.矩形判定方法1:
______________________________
矩形判定方法2:
_______________________________
五、学习反思
18.2.2菱形
(一)
学习目标:
1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系.
2.理解并掌握菱形的定义及性质1、2;(重点)
3.会用这些性质进行有关的论证和计算,菱形的性质及菱形知识的综合应用.会计算菱形的面积.(难点)
一、自主学习案
自学课本55-56例题以上的内容,完成下列问题:
?
如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来.
菱形
平行四边形
的平行四边形叫做菱形,生
活中的菱形有.
二、课堂探究案
(二)【性质探究】
1.你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有
的性质吗?
将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪下,打开,观察得到的图形并回答下列问题。
①它是轴对称图形吗?
有几条对称轴?
对称轴之间有什么位置关系?
②图中有哪些相等的线段?
③图中有哪些相等的角?
④菱形被它的两条对角线分成几个特殊形状的三角形?
菱形性质:
菱形具有____________________的一切性质;
菱形的四条边都___________
菱形的两条对角线互相__________,并且每一条对角线___________
(三)【知识探究】
例3.如图,菱形花坛ABCD的边长为20cm,∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
三、随堂达标案
1.木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长,道理_______________________________.
2.菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______,面积是______.
3.下面性质中,菱形不一定具有的是( )
A.对角线相等 B.是中心对称图形
C.是轴对称图形 D.对角线互相平分
4.菱形的周长为20cm,两邻角的比为1:
2,则较短对角线的长是_____________;一组对边的距离是____________.
5.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线AC长10cm.求:
(1)对角线BD的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
6.已知:
如图,菱形ABCD中,
E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:
∠AEF=∠AFE.
四、课堂小结
1.菱形的定义:
2.菱形的性质:
边:
_____________
_____________;
对角线:
______________________________________________________
对称性:
.
五、学习反思
18.2.2菱形
(二)
学习目标:
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
3.菱形的两个判定方法.(重点)
4.判定方法的证明方法及运用.(难点)
一、自主学习案
知识回顾:
1.菱形的定义:
2.菱形的性质有哪些?
3.运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?
二、课堂探究案
(一)【自主探究】
1.菱形的判定方法
(1)(定义)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.探究菱形的判定方法
(2) 操作:
用一长一短两根木条,
在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
通过演示,容易得到:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(二)【合作探究】
1.认真仔细阅读课本P57-一58,“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”尝试逻辑推理证明:
⑴这个命题的前提是什么?
结论是什么?
已知:
如图在□ABCD中,
求证:
.
⑵利用菱形的定义进行证明.
2.探究菱形的判定方法3:
四边相等的四边形的菱形?
C
已知:
求证:
证明:
(三)【应用探究】
例4.如图,
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.求证:
四边形ABCD是菱形.
三、随堂达标案
1.判断:
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形.()
(2)对角线互相平分的四边形是菱形.()
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形.()
(4)两组对边分别平行,且对角线互相垂直的四边形是菱形.()
(5)两组对边分别相等,且对角线互相垂直的四边形是菱形.()
(6)两条邻边相等,且一条
对角线平分一组对角的四边形是菱形.()
2.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起,试探究重叠部分ABCD的形状,并说明理由.
3.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,PD∥AC,PC∥BD,PD、PC相交于点P.
(1)猜想:
四边形PCOD是
什么特殊的四边形?
试证明你的猜想.
(2) PO与CD有怎样的关系?
四、课堂小结
菱形的判定方法1.
2.
3.
五、学习反思
18.2.3正方形
学习目标:
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
3.正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.(重点)
4.正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.(难点)
一、自主学习案
1.复习
性质
判定方法
矩形
边:
角:
对角线:
对称性:
1.
2.
3.
菱形
边:
角
对角线:
对称性:
1.
2.
3.
2.通过你以前学到的知识说说什么样的图形叫正方形?
(小组互议互评)
二、课堂探究案
(一)【操作探究】
1.正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.试用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形来.
3.通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形?
4.你再想想,具备什么条件的菱形是正方形?
5.通过1、3、4我们发现:
正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意思:
(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形)
(二)【归纳探究】
1.通过上图,我们发现:
正方形具有的性质,同时又具有
的性质.
2.归纳正方形的所有性质:
性质
判定方法
正方形
边:
角
对角线:
对称性:
(三)【应用探究】
例1(教材P58的例5)求证:
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知:
四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).
求证:
△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,∴ =,AC⊥BD,
AO=CO=BO=DO().
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
思考:
图中共有多少个等腰直角三角形?
你从本题中得到什么结论
?
三、随堂达标案
1.正方形的定义:
有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形,因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______,又是一个特殊的有一个角是直角的______.
2.正方形的性质:
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质,正方形的四个角都______;四条边都______且__________________;正方形的两条对角线______,并且互相______,每条对角线平分______对角.它有______条对称轴.
3.正方形的判定:
(1)____________________________________的平行四边形是正方形;
(2)____________________________________的矩形是正方形;
(3)____________________________________的菱形是正方形;
4.对角线________________________________的四边形是正方形
F
5.已知:
如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别为CD、CB延长线上的点,且DE=BF。
求证:
∠AFE=∠AEF。
四、课堂小结
1.__________________________________叫做矩形.
2.矩形的性质:
①__________________________________
②_________________________________
3.直角三角形的性质:
_________________________________
五、学习反思
实验探究与数学活动
学习目标:
1.能折出60°,30°,15°的角,了解黄金矩形的相关知识;
2.通过折叠活动,加深对轴对称、全等三角形、特殊的三角形、四边形等知识的认识;
3.经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动过程,积累数学活动经验.(重点)
4.折纸做60°,30°,15°的角,欣赏黄金矩形.(难点)
一、自主学习案
折纸是一门艺术,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、小船等.我们知道,折纸往往用矩形纸片开始,今天我们用数学眼光来玩折纸,看看折叠矩形能得到什么艺术品.学生拿出准备好的纸片,自学数学活动.
二、课堂探究案
(一)【自主探究】
问题1:
在一张矩形纸片上,你怎么折出一个45°的角?
用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角?
问题2:
你能通过折纸的方法,折出30°的角吗?
怎样折?
你能精确折出30°的角吗?
(二)【合作探究】
活动1利用折纸得到60°、30°、15°的角
1.对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平.
2.再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时,得到线段BN.
3.观察所得到的∠ABM,∠MBN和∠NBC,这三个角有什么关系?
你能证明吗?
4.在图中,你能找出所有30°的角吗?
60°的角呢?
还有其他度数的角吗?
活动2黄金矩形
世界艺术珍品——维纳斯女神她是公元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作,她的上半
身和下半身的比值接近0.618.
上海东方明珠电视塔高468m,上球体到塔底部的距离大约是289m.两者之比约为0.618.
1.能否用折纸的方法得到黄金矩形?
第一步,在一张矩形纸片的一端,利用图1的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
图2
图1
第二步,如图2,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把它折倒图3所示的AD处.
图4
图3
第四步,展平纸片,按照所得的D点折出DE,矩形BCDE就是黄金矩形(图4).
2.你能说明矩形BCDE为什么是黄金矩形吗?
(提示:
设MN=2)
证明:
设正方形MNCB中,MN=2,
则NC=BC=2,∠ACB=90°,
∴AC=1,
∴在Rt△ABC中,AB=
∵AD=AB=
∴CD=AD-AC=
∴
即矩形BCDE的宽与长的比为
三、随堂达标案
探究黄金矩形的尺规作图法;
你还能折出新的作品并说明这样折的道理吗?
请试一试!
四、课堂小结
1.通过本节课的学习,你利用折纸可以做什么?
2.在推理论证的过程中,我们用到了哪些以前学过的知识?
3.在本节课的学习中,你体会到了哪些数学思想方法?
五、学习反思